第一章概率论的基本概念

概率论与数理统计第一章概率论的基本概念§1.1随机试验§1.1随机试验一、随机现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.

“太阳不会从西边升起”,1.确定性现象

“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象确定性现象的特征条件完全决定结果在一定条件下进行试验会出现不同的结果，而且在每次试验之前都无法预言会出现哪一个结果，这种现象称为随机现象.实例1

在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.2.随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.§1.1随机试验结果有可能为:1,2,3,4,5或6.

实例2

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例3

从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:

正品

、次品.§1.1随机试验实例4

出生的婴儿可能是男,也可能是女.随机现象的特征概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?§1.1随机试验三、随机试验1.可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行;2.可观察性：每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果;

3.不确定性：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.定义：§1.1随机试验二、随机试验

随机试验常用E来表示.§1.1随机试验1.抛掷一枚骰子,观察出现的点数.2.从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数.下列试验都为随机试验.3.从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.三、小结随机现象的特征:1.概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科.条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机试验来研究的.(1)可重复性;(2)可观察性;(3)不确定性.随机试验§1.1随机试验§1.2样本空间、随机事件§1.2样本空间、随机事件一、样本空间、样本点定义：随机试验

E的所有可能结果组成的集合称为

E的样本空间,记为

S

.样本空间的元素

,即试验E的每一个结果,称为样本点.实例1

抛掷一枚硬币,观察字面,花面出现的情况.第二节样本空间、随机事件实例2

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例3

从一批产品中,依次任选两件,记录出现正品与次品的情况.§1.2样本空间、随机事件§1.2样本空间、随机事件实例4

记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.实例5

从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.

例如

对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为注意：§1.2样本空间、随机事件§1.2样本空间、随机事件二、随机事件的概念随机事件

随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件.以大写英文字母A,B,C,…,来表示事件.试验中,骰子“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”,“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.

实例

抛掷一枚骰子,观察出现的点数.

可设A=“点数不大于4”,B=“点数为偶数”等.实例上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.必然事件

随机试验中必然会出现的结果.

样本空间S称为必然事件。不可能事件

随机试验中不可能出现的结果.

称为不可能事件。实例上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.实例“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”.基本事件

由一个样本点组成的单点集.§1.2样本空间、随机事件

随机试验、样本空间与随机事件的关系

每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.随机试验样本空间子集随机事件§1.2样本空间、随机事件三、随机事件间的关系及运算

1.包含关系若事件A出现,必然导致B出现,则称事件B包含事件A,记作实例

“长度不合格”必然导致“产品不合格”所以“产品不合格”包含“长度不合格”.图示

B包含

A.SBA§1.2样本空间、随机事件2.A等于B

若事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，则称事件A与事件B相等，记作A=B.3.事件

A与

B的并(和事件)实例

某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品不合格”是“长度不合格”与“直径不合格”的并.图示事件

A与

B的并.

SBA注：A∪B发生A、B中至少有一个发生。§1.2样本空间、随机事件4.事件

A与

B的交

(积事件)§1.2样本空间、随机事件注：AB发生A、B都发生。图示事件A与B的积事件.SABAB实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此“产品合格”是“长度合格”与“直径合格”的交或积事件.§1.2样本空间、随机事件5.事件

A与

B互不相容(互斥)

若事件A的出现必然导致事件B不出现,B出现也必然导致A不出现,则称事件A与B互不相容,即§1.2样本空间、随机事件SAB“骰子出现1点”“骰子出现2点”互斥实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.6.事件

A与

B的差

事件A-B={x|x∈A且x∈B}称为事件A与B的差。即由事件A出现而事件B不出现的事件组成。注：A-B=A-AB.SABSAB实例“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差.§1.2样本空间、随机事件／

设A表示“事件A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作实例

“骰子出现1点”“骰子不出现1点”图示A与B的对立.SB若A与B互逆,则有A7.事件

A的对立事件对立注：§1.2样本空间、随机事件对立事件与互斥事件的区别SSABABA、B对立A、B互斥互斥对

立§1.2样本空间、随机事件事件间的运算规律§1.2样本空间、随机事件例1甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试将下列事件用A、B、C表示出来.(1)甲命中，乙、丙没命中;(5)三人都没命中;(2)甲、乙都命中，丙没命中;(3)三人都命中;(4)三人中至少有一人命中;(6)最多一人命中;§1.2样本空间、随机事件(7)最多两人命中;(8)三人中至少有两人命中;(9)甲、乙两人中至少有一人命中,丙没命中;(10)三人中恰好有两人命中.§1.2样本空间、随机事件(1)没有一个是次品;(2)至多有三个正品;(3)只有一个是次品;§1.2样本空间、随机事件(5)恰好有三个是次品;(6)最多有一个是次品.(4)至少有三个不是次品;§1.2样本空间、随机事件四、小结随机试验样本空间子集随机事件1.随机试验、样本空间与随机事件的关系§1.2样本空间、随机事件2.概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论样本空间，必然事件空间不可能事件空集基本事件元素随机事件子集A的对立事件A的补集A出现必然导致B出现A是B的子集事件A与事件B相等集合A与集合B相等§1.2样本空间、随机事件事件A与事件B的差A与B两集合的差集事件A与B互不相容A与B两集合中没有相同的元素事件A与事件B的和集合A与集合B的并集

事件A与事件B的积事件集合A与集合B的交集§1.2样本空间、随机事件

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！§1.3频率与概率§1.3频率与概率1.定义一、频率的定义与性质2.性质设A是随机试验E的任一事件,则（3）若A1，A2,…,AK是互不相容事件，则§1.3频率与概率§1.3频率与概率试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做

7遍,观察正面出现的次数及频率.波动最小随n的增大,频率

f呈现出稳定性§1.3频率与概率204810610.5181404020480.50691000049790.49791200060190.501624000120120.500580640396990.4923§1.3频率与概率重要结论频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增大时，频率稳定在某个确定的常数附近，这个常数从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率．§1.3频率与概率

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概率论有了迅速的发展.二、概率的定义与性质§1.3频率与概率概率的可列可加性1.概率的定义§1.3频率与概率2.性质概率的有限可加性§1.3频率与概率证明§1.3频率与概率（3’）（减法公式）对任意的两个事件A,B

P(B-A)=P(B)-P(AB)（4）对任意事件A,

P(A)≤1.§1.3频率与概率推广三个事件和的情况n个事件和的情况§1.3频率与概率解§1.3频率与概率SABAB§1.3频率与概率1.频率(波动)概率(稳定).2.概率的主要性质三、小结§1.4等可能概型（古典概型）§1.4等可能概型（古典概型）1.定义一、等可能概型(古典概型)如果试验E满足（1）有限性：试验的样本空间只包含有限个元素;（2）等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同。那么称试验E为等可能概型.它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为古典概型.§1.4等可能概型（古典概型）

设试验E的样本空间由n个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含

m个样本点，则事件A出现的概率记为:2.古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义.

§1.4等可能概型（古典概型）3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)无放回地摸球问题1

设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中无放回地依次摸出3只球,求这3只球是2黑1红的概率.解：基本事件总数为A所包含基本事件的个数为§1.4等可能概型（古典概型）(2)有放回地摸球问题2

设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球的概率.解样本空间总数为A所包含基本事件的个数为§1.4等可能概型（古典概型）4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量无限问题1

把

4个球放到

3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.

4个球放到3个杯子的所有放法设A={第1、2个杯子中各有两个球}§1.4等可能概型（古典概型）§1.4等可能概型（古典概型）(2)每个杯子只能放一个球问题2

把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1至第4个杯子各放一个球的概率.解设A={第1至第4个杯子各放一个球}§1.4等可能概型（古典概型）解二、典型例题例1:§1.4等可能概型（古典概型）设A={取到的n件中恰有k件次品}解：例2:§1.4等可能概型（古典概型）例3

在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

设A={取到的数能被6整除},B={取到的数能被8整除}，则所求概率为解：§1.4等可能概型（古典概型）于是所求概率为§1.4等可能概型（古典概型）例4

某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.

假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周内接待12次来访共有§1.4等可能概型（古典概型）实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的。周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四进行的共有故12次接待都是在周二和周四进行的概率为从而可知接待时间是有规定的.§1.4等可能概型（古典概型）例5

假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率.64个人生日各不相同的概率为故64个人中至少有2人生日相同的概率为解§1.5条件概率§1.5条件概率

将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.分析事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为1.引例一、条件概率§1.5条件概率同理可得为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.2.定义§1.5条件概率3.性质§1.5条件概率二、乘法定理§1.5条件概率例1

一盒子装有4只产品,其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P(B|A).解:由条件概率的公式得

显然，这种方法较麻烦，一般我们用缩减样本空间法，即在条件已发生的情形下考虑样本空间再计算。§1.5条件概率在A已发生的情况下B发生的基本事件数在A已发生的情况下样本空间的基本事件数§1.5条件概率缩减样本空间法：§1.5条件概率摸球试验

解例2§1.5条件概率此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.§1.5条件概率例3

某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?

设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有解§1.5条件概率例4

五个阄,其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解则有抓阄是否与次序有关?

§1.5条件概率依此类推故抓阄与次序无关.例5

设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.§1.5条件概率§1.5条件概率1.样本空间的划分三、全概率公式与贝叶斯公式§1.5条件概率2.全概率公式全