2022年高考数学一轮复习 双曲线（精练）（解析版）

9.4双曲线（精练）【题组一双曲线的定义及运用】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于，两点，若，则周长为（）A．16 B．24 C．36 D．40【答案】C【解析】因为双曲线为，所以；由双曲线的定义得，所以，所以周长为，故选：C.2．（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】由双曲线方程，得，所以渐近线方程为比较方程，得所以双曲线方程为，点记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以所以由两点之间线段最短，得最小为因为点在圆上运动所以最小为点到圆心的距离减去半径1所以所以的最小值为8故选：C3．（2021·吉林白城一中高三月考（理））已知双曲线的两个焦点分别为，，为坐标原点，若为上异干顶点的任意一点，则与的周长之差为（）A．8 B．16 C．或8 D．或16【答案】D【解析】的方程可化为，所以，易知与周长差的绝对值为，故与的周长之差为或16.故选：D.4．（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知双曲线的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为（）A．48 B．24 C．12 D．6【答案】B【解析】由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知：三角形PF1F2为直角三角形，因此|PF1|·|PF2|＝24.故选：B.5．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则___________.【答案】【解析】依题意，设，不妨设，，设，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得，，，，，，，，由于，所以，所以.故答案为：6．（2021·全国）已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为____________【答案】【解析】双曲线，则，所以，利用双曲线定义知，，两边平方得，且，由余弦定理，解得：，则.故答案为：7．（2021·全国高三月考（理））已知双曲线：的左､右焦点分别为，，直线与交于，两点，当最小时，四边形的面积为___________.【答案】【解析】设，由，得，由韦达定理得，所以，，，当时，有最小值，设到直线的距离分别为，，所以四边形的面积为，故答案为：【题组二双曲线的标准方程】1．（2021·全国高三（理））已知直线被中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线所截得的线段长为6，被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，则该双曲线的标准方程为（）A．或 B．或C． D．【答案】C【解析】由直线被双曲线截得的线段长为6，被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，可得双曲线的焦点在轴上，不妨设双曲线方程为，直线被双曲线截得的线段长为6，所以当时，，①由双曲线的渐近线方程为，直线被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为，所以对于，当时，，即，②由①②解得，故双曲线方程为，故选：．2．（2021·北京高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B3．（2021·北京海淀·清华附中高三）已知双曲线的一个焦点为，并且双曲线C的渐近线恰为矩形的边所在直线（O为坐标原点），则双曲线C的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】焦点为，，为矩形，，根据双曲的对称性，，又，则可解得，则双曲线方程为.故选：A.4．（2021·合肥市第八中学高三（理））已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为曲线的一条渐近线过点，所以双曲线的焦点在轴上，且，双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，所以，所以，即双曲线的方程为故选：B．5．（2021·山西临汾·高三（理））已知双曲线的右焦点为，设是双曲线上关于原点对称的两点，分别为的中点.若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，不妨设，则，则，，又因为原点在以线段为直径的圆上，所以，所以，即，所以，又因为直线的斜率为，所以，所以，解得所以，解得，所以双曲线的方程为故选：C6．（2021·江西（理））已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知条件可得，解得，因此，双曲线的方程为.故选：B.7．（2021·天津和平·高三月考）已知双曲线，为等边三角形.若点在轴上，点，在双曲线上，且双曲线的实轴为的中位线，双曲线的左焦点为，经过和抛物线焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为双曲线的实轴为等边的中位线，所以的边长为，不妨设点在第一象限，代入得，解得，所以，得，所以双曲线的左焦点的坐标为，因为抛物线焦点为，所以，因为渐近线的斜率为，所以或（舍去），所以，所以，所以双曲线方程为，故选：B8．（2021·天津高三）设为双曲线的右焦点，圆与E的两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若四边形OAFB是边长为4的菱形，则E的方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由四边形OAFB是边长为4的菱形，知：且△、△均为等边三角形，而渐近线方程为，∴，又，∴，，故E的方程为.故选：D.9．（2021·天津）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知条件可知，抛物线的准线方程为，可得，所以，抛物线的标准方程为，抛物线的焦点为，由于双曲线的左顶点与抛物线的焦点间的距离为，则，解得，点在第三象限，由题意可知，点在直线上，所以，，解得.因此，双曲线的标准方程为.故选：C.【题组三直线与双曲线的位置关系】1（2021·上海高三专题练习）若直线与曲线交于不同的两点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为表示双曲线的右支，由消去得，整理得，设直线与曲线的两交点为，，其中，，则，解得，又，解得，综上，.故选：D.2．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线的离心率为，过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（）A． B．，，C． D．【答案】A【解析】由题意双曲线的离心率为，得，解得，双曲线，设直线，与双曲线联立得：，设点，，，，则，，又因为为钝角，则，所以，即得出，即，所以直线的斜率，又且三点不可能共线，则必有，即直线斜率的取值范围是，故选：A．3．（2021·全国高三专题练习）设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，当渐近线的斜率满足，即时，直线l与双曲线左、右支均相交，所以.故选:C.4（2021·广东高三专题练习）若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得,,,则左焦点,右焦点,因为题中给出为双曲线的左焦点,则,,又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称,所以,又根据双曲线的定义,所以,设所以,设,,令,解得或,（）,所以在单调递减,在单调递增,,,所以的取值范围为,则的取值范围是,故选：D5（2021·内蒙古包头·（文））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若的焦距为，则当的面积最大值为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】联立可得，所以，，因为，则，即，，当且仅当时，等号成立，因此，的面积最大值为.故选：C.6．（2021·全国高三月考（文））已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，则的面积为（）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连接，，依题可知，四边形为平行四边形.由可得，.在中，由余弦定理可得：，即，①又因为点在双曲线上，则，所以，②两式相减得，即，所以，也即为的面积，故选：C.【题组四弦长及中点弦】1．（2021·全国高三专题练习）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得.直线:的斜率为，故.因为两点在双曲线上，所以，两式相减并化简得，所以，所以.故选：D2（2021·全国高三专题练习）已知A，B为双曲线1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若kAB•kOM，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】设，，则＝，＝，

由可得．

∴，

即，则双曲线的离心率为．故选：D．3．（2021·广东广州·）（多选）过双曲线的左焦点作直线交于，两点，则（）A．若，则直线只有条 B．若，则直线有条C．若，则直线有条 D．若，则直线有条【答案】ABD【解析】因为双曲线的左焦点的坐标为，该双曲线的渐近线方程为，若直线的斜率不存在，则的方程为，代入可得，此时；若直线的斜率存在，可设的方程为，设，，为使与有两不同交点，只需；由消去整理得，则，所以；A选项，由可得，无解；因此，若，则的方程只有；故A正确；B选项，由可得或，解得无解或，因此，若，则的方程为；故B正确；C选项，由可得或，解得无解或，因此，若，则的方程为；故C错；D选项，由可得或，解得或，因此，若，则的方程为或；故D正确；故选：ABD.4．（2021·全国）若直线：过双曲线：的左焦点，且与双曲线只有一个公共点，则双曲线的方程为______.【答案】【解析】过双曲线：（，）的渐近线方程为，因为过双曲线：的左焦点的直线：与双曲线只有一个公共点，所以直线与渐近线平行，得，，又因为，解得，，，所以双曲线的方程为.故答案为：.5（2021·全国高三专题练习（理））若曲线与直线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是______．【答案】且【解析】联立，消y得．当，即时，不满足题意.当，即时，曲线与直线有两个不同的公共点，，解得，.故答案为：，且.6．（2021·全国高三专题练习（理））若过点且斜率为k的直线与双曲线只有一个公共点，则___________.【答案】或【解析】由题意可得，代入双曲线方程得.当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当时，，解得.综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点.故答案为：或7．（2021·广西柳州·柳铁一中高三月考（文））已知双曲线与轴交于两点，，则的面积的最大值为__________.【答案】2【解析】双曲线与轴交于、两点，，，，，点，面积．当且仅当时取等号，面积的最大值为2，故答案为：2．【题组五离心率及渐近线】1．（2021·陕西咸阳·高三）如图，已知，分别为双曲线：的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C． D．【答案】D【解析】设，由双曲线的定义可得，由，可得，即有，因为为等腰三角形，所以，解得，在△中，，化为，即有．故选：．2．（2021·浙江高三）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限内的一点，点在轴上运动，若的最小值为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：连接，因为，当且仅当，，三点共线时等号成立，所以的最小值为，所以，解得．由题意知，∴，故选：B．3．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，因为，由双曲线的定义，可得，解得，所以双曲线的一条渐进方程是，即.所以双曲线的一条渐进方程是.故选：C.4．（2021·贵州省思南中学（文））过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A． B．C．＋1 D．【答案】A【解析】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.5．（2021·全国高三专题练习）已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以.故选：B6．（2021·全国高三专题练习（理））如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于，两点，若，且，则双曲线的离心率为（）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】设，，由，且，可得，，由双曲线的定义，可得，又，解得，，所以是边长为的等边三角形，在中，，，，，则，化为，即，即有.故选：A.7．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线的焦距为，则C的一条渐近线方程不可能为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当焦点在x轴上时，C的方程可化为，依题意得，解得，故C的方程为，其渐近线方程为y=；当焦点在y轴上时，C的方程可化为，依题意得，解得，故C的方程为，其渐近线方程为，对照各选项，只有C不符合.故选：C.8．（2021·浙江高三开学考试）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】由题意知，渐近线方程为，则，又焦点为，即，所以，则，即或(舍去)，在实轴长为，故选:A.9．（2021·云南玉溪·高三月考（理））双曲线：的一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C．4 D．【答案】D【解析】由双曲线：可得：，，所以双曲线的渐近线为，由可得，所以，解得：，所以，所以，所以离心率为，故选：D10．（2021·广东广州市·高三月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设，渐近线为，可令，而，，∴，，又，∴.故选：C11．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线的渐近线夹角为，离心率为e，则等于（）A．e B． C． D．【答案】C【解析】取双曲线方程为，易得离心率，故选：C.12．（2021·全国高三月考（文））设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，则直线的斜率为，直线的斜率为，即．因为点，在双曲线上，所以有，，两式相减化简得：，所以有，则双曲线的渐近线方程为．故选:D．13．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线的焦距为，则C的一条渐近线方程不可能为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当焦点在x轴上时，C的方程可化为，依题意得，解得，故C的方程为，其渐近线方程为y=；当焦点在y轴上时，C的方程可化为，依题意得，解得，故C的方程为，其渐近线方程为，对照各选项，只有C不符合.故选：C.14．（2021·广东广州市·高三月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以线段为直径的圆经过点，则点的横坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设，渐近线为，可令，而，，∴，，又，∴.故选：C15．（2021·全国高三专题练习）已知双曲线的渐近线夹角为，离心率为e，则等于（）A．e B． C． D．【答案】C【解析】取双曲线方程为，易得离心率，故选：C.【题组六综合运用】1．（2021·福建莆田·高三）（多选）设为坐标原点，是双曲线的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点满足，且线段的中点在轴上，则（）A．双曲线的离心率为 B．双曲线的方程可以是C． D．的面积为【答案】AC【解析】对于A，设，因为线段的中点为，为的中点，所以∥，所以，由双曲线的定义可得，设，因为，所以，则，因为，所以，由，得，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以B错误，对于C，因为为的中点，所以，所以，所以，即，因为，所以，即，即，所以可得，，得，所以C正确；对于D，，所以D错误，故选：AC2．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三月考）双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点且斜率为的直线交右支于，两点，以为直径的圆过点，则（）A．若的内切圆与相切于，则B．若双曲线的方程为，则的面积为24C．存在离心率为的双曲线满足条件D．若，则双曲线的离心率为【答案】BD【解析】对于选项A：记内切圆与相切于，与相切于，与相切于，则，；故，故选项A不正确；对于选项B：由以为直径的圆过点，知；若双曲线的方程为，则，，；设，，则，，故，可得：；可得，故的面积为，故选项B正确；对于选项C：若，则，故渐近线为，设，，由得，则，此时直线不可能与右支交于两点，故C不正确；对于选项D：若，设，，则，，故可得，故，可得，故选项D正确，故选：BD.3（2021·全国高三专题练习（文））（多