初中数学动点问题专题讲解(简洁版)(DOC)

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这种问题的重点是动中求静，灵便运用相关数学知识解决问题.重点:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转变思想重视对几何图形运动变化能力的察看从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过对称、动点的运动”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解题过程中浸透空间见解和合情推理。图形在动点的运动过程中察看图形的变化状况，需要理解图形在不同地址的状况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学动点”研究题的基本思路，这也是动向几何数学问题中最核心的数学本质。函数揭穿了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容?动点问题反响的是一种函数思想，因为某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系?那么，我们怎样成立这种函数解析式呢？下边结合中考试题举例解析?例1(2005年?上海)如图3(1),在厶ABC中，/ABC=90,AB=4,BC=3.点O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E.作EP丄ED，交射线AB于点P,交射线CB于点F.求证：△ADE^^AEP.设OA=x,AP=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域?(3)当BF=1时，求线段AP的长.3(21)(二)线动问题在矩形ABCD中，AB=3,点O在对角线AC上，直线I过点O,且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线I过点B，把△ABE沿直线I翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A/重合，求BC的长;1⑵若直线I与AB订交于点F,且AO=AC,设AD的长为x，五边4形BCDEF的面积为S.①求S关于x的函数关系式，并指出x的取值范ED3A围；②研究：可否存在这样的x，以A为圆心，以X-?长为半径的圆O4与直线l相切，若存在，央求出x的值；若不存在，请说明原因.x29AE4x⑵①ACh；X29,AOJ：x29,AF=1(x29),41212222SAEF*E.AFJ^,S=3XJ^42S「X27°96x一81(...3*3,3)x②若圆A与直线I相切，贝UX-3=丄&X2十9,捲=0(舍去,X2=8X2=8<y［3/?4455不存在这样的X，使圆A与直线I相切.［类题］09虹口25题.(三)面动问题如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=6,D、E分别是边AB、AC上的两个动点(D不与A、B重合)，且保持DE//BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.试求=ABC的面积；(2)当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；(3)设AD=x,ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于X的函数关系式，并写出定义域；(4)当；BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.［题型背景和区分度丈量点］此题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题，试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题，当D点在AB边上运动时，正方形DEFG整体动起来,GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，能够说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探访正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，依旧属于面积类习题来设置区分丈量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分丈量点二.［区分度性小题办理手法］1?找到三角形与正方形的重叠部分是解决此题的重点，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包含两种状况.2?正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决.3?解题的重点是用含X的代数式表示出相关的线段.［略解］解：(1)S.ABC=12.a4—a12(2)令此时正方形的边长为a，则一二------，解得a-一.26453⑷AD上半2(3)当0x^2时,7311x,25当2x5时,◎xU—x空x255525207(6丫36-x<5［类题］改编自09奉贤3月考25题，将条件(2)“当点M、N分别在边BA、CA上时”，去掉，同时加到第(3)题中.已知：在△ABC中，AB=AC,ZB=30o,BC=6，点D在边BCMF上，点E在线段DC上，DE=3,△DEF是等边三角形，边NDF、EF与边BA、CA分别订交于点M、N.(1)求证：△BDMCEN;(2)设BD=x,△ABC与厶DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域.(3)当点M、N分别在边BA、CA上时，可否存在点D,使以M为圆心,BM为半径的圆与直线EF相切,若是存在，央求出x的值；如不存在，请说明原因.例1:已知OO的弦AB的长等于OO的半径，点C在OO上变化(不与A、B)重合，求/ACB的大小?解析：点C的变化可否影响/ACB的大小的变化呢？我们不如将点C改变一下，怎样变化呢？可能在优弧AB上，也可能在劣弧AB上变化，显然这二者的结果不同样。那么，当点C在优弧AB上变化时，/ACB所对的弧是劣弧AB,它的大小为劣弧AB的一半，所以很自然地想到它的圆心角，连接AO、BO,则因为AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则/AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：IACB=2/AOB=300,/当点C在劣弧AB上变化时，/ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由/AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/ACB=1500,AB300或1500.所以，此题的答案有两个，分别为反思：此题经过点C在圆上运动的不确立性而引起结果的不唯一性。从而需要分类议论。这样由点C的运动变化性而引起的分类议论在解题中经常A出现。OCf变式1:已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若AB二23，求/C的大小.O此题与例1的差别可是AB与圆的半径的关系发生了一些变化，其解题方法与上4，即NAOB=120°1面一致，在三角形AOB1-AB/3AB的一半，即.C=60°sin-MAOB=2-一1￡AOB=60°中，2OB2,则2进而当点C在优弧AB上变化时，/C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧当点C在劣弧AB上变化时，/C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由/AOB=1200得，优弧AB的度数为3600-1200=2400,则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：/C=1200,0所以?C=60或/C=1200.变式2：如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B,若AB=1,判断/AOB的大小可否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。解：（1）因为AB=OA=OB，所以三角形AOB为等边三角形，则/AOB=600，即/AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。（2）四边形ABCD的面积由三个三角形组成，此中三角形AOB的面积为4，而三角一ODxAF+一OCxBG=丄（AF+BG）5形AOD与三角形BOC的面积之和为222，又由梯形1的中位线定理得三角（AF+BG）=EH形AOD与三角形BOC的面积之和2，要四边形ABCD的面积3.333四边形ABCD的面积最大值为4+2=4关于此题同学们还能够持续思虑：四边形ABCD的周长的变化范围.变式3：如图,有一块半圆形的木板，现要把它截成三角形板块?三角形的两个极点分别为A、B，另一个极点C在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明原因（广州市2000年考题）解析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只要AB边上的高最大即可。过点C作CD丄AB于点D，连接CO,因为CD<CO,当O与D重合，CD=CO，所以，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧的中点时，其三角形ABC的面积最大。此题也能够先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只要另选一个地址C1（不与C重合），，证明三角形ABC的面积大于6三角形ABC1的面积即可。如图显然三角形ABC1的面积=2ABXC1D，而C1D<C10=C0,贝U三角形ABC1的面积=2ABXC1D<2ABXC10=三角形ABC的面积,所以，关于除点C外的任意点C1,都有三角形ABC1的面积小于三角形三角形ABC的面积,故点C为半圆中点时，三角形ABC面积最大.此题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。提示：利用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只要AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2ACXBC=AB2+4X△ABC的面积，所以△ABC的面积最大时，AC+BC最大，进而△ABC的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现，解决动向几何问题的常有方法有：一、特别探路，一般推证例2:（2004年广州市中考题第11题）如图，O01和O02内切于A,O01的半径为3,002的半径为2,点P为O01上的任一点（与点A不重合），直线PA交O02于点C,PB切O02于点B,BP则PC的值为3(A)(B)3(C)2(D)2解析：此题是一道选择题，给出四个答案有且只有一个是正确的，所以能够取一个特别地址进行研究，当点P知足PB丄AB时，能够经过计算得出PB=32-12=22BCXAP=BPX所以AB,ABBP8、28.24-2BC=.AB2BP2,1682、66、BP2-BC2—6在三角形BPC中，PC=3ABP所以，PC=3选（B）BP_AP自然，此题还能够依据三角形相似得PCBP，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完成，但若是是一道解答题，我们得出的结论可是一个特别状况，还要进步证明对一般情况也成立。例3:如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4,0A-BC于0,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。E70判断「9EF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积可否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值AEF的面积可否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。解析：此题结论很难发现，先从特别状况下手。最特别状况为E、F分别为AB、AC中点，显然有△EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无穷凑近时，点F与点C无穷接近，此时△EOF无穷凑近△AOC，而△AOC为等腰直角三角形，几种特别状况都可以得出△EOF为等腰直角三角形。一般状况下成立吗？OE与OF相等吗？/EOF为直角吗？可否证明。若是它们成立，便能够推出三角形

AOFC与三角形OEA全等，一般状况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC，/OCF=/OAE，而AE=CF，贝U△OEAAOFC，贝UOE=OF，且/FOC=/EOA，所以/EOF=ZEOA+/AOF=/FOC+/FOA=9OO，则/EOF为直角，故AEOF为等腰直角三角形。二、着手实践，操作确认例4（2003年广州市中考试题）在OO中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重合），则（A）AC+CB=AD+DB（B）AC+CB<AD+DBC）AC+CB>AD+DB（D）AC+CB与AD+DB的大小关系不确立解析：此题能够经过着手操作一下，胸襟AC、CB、AD、DB的长度，能够试一试换几个地址量一量，得出结论（C）例5:如图，过两齐心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD,延长CA和CD与大圆分别交于点B、E,则以下结论中正确的选项是（*）A）DE=AB（B）DEABC）DE::AB（D）DE,AB的大小不确立解析：此题能够经过分量的方法进行，选（B）此题也能够能够证明得出结论，连接DO、EO,则在三角形OED中,因为两边之差小于第三边，则OE—OD<DE,即OB—OA<DE,所以AB：：ED，即DEAB三、成立联系，计算说明例6:如图，正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点，贝UDN+MN的最小值为解析：可否将DN和NM进行转变，与成立三角形两边之和大于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，因为ABCD为正方形，所以连接BN，显然有ND=NB，则问题就转变为BN+NM的最小值问题了，一般状况下：BN+NM>BM,只有在B、N、M三点共线时，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值为BM=BC2CM2=5此题经过成立平面上三个点中组成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特别状况求最小值，最后经过勾股定理计算得出结论。例7:如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4,OA—BC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。8判断四边形AEOF的面积可否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.9AEF的面积可否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。(即例3的第2、第3问)解析：⑵此题的方法很多，其一，能够成立四边形AEOFAE长的函数关系式，如设AE=x，贝UAF=2'-2-x，22、、而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比=X,三角形AOB的面积=21OBOA=2C,则三角形AOE的面积x(22—x)"x22-x2;即=-2，同理三角形AOF的面积=2，所以四边形、AEOF的面积=AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.自然，此题也能够这样思虑，因为三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2,所以AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.此题经过成立函数关系或相关图形之间的关系，尔后经过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛?AA—x(2V2-x)=-—(x-V2)2+1第⑶问也能够经过成立函数关系求得，丄AEF的面积=22，又f—x的变化范围为0:::X::：22,由二次函数知识得■■AEF:的面积的范围为：-:AEF的面积-1.此题也能够依据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确立AEF的面积范围：(=—EF腰直角三角形，则OH丄EF,作AG丄EF,显然AGWAH=AG),所以'AEF的面积W不难证明AEF的面积WOEF的面积，它们公用边EF,取EF的中点H，显然因为:OEF为等的面积，而它们的和为2，所以0"：‘的面积1.AEF-此题包含的内涵十分丰富，还能够提出很多问题研究:比方，比较线段EF与AO长度大小等(能够经过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论)例&如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度搬动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度搬动。若是PQ同时出发，用t秒表示搬动的时间(0WtW6)，那、么：(1)当t为什么值时，三角形QAP为等腰三角形？求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果相关的结论；(3)当t为什么值时，以点Q、A、P为极点的三角形与△ABC相似？解析：(1)当三角形QAP为等腰三角形时，因为/A为直角，只好是AQ=AP，成立等量关系,2t=67，即t=2时，三角形QAP为等腰三角形；(2)四边形QAPC的面积=ABCD的面积一三角形QDC的面积一三角形PBC的面积1112612x(12-2x)6=22=36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。10(3)显然有两种状况：△PAQABC，△QAPABC，112x122x由相似关系得6-x6或6-x12，解之得x=3或x^1*2成立关系求解，包含的内容多，能够是函数关系，能够是方程组或不等式等，经过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也能够是经过一些几何上的关系，描述图形的特色，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。作为训练同学们能够综合上述方法求解：练习1：2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）已知ABC为直角三角形，AC=5,BC=12，/ACB为直角，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ//AC,且Q为BC的中点，求线段CP的长。当PQ与AC不平行时，'CPQ可能为直角三角形吗？如有可能,不行能，请说明原因。

求出线段

CQ

的长的取值范围；若第1问很易得出P为AB中点，贝UCP=第2问：若是人CPQ为直角三角形，因为不行能为直角

PQ

与

AC

不平行，则/

Q又点P不与A重合，则/PCQ也不行能为直角，只好是/CPQ为直角，即以CQ为直径的圆与AB有交点，设CQ=2x,CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD,DM_DBDM12-x5(12_x)5(12_x)ECD=xx_10ACAB，即5DMDM，即3,13，所以13,由13也兰x<6尘CQ<12而x：::6，故3，亦即3时，“CPQ可能为直角三角形。自然还有其余方法。同学们能够持续研究。练习2:（广东省2003年中考试题最后一题）在Rt△ABC中，AB—AC,/BAC—90°,O为BC的中点,1）写出点O到厶ABC的三个极点A、B、2）若是点M、N分别在线段AB、AC上搬动,请判断△OMN的形状，并证明你的结论。该题与例3近似，同学们能够仿本大类习题的共性:;四大数学思想：数学结合、1?代数、几何的高度综合(数形结合)；着力于数学实质及核心内容的察看分类议论、方程、函数.2?以形为载体，研究数目关系；经过设、表、列获取函数关系式；研究特别状况下的函数值.专题三：双动点问题点动、线动、形动组成的问题称之为动向几何问题?它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题?这种题综合性强，能力要求高，它能全面的察看学生的实践操作能力，空间想象能力以及解析问题和解决问题的能力?此中以灵便多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热门，现采撷几例加以分类浅析，供读者赏识以双动点为载体，研究函数图象问题例1(2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，/C=90，高CD=6cm(如图1).动点P,Q同时从点B出发，点P沿BA,AD,DC运动到点

C停止，点

Q沿

BC

运动到点

C停止，两点运动时的速度都是

1cm/s.而当点

P到达点

A时，点Q正好到达点

C.设

P,

Q同时从点

B出发，经过的时间为

t(s)时，△

BPQ

的面积为

y(cm)2(

如图

2).分别以

t,

y为横、纵坐标成立直角坐标系，已知点

P在

AD

边上从

A到

D运动时，y

与

t的函数图象是图

3中的线段

MN.分别求出梯形中BA,AD的长度；写出图3中M,N两点的坐标；分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)，并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大体图象?评析此题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清爽、淡雅之感?此题彰显数形结合、分类议论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵便运用?解决此题的重点是从函数图象中确立线段AB、梯形的高与t的函数关系式，成立起y与t的函数关系式，进而依据函数关系式增补函数图象?以双动点为载体，研究结论开放性问题例2(2007年泰州市)如图5,Rt△ABC中，/B=90°，/CAB=30.它的极点A的坐标为(10,0),极点B的坐标为(5,53),AB=10,点P从点A出发，沿2B-C的方向匀速运动，同时点Q从点D(0,2)出发，沿y轴正方向以同样速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)求/BAO的度数.(2)当点P在AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.⑷若是点P,Q保持⑵中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，/OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，/OPQ的大小随着时间t的增大而减P沿这两边运动时，使/13?试题有难度、有梯度也有P的速度为2,尔后成立S小，当点OPQ=90的点P有几个？请说明原因.解(1)/BAO=60.点P的运动速度为2个单位/秒.评析此题是以双点运动成立的集函数、开放、最值问题于一体的综合题区分度，是一道拥有很好的选拔功能的好题?解决此题的重点是从图象中获取与t的函数关系式，利用函数的性质解得问题(3).此题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中确立成立以B为直角极点的三角形，以B为临界点进行分类议论，进而确立点的个数问题以双动点为载体，研究存在性问题14例3(2007年扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点出发，分别沿B^A,B^C运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动?设运动时间为t秒.若a=4厘米，t=1秒，贝UPM=厘米；若a=5厘米，求时间^使厶PNBPAD，并求出它们的相似比；若在运动过程中，存在某时辰使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；⑷可否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时辰使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明原因?评析此题是以双动点为载体，矩形为背景创立的存在性问题?试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识圆满的综合为一题，重视对相似和梯形面积等知识点的察看，此题的难点主若是题(3)，解决此题的重点是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM，进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确立的a取值范围?第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体掌握以双动点为载体，研究函数最值问题例4(2007年吉林省)如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同时出发，沿对角线以1cm/s的同样速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H;过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G,连接HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S仁AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E到达C,F到达A停止?若E的运动时间为x(s)，解答以下问题：(1)当0<X⑵①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图10为备用图)②求y的最大值?解(1)以E、F、G、H为极点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82，所以AC=16，过B作BO丄AC于O,则OB=89，因为AE=x，所以，因为HE=AE=x,EF=16-2x，所以-2x),当.时，4x=x(16-2x)，解得X1=0(舍去),x2=6，所以当x=6时，!(2)①当0Wx<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x,当8<xw16寸，AE=x,CE=HE=16-x,EF=16-2(16-x)=2x-16,所以S1=(W-x)(2x-16),所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.②当0wx<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以当x=5时，y的最大值为50.当8<x<16寸，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82,所以当x=13时，y的最大值为82.综上可得，y的最大值为82?评析此题是以双动点为载体，正方形为背景创立的函数最值问题?要修业生认真读题、意会题意、画出不同状况下的图形，依据图形成马上间变量与其余相关变量的关系式，进而成立面积的函数表达式?本题在知识点上重视对二次函数最值问题的察看，要修业生有扎实的基础知识、灵便的解题方法、优异的思想质量；在解题思想上重视对数形结合思想、分类议论思想、数学建模等思想的灵便运用专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1，已知抛物线的极点为A(2,1)，且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。D在抛物线上，且以⑵若点C在抛物线的对称轴上，点O、C、D、B四点为极点的四边形为平行四⑴求抛物线的解析式；(用极点式求得抛物线的解析式为15边形，求D点的坐标;16⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上可否存在点P,使得△OBP与厶OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明原因。解析:1.当给出四边形的两个极点时应以两个极点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以0、C、D、B四点为极点的四边形为平行四边形要分类议论：按0B为边和对角线两种状况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题路子①求相似三角形的第三个极点时，先要解析已知三角形的边.和角的特色，进而得出已知三角形可否为特别三角形。依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类议论。②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，此后利用相似来列方程求解。例1(2008福建福州)如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，此中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t(s),解答以下问题：(1)当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明原因；(2)设厶BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式；(3)作QR//BA交AC于点R,连接PR,当t为什么值时，△APRs^PRQ?解析：由t=2求出BP与BQ的长度，进而可得△BPQ的形状；1作QE丄BP于点E,将PB,QE用t表示，由SBPQ=XBPXQE可得2S与t的函数关系式；先证得四边形EPRQ为平行四边形，得PR=QE,再由△APRs^PRQ,对应边成比率列方程，进而t值可求.解:(1)△BPQ是等边三角形，当t=2时,AP=2X1=2,BQ=2X2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因为/B=60°,所以△BPQ是等边三角形.(2)过Q作QE丄AB,垂足为s.3t,E,由QB=2t,得QE=2tin60°=17--x6.5

1i[3由AP=t,得PB=6-t,所以S=XBPXQE=(6-t)X3t=—3BPQ『+31;^222⑶因为QR//BA,所以/QRC=/A=600,/RQC=/B=60°,又因为/C=60°,所以△QRC是等边三角形，这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.1因为BE=BQcos60°=—X2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,2所以EP=QR,又EP//QR,所以四边形EPRQ是平行四边形，所以PR=EQ=、、3t.由厶APRPRQ,获取竺二空，即卩t二3t，解得t=6,PRRQ弱t6-2t5所以当t=6时，△APR^APRQ.5评论：此题是双动点问题.动向问题是近几年来中考数学的热门题型.这种试题信息量大，对同学们获守信息和办理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去察看和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特别关系，动中取静，静中求动?例2(2008浙江温州)如图，在Rt△ABC中，A=90：,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ_BC于Q,过点Q作QR//BA交AC于R,当点Q与点C重合时，点P停止运动?设BQ=x,QR=y.(1)求点D到BC的距离DH的长;(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)可否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，央求出全部知足要求的x的值；若不存在，请说明原因.解析：由厶BHDBAC,可得DH;由厶RQCABC,可得y关于x的函数关系式；由腰相等列方程可得Cx的值;注意需分类议论.解：(1)..._A=Rt._,AB=6,AC=8,BC=10.1T点D为AB中点，.BDAB=3.“：,B"B△BHDBACDHBDBCACBDAC312，BC10852y10—xRQQC廿p，即y关于x的函数关系式为:ABBC，//AB,?QRC"A=90；.；C"C,△RQCABC,(2)；QR存在.按腰相均分三种状况:①当PQ二PR时，过点P作PM_QR于M，则QM：12=90〃,C2=90〃,1C.cos_1二cosC二一4QM410C18■_____=—,5QP519lx-18x=125312②当PQ二RQ时，_3x6二12,55.x=6..CR」CE」AC=2.24③当PR二QR时，贝UR为PQ中垂线上的点,于是点R为EC的中点，-jx6615x=2TtanC=QRJACRCA1815综上所述，当x为或6或15时，△PQR为等腰三角形.52评论:成立函数关系式，实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示；要求使△PQR为等腰三角形的x的值,可假设△PQR为等腰三角形，找到等量关系，列出方程求解，因为题设中没有指明等腰三角形的腰故还须分类议论.、以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常察看，有一类动点问题，题中未说到圆，去卩与圆相关，只要奇妙地构造圆，以圆为载体，禾悯圆的相关性质，问题便会瓜熟蒂落；此类问题方法奇妙，耐人寻味。例1.在RtABC中，AC=5,BC=12,/ACB=90°,P是AB边上的动点（与点AB不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合），当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？如有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不行能，请说明原因。（03年广州市中考）解析：不论P、Q怎样运动，/PCQ都小于/ACB即小于90°,又因为PQ与AC不平行，所以/PQC不等于90°,所以只有/CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判断△CPQ可否为直角三角形，只要构造以CQ为直径的圆，依据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，/CPQ就为直角，不然/CPQ就不行能为直角。以CQ为直径做半圆Db①当半圆D与AB相切时，设切点为M连接DM贝UDM丄AB,且AC=AM=520所以MB二AB-AM二13-5=8设CD=x，贝UDM=x,DB=12—x在RtDMB中，DB2=DM2MB2，即图112-x2=x282211020解得：x二上，所以CQ=2x二203320即当CQ=-°M的地址时，△CPQ为直角三角形。3且点P运动到切点2012时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的地址时，△CPQ②当—::CQ:：:为直角三角形。③当0:::CQ3时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D以外，0<ZCPQc90°,此时，△CPQ不行能为直角三角形。20所以，当CQ<12时，△CPG可能为直角三角形。3例2.如图2，直角梯形ABCD中,AD//BC,/B=90°,AD+BC<DC若腰DC上有动点P,使APIBP,则这样的点有多少个？解析：由条件APIBP,想到以AB为直径作圆，若CD与圆订交，依据直径所对的圆周角是90。，两个交点即为点P;若CD与圆相切，切点即是点P;若CD与圆相离，则DC上不存在动点P,使AP丄BP。解：如图3,以AB为直径做O0,设OO与CD切于点E因为/B=ZA=90°所以ADBC为O0的切线即AD=DEBC=CE所以AD+BC=CD而条件中AD+BC<DC我们把CD向左平移，如图4,CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD+B?DC,点0到CD的距离0E小于O0的半径OECD与O0订交，/ARB和/AF2B是直径AB所对的圆周角，都为90°,所以交点p、P,即为所求。所以，腰DC上使APIBP的动点P有2个。例3.如图5,△ABC的外面有一动点P(在直线BC上方)，分别连接PBPC,试确立/BPC与/BAC的大小关系。(02年广州市中考)解析：/BPC与/BAC之间没有联系，要确立/BPC与/BAC的大小关系，一定找适合的载体，作为它们之间的桥梁，这道桥梁就是圆，经过构造△ABC的外接圆，问题就会瓜熟蒂落。(1)当点P在厶ABC外接圆外时，如图5，连接BD,依据外角大于任何一个与它不相邻的内角，/BP?ZBDC又因为/BDC=ZBAC所以/BP?ZBAC(2)当点P在厶ABC外接圆上时，如图6,依据同弧所对的圆周角相等，BPC=ZBAC(3)当点P在厶ABC外接圆内时，如图7,延长BP交△ABC外接圆于点D,连接CD,则/BPOZBDC14

图3圍応图7又/BDC=ZBAC故/BPOZBAG综上，知当点P在厶ABC外接圆外时，BPCXZBAC当点P在厶ABC外接圆上时，BPC=ZBAG当点P在厶ABC外接圆内时，BPOZBAC专题七、2010中考数学热门专题打破训练一一动点问题动点试题是近几年中考命题的热门，与一次函数、二次函数等知识综合，组成中考试题的压轴题?动点试题大体分为点动、线动、图形动三各种类?动点试题要以静代动的解题思想解题?下边就中考动点试题进行解析?出发，以每秒1cm的速度沿ATB-C的路线匀速运动，过点P作直线PM使PMLAD.例1(2006年福建晋州)如图，在平行四边形ABCD中,AD=4cm/A=60°,BDLAD.—动点P从A1.当点P运动2秒时，设直线PM与AD订交于点巳求厶APE的面积；2.当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿ATB的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，(当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.)过Q作直线QN使QN/PM设点Q运动的时间为t秒(0<t<8),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S(cni)求S关于t的函数关系式；求S的最大值.1.解析：此题为点动题，所以，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2)分析在运动中点的几种特别地址由题意知，点P为动点，所走的路线为：ATBTC速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积.略解：由AP=2，/A=60°得AE=1,EP=■.所以.2.解析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，所以两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.所以PMQN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种状况：(1)①当P、Q都在AB上运动时，PMQN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0Wt<6.②当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG不规则图形面积用割补法.此时6vt<8.23⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，OWt<6.￡2^L岔AQ=t,AP=t+2,AF=t,QF=?t,AG=(t+2),由三角函数PG=「(t+2),￡￡￡'邑邑邑鱼FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S=?(QF+PG)-FG=[■?仁「t+「t+「(t+2)]②当6VtW8时，易求S平行四边形ABC=16,S△AQF^AF-QF=-t:S=S平行四边形ABCDS△AQF-S△GCF.PCPG_CG10-t_PG_CG由比率式NW莎可得1V；■而S^CG(=-PCPG,PC=4BP=4-(t+2-8)=10-t.二PG=「(10-t).???SMG=PC-PG=(10-t)''(10-t)=■(10-t)(6VtW8⑵解析：求面积的最大值时，应用函数的增减性求.若题中分多种状况，那么每一种状况都要分别求出最大值，尔后综合起来得出一个结论.此题分两种状况，那么就分别求出0WtW6和6VtW8时的最大值.0Wt<6时,是一次函数，应用一次函数的性质，因为一次项系数是正数，面积S随t的增大而增大.当6V<8时,是二次函数，应用t配方法或公式法求最值.$冶?S=16‘--t2-「(10-t)24因为所以t=6时,略解:S最大=■25凤_夕+価匚为菱形，点C的1个单位长度的速度因为S=（6Vtw8,所以t=8时，S最大=6飞」.综上所述,当t=8时，S最大=6■例2.（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中,坐四边形OABC标为（4,0）,/AOC=60，垂直于I从y轴出发，沿x轴正方向以每秒x轴的直线运动，设直线I与菱形OABC勺两边分别交于点MN（点M在点N的上方）.2.设AOMN的面积为S,直线l运动时间为t秒（0wtw6），试求S与t的函数表达式;OC两边相交求A、B两点的坐标;3.在题⑵的条件下，t为什么值时，S的面积最大？最大面积是多少?1.解析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：???四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4,0），???OA=AB=BC=CO=4图①，过点A作ADLOC于D.v/AOC=60,二OD=2AD^疗①0Wt时,直线与OAOC两边相（如图W2交①）.图③②2vtW4时,直线与AB（如图②）.BC两边订交③4VtW6时,直线与AB（如图?A（2,-;：）,B（6,-;：）.③）.2.解析：直线I在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不停变化，所以，第一要把全部情况画26出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题重点之一直线Ix轴正方向运动与菱形OABC勺两边订交有三种状况:从y轴略解：①vMNLOC?-ON=t.?MN=ONtan6°二』玉./.S^ON-MN=2t2.27②S=ON-MN=t-2-:==；t.③方法一：设直线l与x轴交于点H.?/MN=2?二;-?=；(t-4)=6?二;一;t.￡￡迺???S=MN-OH一(6二;-二;t)t=-2■1+3?二;t.￡￡方法二：设直线l与x轴交于点H.?/S=&OMHS△ONH?S='t-2_2t羽(t-4)=?t2+3二;t.方法三：设直线l与X轴交于点H■/S=-^AEMN￡J3=8J3,S山=2-2J3-(t-2)=J3t-2"J31d73(t-4)=2V3t-8'-,l.??.一.(6-t)(6-t)=18V3-6V3t+「t2.S=8't-(=t-2=)-(2t-8)-(18'「-6=t+「12)=-：-t2+^-t.3.求最大面积的时候，求出每一种状况的最大面积值，尔后再综合每种状况，求出最大值邑厂略解：由2知，当OWt<2时，％大=2X22=2』=;当2VtW4时，l；=4'二；；爲当4VtW6时，配方得S=-「(t-3)2+028又???又???（4分）

???当t=3时，函数S=——t2+3.<t的最大值是但t=3不在4vt<6内，.??在4vt<6内，函数S=-：12+3-t的最大值不是而当t>3时，函数S=-「t2：???当4Vt<6时，SV4^~.+3-t随t的增大而减小,上所述，当t=4秒时，=4二;.1、(09包头)如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.若是点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP可否全等，请说明原因;②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以本来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解：（1）①Tt=1秒，?BP=CQ=31=3厘米，A?/AB=10厘米，点D为AB的中点,BD=5厘米.PCBC-BP,BC=8厘米，PC=8-3=5厘米，???PC=BD.AB=AC,B=C,???△BPDCQP.................②TvP=VQ,?BP=CQ,又???△BPDCQP,B=C，贝UBP二PC=4,CQ二BD=5,BP4???点P，点Q运动的时间t=匹=4秒，3329CQ515二VQ厘米/秒....................................................（7分）Qt443（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，15x=80秒.由题意，得x=3x210,解得34???点P共运动了803=80厘米.3?/80=22824,???点P、点Q在AB边上相遇,?经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇......................................（12分）33一2、（09齐齐哈尔）直线yx6与坐标轴分别交于AB两点，动点P、Q同时从O点出发，同时4到达A点，运动停止?点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线OTBTA运动.1）直接写出A、B两点的坐标;2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；48O、（3）当S时，求出点P的坐标，并直接写出以点5M的坐标.点的平行四边形的第四个极点解（1）A（8,0）B（0,6）.........1分2）；OA=8,OB=6.AB=108点Q由O到A的时间是8（秒）1二点P的速度是乞乜0=2（单位/秒）?分8当P在线段OB上运动（或0<t<3）时，OQ=t,OP=2t当P在线段BA上运动（或3：t<8）时，OQ=t,AP=6?10-2t=16-2t.PDAP48-6t如图，作PD_OA于点D，由竺二竺，得卩。-4^6!,.............................................................1分BOAB51322430二S=丄OQ汉PD=—^t2+丝t.....................................................................................1分255（自变量取值范围写对给1分，不然不给分.）31(3)P8,24552824)f1224)-『1224Ii,M21M-—55,3T,.55—13(09深圳)如图，在平面直角坐标系中，直线I:y=—2x—8分别与x轴，y轴订交于A,B两点，点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作OP.(1)连接PA，若PA=PB,试判断OP与x轴的地址关系，并说明原因；(2)当k为什么值时，以OP与直线I的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角形?解：(1)OP与x轴相切.???直线y=—2x—8与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,—8),/?OA=4,0B=8.由题意，0P=—k,???PB=PA=8+k.在Rt△A0P中，k2+42=(8+k)2,k=—3,「.OP等于OP的半径，OP与x轴相切.设OP与直线l交于C,D两点，连接PC,PD当圆心P在线段OB上时作PE丄CD于E.13???△PCD为正三角形，?DE=-CD=3,22PD=3,PE=31.2???/AOB=ZPEB=90°,/ABO=/PBE,?△AOBPEB,3.3?二医即4=三ABPB4.5PBPB=3152?PO二BO-PB=8-2315°、?-P(0,_28),届?k8.2P(0,-于-8),当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得?k=—症—8,0x2(图1)21.??当k=3^5—8或k=—丄丄5—8时，以OP与直线I的两个交点和圆心P为极点的三角形是正三角22形?5(09河北)在Rt△ABC中，/C=90°AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后马上以本来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.陪同着P、Q的运动，DE保持垂直均分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).当t=2时，AP=______，点Q到AC的距离是________(2)在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不用写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED可否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能够，请说明原因；当DE经过点C时，请直接写出t的值.8解：(1)1,；(2)作QF丄AC于点F，如图3,AQ=CP=t,「.AP=3_t.由厶AQFABC,BC二5^?=4,得QFQF=4t.45514--S石(3-1)才,即^_2t26t.55(3)能.①当DE//QB时，如图4.???DE丄PQ,.PQ丄QB,四边形QBED是直角梯形.此时/AQP=90°由厶APQABC，得也=空ACAB'A_PC即EI.解得t=9.图5358②如图5,当PQ//BC时，DE丄BC,四边形QBED是直角梯形.此时/APQ=90°.由厶AQPABC,得AQ=APABAC'即1=口.解得r15.538t=5或t晋.214①点P由C向A运动，DE经过点C.连接QC,作QG丄BC于点G,如图6.233AP图7P—t,QC52gf"2[4一；(5切2.345由PC2二QC2，得t24-(5_t)]2[4__(5_t)]2，解得t二—.552②点P由A向C运动，DE经过点C,如图7.2—242451g普5」)]S(5_t)],】7（09济南）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD=-DC二5，AB=4.2,/B=45.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点每秒C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.1）求BC的长.2）当MN//AB时，求t的值.3）尝试究：t为什么值时，△MNC为等腰三角形.8（09江西）如图1,在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点,过点E作CEF//BC交CD于点F.AB=4,BC=6,/B=60.（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM_EF交BC于点M，过M作MN//AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP二X.①当点N在线段AD上时（如图2）,△PMN的形状可否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明原因；CM图2M图图13图4（备用）图5（备用）②当点N在线段DC上时（如图3），可否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，央求出全部知足要求的X的值；若不存在，请说明原因.解（1）如图1,过点E作EG丄BC于点G........................1分???E为AB的中点，1二BEAB=2.2在RtAEBG中，/B=60,/?/BEG=30.........................2分3412-12二3.???BG=BE=1,EG=2235即点E到BC的距离为(2)①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变.图1同理MN二AB=4.................4分?/PM_EF，EG_EF，/?PM//EG.?/EF//BC,.EP=GM,PM=EG二3.如图2,过点P作PH_MN于H，:MN//AB,???ZNMC丄B=60，/PMH=30.1?PHPM2?MH二PMLcos30=3.2沖35则NH=MN-MH=4-图22在Rt△PNH中，PN二NH2PH2?△PMN的周长=PMPNMN=打、、74.②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形.当PM=PN时，如图3，作PR_MN于R，则MR=NR.3近似①，MR.2?MN=2MR=3......................................................................................................7分?/△MNC是等边三角形，?MC=MN=3.此时，x=图5图3图4EP=GMMP二MN时，如图4，这时MC=MN二MP-,3.此时，x=EP=GM=6-1-、、3=5-一336当NP=NM时，如图5，ZNPM=ZPMN=30.则ZPMN=120，又ZMNC=60，ZPNMZMNC=180.所以点P与F重合，△PMC为直角三角形.MC=PMLtan30=1.237则厶APMABF.ST-.APAMPtAMMPM_BF.10_6_8'AB-AF?AM34PM?PN=OM3=10——t,4t,.tON=PMt55=4.55此时，x=EP=GM=6

xGC综上所述，当x=2或4或(5—J3)时，△PMN为等腰三角形....................-10分9(09兰州)如图①，正方形ABC呼，点AB的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限?动点P在正方形ABC啲边上，从点A出发沿g4CTD匀速运动，同时动点Q以同样速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；求正方形边长及极点C的坐标；(3)在(1)中当t为什么值时，△OPC的面积最大，并求此时P点D的坐标；(4)若是点P、Q保持原速度不变，当点P沿AT4CTD匀速运动时，OP与PQ可否相等，若能，写出全部吻合条件的t的值；若不能够，请说明原因.解：(1)Q(1,0)..............................1分点P运动速度每秒钟1个单位长度............2分(2)过点B作BF丄y轴于点F,BE丄x轴于点E，则BF=8,OF=BEO=4.AF=10-4=6.在Rt△AFB中，ABf丫8262=10过点过点P作作CG丄x轴于点G，与FB的延长线交于点H.；乙ABC=90,CPAB=BC/.△ABFBCH.BH二AF=6,CH二BF=8.-OG二FH二8：：6=14,CG二8■■4二12.?所求C点的坐标为（14,12）...............4分M,PN丄x轴于点N,设厶OPQ的面积为S(平方单位)134732???s=_汇(10_—t)(1+t)=5十——t_—t(0W1051010说明：未注明自变量的取值范围3不扣分.△OPQ的面积最大.<0；a10479453此时P的坐标为15'10???当时,62X（_3）10(4).................................................................................................................................................

yAMFBONQEOP当点或“晋时，3810(09临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中与PQ相等...........................................................................9分39点./AEF=90；，且EF交正方形外角ZDCG