垂径定理推论

O.CAEBD垂径定理观察并回答

（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？·OABCDE?思考如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.条件CD为直径CD⊥AB垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，AE=BE，AC=BC，⌒⌒AD=BD．⌒⌒∴（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论AE=BEAC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒∵垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．CD⊥AB垂径定理如图,小明的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.夯实基础判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！我学习，我快乐Rammingfoundation

判断下列图形，能否使用垂径定理？定理辨析×√×√√√垂径定理三种语言定理:

垂直于弦的直径平分弦,

并且平分弦所对的两条弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.双基训练判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.

()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.√

如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E.ABO练一练：试金石解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。O·ABE?思考变形2、CE=8,DE=2,则AB=

。DC变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离是

。变形3、CD=10,AB=8,则DE=

。382若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,∟到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？如图，两个圆都以点O为圆心，求证:AC=BD．O·AB·CD?练练一活动4垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论（1）过圆心（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.知二推三垂径定理及逆定理●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.填空：如图，在⊙O中

（1）若MN⊥AB，MN为直径；则（ ），（ ），（ ）；（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则（ ），（ ），（ ）；（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则（ ），（ ），（ ）；（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则（ ），（ ），（ ）。COBAMN我能行！更上层楼Upperformationbuilding

判断⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧()⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心()⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分()⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧()⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√直径两条直径不是直径（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)不是直径直径1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.ABCDO(5)ABCDO(6)E1、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。E2、如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上。你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？G变式1.已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：AC=BD．．BOACD证明圆中与弦有关的线段相等时,常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.

M如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGHMN3452如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。

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变式2

连接OC，OD，设OC=OD，求证：AC=BD．DOCAB练习1:如图，CD为圆O的直径，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。OABCDEF2:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4㎝，弦AC=㎝，

求圆O的半径。

ABCDEO试一试挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有

:

.图中相等的劣弧有:

.D1.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,则过P点的最短弦长等于()A.1cmB.2cmC.CmD.2.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm,⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为()A.1.5cmB.10.5cm;C.1.5cm或10.5cmD.都不对;COP23解：（1）OAB+AOC=90AC=CB，OC是半径（已知）OCAB(如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所对的弦）ADO=90OAB=90-35=55ABCDO如图，在扇形OAB中，C是AB的中点，OC交AB于点DAOC=35,AD=16cm求（1）OAB的度数（2）AB的长已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.xx-13课堂学习检测一、基础知识填空1．圆是______对称图形，它的对称轴是______________________；圆又是______对称图形，它的对称中心是____________________．2．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________．3．平分________的直径________于弦，并且平分________________________________．二、填空题4．圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm．5．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．6．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．7．如图，AB为⊙O的弦，∠AO