交变电流（1）-备战2022年高考案头必备模型（解析版）

模型29交变电流（1）-备战2022年高考案头必备模型+典例+方法+练习目录交变电流的产生及变化规律 2交流电有效值的求解 3交变电流的“四值”的对比与应用 5理想变压器原理的应用 9理想变压器的动态分析 12交流电流的图象 15

交变电流的产生及变化规律【模型+方法】1.交变电流的变化规律(线圈在中性面位置开始计时)规律物理量函数表达式图象磁通量Φ＝Φmcosωt＝BScosωt电动势e＝Emsinωt＝nBSωsinωt电压u＝Umsinωt＝eq\f(REm,R＋r)sinωt电流i＝Imsinωt＝eq\f(Em,R＋r)sinωt2.交变电流瞬时值表达式的书写(1)确定正弦交变电流的峰值，根据已知图象读出或由公式Em＝nBSω求出相应峰值.(2)明确线圈的初始位置，找出对应的函数关系式.如：①线圈在中性面位置开始计时，则i－t图象为正弦函数图象，函数表达式为i＝Imsinωt.②线圈在垂直于中性面的位置开始计时，则i－t图象为余弦函数图象，函数表达式为i＝Imcosωt.典例(多选)如图，M为半圆形导线框，圆心为OM；N是圆心角为直角的扇形导线框，圆心为ON；两导线框在同一竖直面(纸面)内；两圆弧半径相等；过直线OMON的水平面上方有一匀强磁场，磁场方向垂直于纸面.现使线框M、N在t＝0时从图示位置开始，分别绕垂直于纸面且过OM和ON的轴，以相同的周期T逆时针匀速转动，则()A.两导线框中均会产生正弦交流电B.两导线框中感应电流的周期都等于TC.在t＝eq\f(T,8)时，两导线框中产生的感应电动势相等D.两导线框的电阻相等时，两导线框中感应电流的有效值也相等答案BC解析两导线框进入磁场过程中，匀速转动切割磁感线产生感应电动势的大小不变，选项A错误；导线框的转动周期为T，则感应电流的周期也为T，选项B正确；在t＝eq\f(T,8)时，切割磁感线的有效长度相同，两导线框中产生的感应电动势相等，选项C正确；M导线框中一直有感应电流，N导线框中只有一半时间内有感应电流，所以两导线框的电阻相等时，感应电流的有效值不相等，选项D错误.练习(多选)如图所示，线圈ABCD匝数n＝10，面积S＝0.4m2，边界MN(与线圈的AB边重合)右侧存在磁感应强度B＝eq\f(2,π)T的匀强磁场，若线圈从图示位置开始绕AB边以ω＝10πrad/s的角速度匀速转动.则以下说法正确的是()A.线圈产生的是正弦交流电B.线圈在转动过程中产生的最大感应电动势为80VC.线圈转动eq\f(1,60)s时瞬时感应电动势为40eq\r(3)VD.线圈产生的感应电动势的有效值为40V答案BD解析线圈在有界匀强磁场中将产生正弦半波脉动电流，故A错误；电动势最大值Em＝nBSω＝80V，故B正确；线圈转动eq\f(1,60)s、转过角度eq\f(π,6)，瞬时感应电动势为e＝Emsineq\f(π,6)＝40V，故C错误；在一个周期时间内，只有半个周期产生感应电动势，根据有效值的定义有(eq\f(Em,\r(2)R))2R·eq\f(T,2)＝(eq\f(E,R))2RT，可得电动势有效值E＝eq\f(Em,2)＝40V，故D正确.交流电有效值的求解【模型+方法】1.交变电流有效值的规定交变电流、恒定电流I直分别通过同一电阻R，在交流的一个周期内产生的焦耳热分别为Q交、Q直，若Q交＝Q直，则交变电流的有效值I＝I直(直流有效值也可以这样算).2.对有效值的理解(1)交流电流表、交流电压表的示数是指有效值；(2)用电器铭牌上标的值(如额定电压、额定功率等)指的均是有效值；(3)计算热量、电功率及保险丝的熔断电流指的是有效值；(4)没有特别加以说明的，是指有效值；(5)“交流的最大值是有效值的eq\r(2)倍”仅适用于正(余)弦式交变电流.3.计算交变电流有效值的方法(1)计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”列式求解.(2)分段计算电热求和得出一个周期内产生的总热量.(3)利用两个公式Q＝I2Rt和Q＝eq\f(U2,R)t可分别求得电流有效值和电压有效值.(4)若图象部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的eq\f(1,4)周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和eq\f(1,2)周期部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系I＝eq\f(Im,\r(2))、U＝eq\f(Um,\r(2))求解.【典例】一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q方；若该电阻接到正弦交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q正.该电阻上电压的峰值均为u0，周期均为T，如图所示.则Q方∶Q正等于()A.1∶eq\r(2)B.eq\r(2)∶1C.1∶2D.2∶1答案D解析由有效值概念知，一个周期内产生热量Q方＝eq\f(u\o\al(

2,0),R)·eq\f(T,2)＋eq\f(u\o\al(

2,0),R)·eq\f(T,2)＝eq\f(u\o\al(

2,0),R)T，Q正＝eq\f(U\o\al(2,有效),R)T＝eq\f(\f(u0,\r(2))2,R)T＝eq\f(1,2)·eq\f(u\o\al(

2,0),R)T，故知，Q方∶Q正＝2∶1.练习1阻值为R的电炉丝通以大小为I的恒定电流时其电功率为P，当把它接在某正弦交流电源两端时其电功率也为P.则该交流电源电压的最大值为()A.eq\f(\r(2),2)IR B.eq\r(2)IRC.IR D.2IR答案B解析电炉丝通以大小为I的恒定电流时，经t时间内产生的热量为Q，则有：Q＝Pt＝I2Rt；电炉丝接在某正弦交流电源两端时，经t时间内产生的热量为Q′，则有：Q′＝Pt＝I有2Rt，根据热效应有：Q＝Q′，即I2Rt＝I有2Rt，解得：I有＝I，则电压的有效值为U有＝I有R＝IR，故该交流电源电压的最大值为Um＝eq\r(2)U有＝eq\r(2)IR，故选B.练习2(多选)在匀强磁场中，一个100匝的闭合矩形金属线圈，绕与磁感线垂直的固定轴匀速转动，穿过该线圈的磁通量随时间按图所示正弦规律变化.设线圈总电阻为2Ω，则()A.t＝0时，线圈平面平行于磁感线B.t＝1s时，线圈中的电流改变方向C.t＝1.5s时，线圈中的感应电动势最大D.一个周期内，线圈产生的热量为8π2J答案AD解析t＝0时，穿过线圈的磁通量为零，线圈平面平行于磁感线，故A正确；每经过一次中性面(线圈平面垂直于磁感线，磁通量有最大值)电流的方向改变一次，t＝1s时，磁通量为零，线圈平面平行于磁感线，故B错误；t＝1.5s时，磁通量有最大值，但磁通量的变化率为零eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ΔΦ,Δt)＝0))，根据法拉第电磁感应定律可知线圈中的感应电动势为零，故C错误；感应电动势最大值Em＝NBSω＝N·Φm·eq\f(2π,T)＝4πV，有效值E＝eq\f(Em,\r(2))＝2eq\r(2)πV，一个周期内线圈产生的热量Q＝eq\f(E2,R)T＝8π2J，故D正确.交变电流的“四值”的对比与应用【模型+方法】一、交变电流的“四值”的对比与应用1．交变电流的瞬时值表达式当线圈平面转到与中性面重合时开始计时，e＝Emsinωt，u＝Umsinωt，i＝Imsinωt。当线圈平面转到与磁感线平行时开始计时，e＝Emcosωt，u＝Umcosωt，i＝Imcosωt。在研究某一时刻线圈所受的安培力或霓虹灯的亮暗时，只能用瞬时值。2．交变电流的最大值(以交变电动势为例)Em＝nBSω在研究交流电路中电容器的耐压值时，应采用最大值。3．在研究交变电流做功、电功率以及产生热量时，只能用有效值(1)一般来说，电器上标的额定电压和额定电流的数值、交流电表测得的数值都是指有效值。(2)有效值根据定义计算，即截取交流电的一个周期T，分段计算该段时间内通以交流电的电阻R上产生的焦耳热，进而求出这一个周期内的总焦耳热Q交；再假设这段时间内给R加的是直流电压或通的是直流电流，算出T时间内的焦耳热Q直＝eq\f(U2,R)T＝I2RT；最后由Q直＝Q交得出交流电的有效值U或I。4．在研究交变电流通过导体截面的电荷量时，只能用平均值平均值是指交变电流图象中图线与横轴所围成的面积跟时间的比值。其值可用法拉第电磁感应定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)来求。特殊地，当线圈从中性面转过90°的过程中，有eq\x\to(E)＝eq\f(2,π)Em。计算平均值切忌用算术平均法eq\x\to(E)＝eq\f(e1＋e2,2)来求。另外要注意，平均值不一定等于有效值。5.列表比较“四值”物理量物理含义重要关系适用情况及说明瞬时值交变电流某一时刻的值e＝Emsinωti＝Imsinωt计算线圈某时刻的受力情况峰值最大的瞬时值Em＝nBSωIm＝eq\f(Em,R＋r)讨论电容器的击穿电压有效值跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值E＝eq\f(Em,\r(2))U＝eq\f(Um,\r(2))I＝eq\f(Im,\r(2))适用于正(余)弦式交变电流(1)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热等)(2)电气设备“铭牌”上所标的一般是有效值(3)保险丝的熔断电流为有效值平均值交变电流图象中图线与时间轴所夹的面积与时间的比值eq\x\to(E)＝Bleq\x\to(v)eq\x\to(E)＝neq\f(ΔΦ,Δt)eq\x\to(I)＝eq\f(\x\to(E),R＋r)计算通过电路横截面的电荷量二、瞬时值、平均值、有效值的应用(1)研究交变电流某一时刻的电流、电压或某一时刻线圈受到的安培力时，只能用瞬时值．(2)不仅热量的计算用有效值，与热效应有关的计算，如保险丝的熔断电流都必须用有效值【典例】如图所示，N＝50匝的矩形线圈abcd，ab边长l1＝20cm，ad边长l2＝25cm，放在磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场中，外力使线圈绕垂直于磁感线且通过线圈中线的OO′轴以n＝3000r/min的转速匀速转动，线圈电阻r＝1Ω，外电路电阻R＝9Ω，t＝0时线圈平面与磁感线平行，ab边正转出纸外、cd边转入纸里．求：(1)t＝0时感应电流的方向；(2)感应电动势的瞬时值表达式；(3)线圈转一圈外力做的功；(4)从图示位置转过90°的过程中流过电阻R的电荷量．【答案】（1）线圈感应电流方向为adcba.；（2）314cos100πtV.；（3）98.6J；（4）0.1C.【解析】：(1)根据右手定则，线圈感应电流方向为adcba.(2)线圈的角速度ω＝2πn＝100πrad/s，图示位置的感应电动势最大，其大小为Em＝NBl1l2ω，代入数据得Em＝314V，感应电动势的瞬时值表达式：e＝Emcosωt＝314cos100πtV.(3)电动势的有效值E＝eq\f(Em,\r(2))，线圈匀速转动的周期T＝eq\f(2π,ω)＝0.02s，线圈匀速转动一圈，外力做功大小等于电功的大小，即：W＝I2(R＋r)T＝eq\f(E2,R＋r)·T，代入数据得W＝98.6J.(4)从t＝0起转过90°过程中，Δt内流过R的电荷量：q＝eq\f(NΔΦ,（R＋r）Δt)Δt＝eq\f(NBΔS,R＋r)＝eq\f(NBl1l2,R＋r)，代入数据得q＝0.1C.【练习1】如图甲所示为手机无线充电工作原理的示意图，由送电线圈和受电线圈组成.已知受电线圈的匝数为n＝50匝，电阻r＝1.0Ω，在它的c、d两端接一阻值R＝9.0Ω的电阻.设在受电线圈内存在与线圈平面垂直的磁场，其磁通量随时间按图乙所示的规律变化，可在受电线圈中产生电动势最大值为20V的正弦交流电，设磁场竖直向上.求：(1)在t＝π×10－3s时，受电线圈中产生电流的大小，c、d两端哪端电势高？(2)在一个周期内，电阻R上产生的热量；(3)从t1到t2时间内，通过电阻R的电荷量.答案(1)2.0Ac端电势高(2)5.7×10－2J(3)2×10－3C解析(1)由题图乙知t＝π×10－3s时受电线圈中产生的电动势最大，为Em＝20V线圈中产生感应电流的大小为I1＝Im＝eq\f(Em,R＋r)＝2.0A由楞次定律可以得到此时c端电势高(2)通过电阻的电流的有效值为I＝eq\f(Im,\r(2))＝eq\r(2)A电阻在一个周期内产生的热量Q＝I2RT≈5.7×10－2J(3)线圈中感应电动势的平均值eq\x\to(E)＝neq\f(ΔΦ,Δt)通过电阻R的电流的平均值为eq\x\to(I)＝eq\f(\x\to(E),R＋r)，通过电阻R的电荷量q＝eq\x\to(I)·Δt由题图乙知，在eq\f(T,4)～eq\f(3T,4)的时间内，ΔΦ＝4×10－4Wb解得q＝neq\f(ΔΦ,R＋r)＝2×10－3C【练习2】(多选)如图所示，处在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场中的矩形线框MNPQ，以恒定的角速度ω绕对角线NQ转动.已知MN长为l1，NP长为l2，线框电阻为R.t＝0时刻线框平面与纸面重合，下列说法正确的是()A.矩形线框产生的感应电动势有效值为eq\f(\r(2),2)Bl1l2ωB.矩形线框转过π时的电流强度为零C.矩形线框转动一周，通过线框任意横截面的电荷量为eq\f(Bl1l2,R)D.矩形线框转过π过程中产生的热量为eq\f(πB2l\o\al(,12)l\o\al(,22)ω,2R)答案ABD解析产生正弦式交变电流，最大值为Em＝Bl1l2ω，所以有效值为：E＝eq\f(\r(2)Bl1l2ω,2)，故A正确；转过π时，线圈平面与磁场垂直，磁通量最大，感应电动势为零，电流为零，故B正确；线框转过一周通过横截面的电荷量为零，故C错误；根据焦耳定律可得转过π过程中产生的热量为：Q＝I2Rt＝eq\f(E2,R)×eq\f(π,ω)＝eq\f(πB2l\o\al(

2,1)l\o\al(

2,2)ω,2R)，故D正确.理想变压器原理的应用【模型+方法】1.构造如图所示，变压器是由闭合铁芯和绕在铁芯上的两个线圈组成的.(1)原线圈：与交流电源连接的线圈，也叫初级线圈.(2)副线圈：与负载连接的线圈，也叫次级线圈.2.原理电流磁效应、电磁感应.3.理想变压器原、副线圈基本量的关系理想变压器(1)没有能量损失(绕线无电阻、铁芯无涡流)(2)没有磁通量损失(磁通量全部集中在铁芯中)基本关系功率关系根据能量守恒可得：原线圈的输入功率等于副线圈的输出功率，即P入＝P出电压关系原、副线圈的电压之比等于其匝数之比，公式：eq\f(U1,U2)＝eq\f(n1,n2)，与负载、副线圈的个数无关电流关系(1)只有一个副线圈时：eq\f(I1,I2)＝eq\f(n2,n1)(2)有多个副线圈时：由P入＝P出得I1U1＝I2U2＋I3U3＋…＋InUn或I1n1＝I2n2＋I3n3＋…＋Innn频率关系f1＝f2(变压器不改变交变电流的频率)4.几种常用的变压器(1)自耦变压器——调压变压器，如图甲(降压作用)、乙(升压作用)所示.(2)互感器eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(电压互感器n1>n2：把高电压变成低电压，,如图丙所示.,电流互感器n1<n2：把大电流变成小电流，,如图丁所示.))典例一含有理想变压器的电路如图4所示，图中电阻R1、R2和R3的阻值分别为3Ω、1Ω和4Ω，为理想交流电流表，U为正弦交流电压源，输出电压的有效值恒定.当开关S断开时，电流表的示数为I；当S闭合时，电流表的示数为4I.该变压器原、副线圈匝数比为()A.2 B.3 C.4 D.5答案B解析开关断开时，电路如图甲所示，原、副线圈的电流比eq\f(I,I2)＝eq\f(n2,n1)，通过R2的电流I2＝eq\f(In1,n2)，副线圈的输出电压U2＝I2(R2＋R3)＝eq\f(5In1,n2)，由eq\f(U1,U2)＝eq\f(n1,n2)可得原线圈两端的电压U1＝5Ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n1,n2)))2，则U＝U1＋IR1＝5Ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n1,n2)))2＋3I；开关闭合时，电路如图乙所示，原、副线圈的电流比eq\f(4I,I2′)＝eq\f(n2,n1)，通过R2的电流I2′＝eq\f(4In1,n2)，副线圈的输出电压U2′＝I2′R2＝eq\f(4In1,n2)，由eq\f(U1′,U2′)＝eq\f(n1,n2)可得原线圈两端的电压U1′＝4Ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n1,n2)))2，则U＝U1′＋4IR1＝4Ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n1,n2)))2＋12I，联立解得eq\f(n1,n2)＝3，选项B正确.练习1(多选)如图所示，理想变压器原、副线圈分别接有额定电压相同的灯泡a和b.当输入电压U为灯泡额定电压的10倍时，两灯泡均能正常发光.下列说法正确的是()A.原、副线圈匝数比为9∶1B.原、副线圈匝数比为1∶9C.此时a和b的电功率之比为9∶1D.此时a和b的电功率之比为1∶9答案AD解析设灯泡的额定电压为U0，两灯泡均能正常发光，所以原线圈输入端电压为U1＝9U0，副线圈两端电压为U2＝U0，故eq\f(U1,U2)＝eq\f(9,1)，eq\f(n1,n2)＝eq\f(U1,U2)＝eq\f(9,1)，A正确，B错误；根据公式eq\f(I1,I2)＝eq\f(n2,n1)可得，eq\f(I1,I2)＝eq\f(1,9)，由于小灯泡两端的电压相等，所以根据公式P＝UI可得，灯泡a和b的电功率之比为1∶9，C错误，D正确.练习2(2018·河南省中原名校第六次模拟)如图所示，一理想变压器，左右两边共接有额定电压均为U的6盏完全相同的灯泡(额定功率均为P)，左端接在一电压恒为U0的交流电源两端.此时6盏灯刚好正常发光.下列说法中不正确的是()A.该变压器的原、副线圈匝数比为1∶2B.此时交流电源输出的功率为6PC.U0＝6UD.如果灯L6突然烧断，灯L1和L2将变暗，而其余3盏灯将变得更亮答案A解析由于各盏灯相同且均正常发光，所以流过每盏灯的电流均相同，原线圈中的电流I1等于灯泡的额定电流I，而副线圈中的总电流为I2＝4I，故n1∶n2＝I2∶I1＝4∶1，A错误；由于理想变压器本身不消耗能量，所以交流电源输出功率为6盏灯的总功率6P，B正确；设原、副线圈两端的电压分别为U1、U2，则U2＝U，U0＝U1＋2U，而U1∶U2＝n1∶n2＝4∶1，代入得U0＝6U，C正确；当灯L6突然烧断，变压器输出的功率将减小，所以输入功率也将减小，由P1＝U1I1得I1减小，所以灯L1和L2将变暗，同时因L1和L2分得的电压减小，变压器输入端的电压U1将增大，所以变压器输出的电压也将增大，使其余3盏灯变得更亮，D正确.理想变压器的动态分析【模型+方法】1.模型如图所示，若发电站输出电功率为P，输电电压为U，用户得到的电功率为P′，用户的电压为U′，输电线总电阻为R.I＝eq\f(P,U)＝eq\f(P′,U′)＝eq\f(U－U′,R).2.电压损失(1)ΔU＝U－U′(2)ΔU＝IR3.功率损失(1)ΔP＝P－P′(2)ΔP＝I2R＝(eq\f(P,U))2R4.减少输电线上电能损失的方法(1)减小输电线的电阻R.由R＝ρeq\f(l,S)知，可加大导线的横截面积、采用电阻率小的材料做导线.(2)减小输电线中的电流.在输电功率一定的情况下，根据P＝UI，要减小电流，必须提高输电电压.5.动态变化1）匝数比不变的情况(如图)(1)U1不变，根据eq\f(U1,U2)＝eq\f(n1,n2)，输入电压U1决定输出电压U2，不论负载电阻R如何变化，U2不变.(2)当负载电阻发生变化时，I2变化，输出电流I2决定输入电流I1，故I1发生变化.(3)I2变化引起P2变化，P1＝P2，故P1发生变化.2）负载电阻不变的情况(如图)(1)U1不变，eq\f(n1,n2)发生变化，故U2变化.(2)R不变，U2变化，故I2发生变化.(3)根据P2＝eq\f(U\o\al(

2,2),R)，P2发生变化，再根据P1＝P2，故P1变化，P1＝U1I1，U1不变，故I1发生变化.6、含有变压器的动态电路问题的解题思路：【典例】(多选)如图甲所示的电路中，理想变压器原、副线圈匝数比为20∶1，图中电表均为理想电表，R为光敏电阻(其阻值随光强增大而减小)，L1和L2是两个完全相同的灯泡.原线圈接入如图乙所示的正弦交流电压u，下列说法正确的是()A.交流电压的频率为50HzB.电压表的示数为11VC.当照射R的光强增大时，电流表的示数变大D.若L1的灯丝烧断后，电压表的示数会变小答案ABC解析由题图乙可知交流电压周期T＝0.02s，所以频率为f＝eq\f(1,T)＝50Hz，故A正确；原线圈接入电压的最大值是220eq\r(2)V，所以原线圈接入电压的有效值是U＝220V，理想变压器原、副线圈匝数比为20∶1，所以副线圈两端电压是11V，所以电压表的示数为11V，故B正确；R阻值随光强增大而减小，根据I＝eq\f(U,R)知副线圈电流增加，副线圈输出功率增加，根据能量守恒定律，可知原线圈输入功率也增加，原线圈电流增加，所以电流表的示数变大，故C正确；当L1的灯丝烧断后，变压器的输入电压不变，根据变压比公式，输出电压也不变，故电压表读数不变，故D错误.练习如图甲为理想变压器的示意图，其原、副线圈的匝数比为4∶1，电压表和电流表均为理想电表，Rt为阻值随温度升高而变小的热敏电阻，R1为定值电阻.若发电机向原线圈输入如图乙所示的正弦交流电.下列说法中正确的是()图11A.输入变压器原线圈的