非常好数系的扩充与复数的概念

关于非常好数系的扩充与复数的概念第一页，共二十三页，2022年，8月28日NZQR数系的扩充过程引入自然数计数的需要?引入无理数引入分数引入负数解方程3x=7自然数集中不能整除解方程x+6=2正有理数集中不够减解方程x2=3有理数集中开方开不尽解方程x2=－1实数集中负数不能开平方

我们能否引入新数，将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？一、回顾引入设想引入一个新数：满足第二页，共二十三页，2022年，8月28日

现在我们就引入这样一个数

i

，把

i

叫做虚数单位，并且规定：

（1）i2

1；

（2）实数可以与

i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立.第三页，共二十三页，2022年，8月28日二、复数的有关概念1.定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.其中

称为虚数单位.i

①复数通常用字母z表示，即:z=a+bi

（a∈R，b∈R）,这一形式叫做复数的代数形式.

②实数a，b分别叫做复数的实部和虚部.③全体复数所组成的集合叫复数集，记作C.复数集C和实数集R之间有什么关系？思考？注意:第四页，共二十三页，2022年，8月28日2.复数的分类复数z=a+bi复数集虚数集实数集纯虚数集

实数（b=0）

虚数（b≠0）(特别的当a=0时,z为0)(特别的当a=0时,z为纯虚数)第五页，共二十三页，2022年，8月28日指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？练习第六页，共二十三页，2022年，8月28日例1

实数m取什么值时，复数

是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解:（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当即时，复数z是纯虚数．第七页，共二十三页，2022年，8月28日练习:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数第八页，共二十三页，2022年，8月28日

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．3.复数相等

类比集合相等；向量相等第九页，共二十三页，2022年，8月28日例2

已知，其中求解：第十页，共二十三页，2022年，8月28日

若(x-3)+(x2-2x-3)=0，求实数x的值.练习：i第十一页，共二十三页，2022年，8月28日注意：一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小.虚数第十二页，共二十三页，2022年，8月28日三、复数的几何意义实数可以用数轴上的点来表示.实数

数轴上的点

一一对应

在几何上，我们用什么来表示实数?想一想？类比实数的表示，可以用什么来表示复数？第十三页，共二十三页，2022年，8月28日Z=a+bi(a,b∈R)实部!虚部!一个复数由什么唯一确定？第十四页，共二十三页，2022年，8月28日复数z=a+bi有序实数对(a,b)平面直角坐标系中的点Z(a,b)

建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴------复数平面

(简称复平面)一一对应Z(a,b)xyobaz=a+bi复数的几何意义（一）第十五页，共二十三页，2022年，8月28日指出下列复数与哪些点是对应的？第十六页，共二十三页，2022年，8月28日例3

已知复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围.

因为复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平面内所对应的点为(m2+m-6，m-1)，该点在第二象限，第十七页，共二十三页，2022年，8月28日变式：已知复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平面内所对应的点在直线x+3y+13=0上，求实数m的值.

解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m-1），∴(m2+m-6)+3(m-1)+13=0，∴m=-2.第十八页，共二十三页，2022年，8月28日复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi一一对应复数的几何意义（二）第十九页，共二十三页，2022年，8月28日xOz=a+biyZ

(a,b)对应平面向量的模||，叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|.|z

|=||四、复数的模第二十页，共二十三页，2022年，8月28日

例4

求下列复数的模：

(1)z=-4i(2)z

=3+2i

(3)z

=1-2i(4)z

=4n-3ni(n<0)解：(1)|z|=4(2)|z|=(3)|z|=(4)|z|=-5n第二十一页，共