3.5.1 二次方程根的分布问题-(人教A版2019必修第一册) (教师版)

二次方程根的分布问题1概念二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函数2常见题型①两根与k的大小比较(以a>0为例)分布情况两根都小于k，即x两根都大于k，即x一根小于k，一根大于k，即x大致图像得出的结论∆>0∆>0f②两根分别在区间(m,n)外aa<0大致图像得出的结论ff③根在区间上的分布(以a>0为例)分布情况两根都在(m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内一根(m,n)内，另一根在(p,q)内大致图像得出的结论∆>0ffm>0【题型一】两根与k的大小比较【典题1】若关于x的二次方程mx2+2m-1x-m+2=0(m>0)的两个互异的实根都小于1，则实数【解析】∵关于x的二次方程mx2+则m>0△=(2m-1)2(m>0开口向上，∆>0有两根，1-2m2m<1对称轴在f1>0确定最大根小于即m>0m<3-7即m的范围为(3+74，+∞)，故答案为：(【点拨】思考下，要确保题意成立，(*)中满足的四项分别属于二次函数的什么性质呢？不要其中一项是否可以，又为什么呢(结合图像)？确定仅满足这四项就行了么？这属于对题意的必要性与充分性的思考，做到“等价转化”！【典题2】已知二次方程2m+1x2-2mx+m-1【解析】方法一当2m+1>0时，若要满足题意，必须f0<0当2m+1<0时，若要满足题意，必须即2m+1f0<0⇔方法二：(韦达定理)设x1,x若要满足题意，则∆=4m解得-1【点拨】对于一些特殊根的分布问题，我们可灵活采取其他的方法.【题型二】根在区间上的分布【典题1】已知关于x的二次方程x2(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则m的范围是【解析】设f(x)=问题转化为抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和故m的范围是(-5【点拨】需要考虑对称轴位置么？需要讨论判别式∆么？【典题2】方程mx2-(m-1)x+1=0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m的取值范围为【解析】构造函数fx=m(能发现f0=1很重要，要满足题意只能m>0，避免讨论∵方程mx2-(m-1)x+1∴m>0【典题3】已知方程x2-2a+1x+a(a+1)=0的两根分别在区间(0,1)，(1,3)之内，则实数a【解析】方法1方程x2－若要满足题意，则f故答案是(0,1).方法2方程x2－(发现方程可以直接因式分解求根)∴方程两根为x1若要满足题意，则0<a<11<a+1<3，解得0<a<1故答案是(0,1).【点拨】显然方法2比方法1更简洁些，主要是因为它能通过因式分解求出的根形式简洁！那前面的例题是否都不可以先求出根再求解呢？我们拿本题型中的典题2看看，很难直接因式分解，利用求根公式得x1x2=m-1-m2其中还要注意m2-6m+1>0和m>0在方法的选取上，我们要清晰方法的适用范围！【题型三】两根分别在区间(m【典题1】已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a【解析】显然a≠0，关于x的方程ax(对开口方向进行讨论，分a>0和a①若a>0，即图象开口向上，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1即2<0且a+3<0，则a∈∅；(若发现f0=2结合图像也可知a②若a<0，即图象开口向下，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1即2>0且a+3>0，则－综上可得a的范围是(－故答案为：(－3,0)【方法总结】①求解二次方程根的分布问题，最重要是数形结合做到“等价转化”;多画图思考：图像要怎么画才能满足题意，怎么画就不满足题意，它们之间的区别在哪里？②画图时注意二次函数四大因素--开口方向，对称轴，判别式，特殊点.备注：特殊点是指含参的二次函数过的一些定点(比如与x,y轴的交点)或某些函数值的正负.③对于一些特殊情况，还可以利用韦达定理、因式分解求出根再求解等方法.巩固练习1(★)已知关于x的方程x2+kx+k2+k－4=0有两个实数根，且一根大于2，一根小于【答案】(-3,0)【解析】令fx=x即：22+2k+k2+k所以实数k的取值范围为(－故答案为：(－3,0)．2(★)方程x2-2-ax+5-a=0的两根都大于2，则实数【答案】-5<a≤-4【解析】由题意，方程x2－(2令f(x)=x可得：△≥0f(2)>02-a2解得：－5<a≤3(★★)若方程7x2-m+13x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上，则实数m【答案】(-4,-2)【解析】设函数f(x)=7x∵方程7x2－(m+13)x－∴f(0)>0f(1)<0f(2)>0，∴则－即实数m的取值范围是(－4(★★)关于x的方程x2-(a-1)x+4=0在区间[1,3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是【答案】(5,16【解析】关于x的方程x2－(a令f(x)=x则有△=(a-1)2-16>05(★★)若关于x的一元二次方程x2+ax-2=0有两个不相等的实根x1,x2，且【答案】-1<a<1【解析】由题意设f(x)=x∵方程x2+ax－且x1<－∴f(-1)<0f(1)<0，则解得－1<a<16(★★★)求实数m的范围，使关于x的方程x(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α,β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根.【答案】(1)m<-1(2)-75<m<-5【解析】设y=f(x)=x(1)依题意有f(2)<0，即4+4(m-1)+2m+6<0，得m<-1．(2)依题意有f0=2m+6>0f(1)=4m+5<0f(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得Δ≥0f②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0，得m<-3．③有一个正根，另一根为0，此时可得6+2m=0综上所述，得m≤-1．挑战学霸二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q求证：(1)pf(mm+1)<0；(2)方程f(x)=0【答案】1m<-1(2)-7【证明】(1)pf=pm[pm=pm==由于f(x)是二次函数，故p≠0．又m>0，所以pf(m(2)由题意，得f(0)=r，f