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11.双曲线中的仿射变换利用仿射变换再解T8联考16题一．基本原理1.压缩变换：平面上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的，即，平面上的双曲线变为平面上的等轴双曲线.结论1.在压缩变换下，平面对应封闭图形面积是原来平面上封闭图形面积的倍，即．2.旋转变化将等轴双曲线旋转即可得到反比例函数，即变成了初中的反比例函数，两条渐近线分别是坐标轴，下面通过一个例子予以说明.在平面直角坐标系中，已知双曲线，将其绕原点逆时针旋转，求所得到的的曲线的方程.3.反比例函数的一个重要性质若直线与反比例函数相切，同时交坐标轴分别与，则.证明：设切点因为，所以斜率为，所以，直线的方程为：，令，得，令，得，所以，.二．典例分析例1（T8联考16题）已知双曲线的左、右焦点分别为和，为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为________；又过点作双曲线的切线交另一条渐近线于点，且的面积，则该双曲线的方程为_________.解析：第一个空较简单，.第二个空：将双曲线压缩再旋转后得到反比例函数，于是，由于且，可解得：双曲线方程为：.例2.（2014年福建）已知双曲线的两条渐近线分别为，．（1）求双曲线的离心率；（2）如图，点为坐标原点，动直线分别交直线，于，两点，分别在第一、第四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程，若不存在，说明理由．解：（1）因为双曲线的渐近线分别为，，所以．所以．故，从而双曲线的离心率．由（1）知，双曲线的方程为．作，再将双曲线沿逆时针旋转得：；，

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