2022年高考数学一轮复习 分布列与其他知识综合运用（精讲）（解析版）

8.8分布列与其他知识综合运用（精讲）常见考法常见考法考点一分布列与函数结合【例2】（2021·南昌市豫章中学高三开学考试（理））某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为，.（1）若，，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；（2）若，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.【答案】（1）；（2）理论上至少要进行轮游戏，.【解析】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:.（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为:，因为，所以，因为，，，所以，，又，所以，令，以，则，当时，，他们小组在轮游戏中获“神投小组”次数满足，由，则，所以理论上至少要进行轮游戏.此时，，.【一隅三反】1．（2021·山东高三月考）为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为，鱼苗乙、丙的自然成活率均为，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列．（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，若将（1）中满足数学期望不超过2.6的的最大值作为乙种鱼苗成活的概率，养殖后发现乙种鱼苗有个别因不能适应环境而不能自然成活，对这些因不适应环境而不能自然成活的80%鱼苗采取增氧、换鱼塘等措施，采取措施后成活的概率为62.5%．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利100元，不成活则亏损20元，若扶贫工作组的扶贫目标是获利不小于376万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？【答案】（1）答案见解析；（2）40000尾.【解析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，则故的分布列为0123（2）由（1）知因为，所有，即乙种鱼苗自然成活的概率为0.9依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为那么尾乙种鱼苗最终成活的尾数为，不成活的尾数是设为购买尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则，解得，所有需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于376万元．2．（2021·广东广州·）党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有6例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：6个样本逐个化验；方案二：6个样本混合在一起化验；方案三：6个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；（2）若，现将该6例疑似病例样本进行化验，当方案三比方案二更“优”时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用表示6例疑似病例中化验呈阳性的人数，则随机变量，由题意可知：.答：6例疑似病例中至少有1例呈阳性的概率为.（2）方案二：混合一起检验，记检验次数为，则.∴，，∴.方案三：每组的三个样本混合在一起化验，记检验次数为，则.∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范围.3.（2021年广东湛江）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间t（分）2030,4040,5050,60频数2182010将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为20,60分．（1）写出王先生一次租车费用y（元）与用车时间t（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）【答案】(1)y=0.12 t【解析】（1）当20<t≤40当40<t≤60得：y=（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率Pξ可取0，1，2，3.P(ξP(ξ=2)=ξ的分布列为Eξ=0或依题意ξ∼B(3（3）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间t=25每次上下班租车的费用约为0.2×一个月上下班租车费用约为20.32×估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．考点二分布列与导数结合【例2】（2021·全国高三月考（理））元旦期间某牛奶公司做促销活动．一箱某品牌牛奶盒，每盒牛奶可以参与刮奖中奖得现金活动，但其中只有一些中奖．已知购买一盒牛奶需要元，若有中奖，则每次中奖可以获得代金券元（可即中即用）．顾客可以在一箱牛奶中先购买盒，然后根据这盒牛奶中奖结果决定是否购买余下盒．设每盒牛奶中奖概率为，且每盒牛奶是否中奖相互独立．（1）若，顾客先购买盒牛奶，求该顾客至少有一盒中奖的概率；（2）设先购买的盒牛奶恰好有一盒中奖的最大概率为，以为值．某顾客认为如果中奖后售价不超过原来售价的四折（即）便可以购买如下的盒牛奶，据此，请你判断该顾客是否可以购买余下的盒牛奶.【答案】（1）；（2）该顾客可以买下余下的盒牛奶.【解析】（1）依题意有盒至少一盒中奖的概率为；（2）盒牛奶恰有盒中奖的概率为，令，则，当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.当时，有最大值，设余下盒牛奶中奖为盒，中奖后实际付款为元，，，，，该顾客可以买下余下的盒牛奶．【一隅三反】1．（2021·重庆市杨家坪中学高三）某医疗研究所新研发了一款医疗仪器，为保障该仪器的可靠性，研究所外聘了一批专家检测仪器的可靠性，已知每位专家评估过程相互独立．（1）若安排两位专家进行评估，专家甲评定为“可靠”的概率为，专家乙评定为“可靠”的概率为，只有当两位专家均评定为“可靠”时，可以确定该仪器可靠，否则确定为“不可靠”．现随机抽取4台仪器，由两位专家进行评估，记评定结果不可靠的仪器台数为X，求X的分布列和数学期望；（2）为进一步提高该医疗仪器的可靠性，研究所决定每台仪器都由三位专家进行评估，若每台仪器被每位专家评定为“可靠”的概率均为p（），且每台仪器是否可靠相互独立．只有三位专家都评定仪器可靠，则仪器通过评估．若三位专家评定结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回研究所返修，拟定每台仪器评估费用为100元，若回研究所返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，研究所用于评估和维修的预算是3.3万元，你认为该预算是否合理？并说明理由．【答案】（1）分布列见解析，；（2）该预算合理，理由见解析.【解析】（1）记事件A：一台机器被评定为不合格，则，题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4．由题意得：，所以，，，，，．故随机变量X的分布列为：X01234P从而．（2）该预算合理．理由如下：设每台仪器用于评估和维修的费用为元，则的可能取值为，．，．所以，化简得，令，，令解得，当，，在单调递增，当，，在单调递减，所以当时，的最大值为．实施此方案，100台抽检仪器的费用期望值最高为元元，因此该预算合理．2．（2021·湖北恩施·高三开学考试）某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格，该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立．（1）若将该部门获得决赛资格的小组数记为，求的分布列与数学期望；（2）比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次（与答题顺序无关），若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组"．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为（）且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为，当时，最大，试求的值．【答案】（1）分布列见解析；期望为1；（2）．【解析】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，．则，．由题意的取值可能为0，1，2，则，，．那么的分布列为：012．（2）由题意，小组中2人答对的概率为，3人答对的概率，则．，令得，，，所以在上，单调递增，在上，单调递减．故时，最大．3．（2021·江苏南通·高三）在医学上，为了加快对流行性病毒的检测速度，常采用“混检”的方法：随机的将若干人的核酸样本混在一起进行检测，若检测结果呈阴性，则认定该组每份样本均为阴性，无需再检测；若检测结果呈阳性，则还需对该组的每份样本逐个重新检测，以确定每份样本是否为阳性.设某流行性病毒的感染率为.（1）若，混检时每组10人，求每组检测次数的期望值；（2）混检分组的方法有两种：每组10人或30人.试问这两种分组方法的优越性与的值是否有关？(参考数据：，)【答案】（1）1.489次；（2）分组方法的优越性与的值有关.【解析】（1）设每组检测的次数为，则的可能取值为1，11.，.所以的分布列为1110.95110.0489所以.所以每组检测次数的期望值是1.489次.（2）当每组的人数为10人时，设每组检测的次数为.则的可能取值为1，11.，.所以的分布列为111所以.当每组的人数为30人时，设每组检测的次数为.则的可能取值为1，31.；.所以的分布列为111所以.所以.解法一：设，，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以当时，有最小值为；当或1时，有最大值为，所以存在，，满足，，且，，使得.当时，，即，此时，每组30人更优越；当时，，即此时，每组10人更优越.所以，分组方法的优越性与的值有关.解法二：当时，，即；当时，，即.所以，分组方法的优越性与的值有关.考点三分布列与数列的结合【例3】《山东省高考改革试点方案》规定：从年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为八个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为.选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校级学生共人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级的学生原始成绩统计如下成绩93919088878685848382人数1142433327（1）从物理成绩获得等级的学生中任取名，求恰好有名同学的等级分数不小于的概率;（2）待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到名同学的物理高考成绩等级为或结束(最多抽取人)，设抽取的学生个数为，求随机变量的数学期望(注:).【答案】(1)0.29(2)见解析【解析】（1）设物理成绩获得等级的学生原始成绩为，其等级成绩为.由转换公式，得.由，得.显然原始成绩满足的同学有人，获得等级的学生有人，恰好有名同学的等级分数不小于的概率为：.（2）由题意得，随机抽取人，其等级成绩为或的概率为.学生个数的可能取值为；，，，；其数学期望是：其中：①②应用错位相减法“①式-②式”得：故.【一隅三反】1．已知A1，A2，A3，…，A10等（1）如果该同学10所高校的考试都参加，恰有m(1≤m≤10)所通过的概率为f（2）若p=12，该同学参加每所高校考试所需的费用均为a元，该同学决定按A1，A2，A3【答案】（1）当p=m10时，f【解析】（1）因为该冋学通过各校考试的概率均为p，所以该同学恰好通过m(1≤f==当0≤p≤m10当m10≤p≤1所以当p=m10时，（2）设该同学共参加了i次考试的概率为Pi∵Pi∴所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：ξa2345678910P1111111111所以Eξ=令S=则12由①-②得12所以S=1+所以Eξ=1+=1-考点四分布列与其他综合【例4】（2021年广东河源）已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.（1）求概率的值；（2）求随机变量的概率分布及其数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法.其中的三角形如，这类三角形共有个.因此.（2）由题意，的可能取值为，2，.其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；其中的三角形有两个，和.因此，.所以随机变量的概率分布列为：2所求数学期望.【一隅三反】1.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望.【答案】（I）2063