2022年高考数学一轮复习 分布列（精讲）（解析版）

8.6分布列（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一超几何分布【例1】（2021·重庆高三开学考试）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.【答案】（1）考核等级为优秀的男志愿者人数为5，考核等级为优秀的女志愿者人数为7；（2）分布列见解析，期望为.【解析】（1）由女志愿者考核成绩的频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为.因为，所以，所以这次培训考核等级为优秀的女志愿者人数为.因为被抽取的志愿者人数是80，所以被抽取的男志愿者人数是.由男志愿者考核成绩频率分布直方图可知男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为，则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为.（2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3.，，，.X的分布列为X0123P故【一隅三反】1．（2021·贵州省思南中学高三月考）某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？（2）从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设表示所抽取的3名同学的得分在的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）甲的平均数，方差；乙的平均数，方差；乙小组的更稳定.（2）分布列见解析，.【解析】（1）甲小组的平均数：甲小组的方差：，乙小组的平均数：乙小组的方差：.两个小组成绩的平均数相同，甲的方差比乙的方差要大，所以乙小组的成绩更稳定.（2）甲组同学成绩不低于70分的人有人，从中任意抽取3人，得分在的人数为人.，,,的分布列如下：故.2．（2021·广西柳州）为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；（2）若从第一､五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.【答案】(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为【解析】(1)由题意知，共选出50名学生参加预赛，由频率分布直方图可得，成绩在[100,120]内的人数为：人，所以该班成绩良好的人数为27人；(2)由题意，第一组有3人，第五组有4人，从这两组随机取两个成绩，所以，，，故X的分布列为：X012P所以.考点二二项分布【例2】（2021·渤海大学附属高级中学高三月考）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级特等一等二等三等等外个数501002506040（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，则，随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．则，，，．所以的分布列如下：0123所以．【一隅三反】1．（2021·天水市第一中学高三开学考试）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差.附：，0.050.013.8416.635【答案】（1）没有的把握认为“体育迷”与性别有关；（2）分布列见解析；，.【解析】（1）由频率分布直方图可得100名观众中体育迷的人数为，故男性中体育迷为15人，故可得列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100所以，故没有的把握认为“体育迷”与性别有关.（2）由（1）可得任取一人为体育迷的概率为，故，所以，，，.故分布列为：0123又，.2．（2021·北京新农村中学高三开学考试）已知表1和表2是某年部分日期天安门升旗时刻表表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:171月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:362月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:563月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:163月22日6:166月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻2月1日7:232月11日7:132月21日6:592月3日7:222月13日7:112月23日6:572月5日7:202月15日7:082月25日6:552月7日7:172月17日7:052月27日6:522月9日7:152月19日7:022月28日6:49（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（2）甲，乙两人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立.记为这两个人中观看升旗的时刻早于7:00的人数，求的分布列和数学期望；（3）将表1和表2中的升旗时刻华为分数后作为样本数据（如7:31化为）.记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为，判断与的大小.（只需写出结论）【答案】（1）；（2）X的分布列见解析，；（3）.【解析】（1）记事件A为“从表1的日期中随机选出天,这一天的升旗时刻早于7:00”,在表1的20个日期中,有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以.（2）X可能的取值为0,1,2.记事件B为“从表2的日期中随机选出一天,这天的升旗时刻早于7:00，则，.所以；；.所以X的分布列为：X012P所以（3）由题目数据分布的离散程度分析可知：.3．（2021·广东高三月考）某地为了解高三学生运动量是否达标，随机抽取了200名同学进行调查，得到数据如下：在120名男生中，运动量达标的有60人；在80名女生中，运动量未达标的有50人.（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为运动量达标与性别有关.运动量达标运动量未达标合计男生人数女生人数合计（2）以上述数据样本来估计总体，现从该地的所有高三学生（人数众多）中逐一随机抽取3人，记这3人中运动量达标的男生人数为随机变量X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式与数据：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）列联表见解析，没有把握；（2）分布列见解析，.【解析】（1）列联表如下：运动量达标运动量未达标合计男生人数6060120女生人数305080合计90110200∵，∴没有95%的把握认为运动量达标与性别有关.（2）根据样本估计总体的思想，从众多学生中随机抽取1人，其为运动量达标的男生概率为，易知可能的取值是0，1，2，3，且，∴，，，，∴分布列为：0123∴.4．（2021·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）.【解析】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，所以，从而，，所以，随机变量的分布列为：P012345X所以；（2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为，则，且事件，由题意知，事件之间互斥，且与相互独立，由（1）可得.5．（2021·湖北武汉·高三月考）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，2.【解析】解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．设其打破世界纪录的项目数为随机变量，“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，则,,,，所以X的分布列为X0123P所以期望．考点三独立重复实验【例3】（2021·常州市西夏墅中学高三开学考试）某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得10分，回答错误得-10分；第三个问题回答正确得10分，回答错误得-10分.规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于20分就算闯关成功.若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率都是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分的分布列､期望和闯关成功的概率.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：，成功的概率：．【解析】（1）设事件为参赛者甲回答正确第个问题，所以；（2）由题意，所有可能取值为所以的分布列为：-20-100102030由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为．【一隅三反】1．（2021·河北高三月考）某企业计划招聘新员工，现对应聘者关于工作的首要考虑因素进行调查﹐所得统计结果如下表所示：男性女性以月薪作为主要考虑因素以发展前景作为主要考虑因素（1）是否有的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；（2）若招聘考核共设置个环节，应聘者需要参加全部环节的考核，每个环节设置两个项目，若应聘者每通过一个项目积分，未通过积分.已知甲第环节每个项目通过的概率均为，第环节每个项目通过的概率均为，各环节､各项目间相互独立.求甲经过两个环节的考核后所得积分之和的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”；（2）分布列答案见解析，数学期望：（分）.【解析】（1）补充列联表如下表：男性女性总计以月薪作为主要考虑因素以发展前景作为主要考虑因素总计，有的把握认为“应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关”.（2）的所有可能的取值为.’的分布列为（分）2．（2021·全国）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为3．【解析】（1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以；（2）易知X的取值为0，1，2，3，4，且，，，，，，所以X的分布列为：X01234P数学期望．3．（2021·广东深圳·高三月考）甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲蠃的概率为，输的概率为.（1）求甲最终获胜的概率；（2）记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望是.【解析】（1）设甲最终获胜的概率为P，比赛四局甲获得胜利的概率为，比赛五局甲获得胜利的概率为，比赛六局甲获得胜利的概率为，比赛七局甲获得胜利的概率为，于是得，所以甲最终获胜的概率为；（2）X的可能取值为4，5，6，7，，，，，所以随机变量X的分布列为：X4567P于是得，所以的数学期望为.考点四正态分布【例4-1】（2021·扬州市邗江区蒋王中学高三月考）已知随机变量服从正态分布，若，则（）A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42【答案】C【解析】随机变量服从正态分布，且，由对称性可知，，又，，故选：C．【例4-2】（2021·海南高三）某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达标者进入面试，面试环节应聘者要回答道题，第一题为教育心理学知识，答对得分，答错得分，后两题为学科专业知识，每道题答对得分，答错得分．（Ⅰ）若一共有人应聘，他们的工作经历评分服从正态分布，分及以上达标，求进面试环节的人数（结果四舍五入保留整数）；（Ⅱ）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题正确与否互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列及数学期望．附：若随机变量，则，，．【答案】（Ⅰ）159；（Ⅱ）分布列见解析，7.9.【解析】（Ⅰ）因为服从正态分布，所以，因此进入面试的人数为．（Ⅱ）由题可知，Y的可能取值为，，，，，，则；；；；；．故的分布列为：所以．【一隅三反】1．（2021·贵州贵阳一中（理））已知随机变量，则（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6【答案】D【解析】因为随机变量X服从正态分布，所以曲线关于对称，因为，所以.故选：D2．（2021·广东高三月考）绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球、个黄球、5个黑球（），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．（1）经统计，每人的植树棵数服从正态分布，现有100位植树者，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？附参考数据：若，则，．【答案】（1）人；（2）第二种方法所得奖金期望值大.【解析】（1）由题设，，而，∴100位植树者中植树的棵数在内的人数为人.（2）摸甲箱：由题设知，故中100元、50元、没中奖的概率分别为、、；摸乙箱：中100元、50元的概率分别为、，∴甲箱内一次摸奖，奖金可能值为，且，，，则，∴三次摸奖的期望为，而可能取值为，即.两次乙箱内摸奖，所得奖金可能值为，，，，此时，期望奖金为元.综上，，故第二种方案摸奖期望值大.3．（2021·湖南高三）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服