材料力学 第七章

7弯曲应力回顾与比较内力应力公式及分布规律FAyFSM均匀分布线形分布一、纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力§7-1梁弯曲时的正应力－－纯弯曲－－横力弯曲FsMFaFaFF1、变形几何关系2、物理关系3、静力学关系纯弯曲的内力剪力Fs=0横截面上没有切应力只有正应力。弯曲正应力的分布规律和计算公式二、弯曲时的正应力变形与应变观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况<1>.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；<2>.相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。

根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设

梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。

横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层

(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━中性轴

(neutralaxis)。（f)线应变的变化规律与纤维到中性层的距离成正比。从横截面上看：点离开中性轴越远，该点的线应变越大。1、变形几何关系2、物理关系虎克定律弯曲正应力的分布规律a、与点到中性轴的距离成正比；c、正弯矩作用下，上压下拉；当σ<σP时沿截面高度线性分布；b、沿截面宽度zy均匀分布；d、危险点的位置，离开中性轴最远处.3、静力学关系

中性轴过截面形心坐标轴是主轴中性层的曲率计算公式EIz抗弯刚度4、弯曲正应力计算公式变形几何关系物理关系静力学关系正应力公式5、横截面上最大弯曲正应力——截面的抗弯截面系数；。反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响最大弯曲正应力计算公式适用条件截面关于中性轴对称。6、常见图形的惯性矩及抗弯截面系数：zbhzddzD三、横力弯曲xFsxMFFFL横截面上内力剪力+弯矩横截面上的应力既有正应力，又有切应力弹性力学精确分析表明：横力弯曲最大正应力四横力弯曲正应力对于跨度L与横截面高度h之比L/h>>5的细长梁，用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，误差<<2%满足工程中所需要的精度。弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式1、纯弯曲或细长梁的横力弯曲;2、横截面惯性积IYZ=0;3、弹性变形阶段;

推导弯曲正应力计算公式的方法总结（1）理想模型法：纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）（2）“实验—观察—假设”：梁弯曲假设（3）外力内力变形几何关系物理关系静力学关系（4）三关系法积分应力合成内力横力弯曲应力法（5）数学方法注意（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力，（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布；从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力，（4）中性轴上正应力为零，并确定该点到中性轴的距离，而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。以及该点处应力的符号（6）熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;注意正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定。作弯矩图，寻找最大弯矩的截面分析：非对称截面，例1T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。求最大拉应力、最大压应力。计算最大拉应力、最大压应力zc52889KN1m1m4KN1mACB要寻找中性轴位置；（2）计算应力：（1）求支反力，作弯矩图B截面应力分布9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmM应用公式zc5288（3）结论C截面应力计算2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KNC截面应力分布应用公式zc528830zy180120K1、C截面上K点正应力2、C截面上最大正应力3、全梁上最大正应力4、已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρ例2：矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示1m3mq=60KN/mACB1、截面几何性质计算确定形心主轴的位置z确定中性轴的位置180120确定形心的位置FAYFBYq=60KN/m1m3mACB2.求支反力（压应力）3、C截面上K点正应力30zy180120K4、C截面上最大正应力弯矩公式MxFSx作内力图FAYFBYq=60KN/m1m3mACB90kN90kN5、全梁上最大正应力危险截面公式FAYFBYq=60KN/m1m3mACB6、已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρ弯曲正应力的分布规律危险点：距离中性轴最远处；分别发生最大拉应力与最大压应力；§7-2梁弯曲时的正应力强度计算M1、塑性材料抗拉压强度相等无论内力图如何梁内最大应力其强度条件为通常将梁做成矩形、圆形、工字形等对称于中性轴的截面；此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。因此：强度条件可以表示为无论截面形状如何，a但对于塑性材料，b2.离中性轴最远处。要综合考虑弯矩M与截面形状Iz1.弯矩的绝对值最大的截面上；塑性材料c、塑性材料制成的变截面梁总之，梁内最大应力发生在：3.强度条件为2、脆性材料抗拉压强度不等。内力图形状有关。梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在最大应力通常与截面形状，通常将梁做成T形、倒T形等关于中性轴不对称的截面。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。由于脆性材料抗压不抗拉，a脆性材料的最大应力与截面形状有关MM或者①脆性材料梁的危险截面与危险点上压下拉上拉下压b脆性材料的最大应力与内力图有关危险截面只有一个。危险截面处分别校核：二个强度条件表达式M危险截面有二个；每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；②

脆性材料梁的危险截面与危险点各危险截面处分别校核：四个强度条件表达式弯曲正应力强度计算的三个方面1、强度校核2、设计截面3、确定许可载荷例1：图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。材料的许用应力分析（2）危险截面：（3）危险点截面关于中性轴对称弯矩最大的截面抗弯截面系数最小的截面；危险截面的最上、下边缘处。（1）轮轴为塑性材料,公式（1）计算简图（2）绘弯矩图MFaFbFbB截面，C截面（3）危险截面（4）强度校核B截面：C截面：（5）结论MFaFbFb轮轴满足强度条件例2：某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦材料的许用应力起重量跨度试选择工字钢的型号。自重分析（2）确定危险截面（5）计算（6）计算，选择工字钢型号（3）截面为关于中性轴对称（1）简化为力学模型（4）应力计算公式FFF（1）计算简图（2）绘弯矩图MFL/4（3）危险截面（4）强度计算（5）选择工字钢型号36c工字钢F=F1+F2例3：T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。9KN1m1m4KN1mACB2080120205、作弯矩图，确定危险截面6、确定危险点，进行强度校核分析：非对称截面；确定形心主轴位置；1、脆性材料，2、寻找形心3、确定中性轴位置；4、计算图形对中性轴的主惯性矩危险截面与内力图有关（2）求截面对中性轴z的惯性矩（1）求截面形心z152208012020yz（4）确定危险截面（3）求支反力，作弯矩图B截面应力强度计算9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmM应用公式zc5288（5）结论C截面强度计算应用公式zc52882.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KN满足强度条件例4：一简支梁受力如图所示。已知，空心圆截面的内外径之比，试选择截面直径D；若外径D增加一倍，比值不变，则载荷q可增加到多大？L=4mABq=0.5KN/m3、作弯矩图，确定危险截面；分析：对称截面；1、塑性材料，2、已知图形对中性轴的主惯性矩5、公式4、确定危险点，进行强度校核L=4mABq=0.5KN/m1、求支座反力，并作弯矩图FAFBFA=FB=ql/2M2、确定危险截面强度计算若外径D增加一倍，不变例5：已知材料的，由M图知：，试校核其强度。16281448单位：cm5、确定危险点，进行强度校核分析：非对称截面；确定形心主轴位置；1、塑性材料，2、寻找形心3、确定中性轴位置；4、计算图形对中性轴的主惯性矩6、公式（1）确定中性轴的位置（2）计算截面对形心主轴的惯性矩16281448单位：cmz'yz（4）正应力校核所以结构安全。问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？28z'z§7-4梁弯曲时的剪应力横力弯曲横截面上内力既有弯矩又有剪力；横截面上应力既有正应力又有切应力。切应力分布规律和计算公式FAFBFA=FB=PFsMPPPaPPaaLCA观察AC段内力Fs=P=+常量+M线性规律上升距离中性轴为y的直线上点的切应力计算公式１、矩形截面梁切应力计算公式各项的物理意义1、Fs欲求切应力的点所在截面的剪力；2、Iz欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；3、b欲求切应力的点处截面的宽度；4、Sz*横截面上距离中性轴为y的横线以外部分的面积A1对中性轴的静矩。16281448208012020切应力分布规律切应力沿截面高度按抛物线规律变化。中性轴处最大正应力所在的点２、工字形截面梁切应力沿高度的分布规律τmax计算公式切应力危险点中性轴处最大切应力腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板部分的切应力合力占总剪力的95~97%。工字形截面的翼缘翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化；翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流”。T形截面梁切应力沿高度的分布规律计算公式中性轴处τmaxT形截面梁切应力流３、圆形截面梁切应力的分布规律（１）、边缘上各点的切应力与圆周相切。AB不能假设总切应力与剪力同向；（２）、同一高度各点的切应力汇交于一点。中性轴处τmax（３）、竖直分量沿截面宽度均匀分布；圆形截面梁切应力沿高度的分布规律计算公式沿高度呈抛物线规律变化。max=2.0FsA４、圆环截面的最大切应力zy切应力的危险点能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上”？当中性轴附近有尺寸突变时最大切应力不发生在中性轴上；当中性轴附近没有尺寸突变时最大切应力发生在中性轴上；切应力强度条件对于等宽度截面，发生在中性轴上；在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力的强度条件是次要的。对于宽度变化的截面，不一定发生在中性轴上。一般情况下，以正应力设计为主，切应力校核为辅；(2)对于较粗短的梁，当集中力较大时，注意(4)

薄壁截面梁时，也需要校核切应力。截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。(3)载荷离支座较近时，截面上的剪力较大；(5)木梁顺纹方向，抗剪能力较差;(6)工字形截面梁，要进行切应力校核;（7）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。注意例题1：悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的[σ[=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷F。F1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷3.按切应力强度条件计算许可载荷xFsxMFFLF4.按胶合面强度条件计算许可载荷5.梁的许可载荷为xFsxMFFLF例2铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为，许用压应力为，。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m20030200302003020030(a)确定中性轴的位置(c)最大静矩：zzC(b)计算图形对形心主轴的惯性矩(1)平面图形几何性质计算157.5（2）绘剪力图、弯矩图计算约束反力：AB2m1m3mCDP=20KNq=10KN/mFAyFBy作内力图FsM10KN10KN.m20KN.m20KN10KN（3）正应力强度计算对于A截面：zP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.5（3）正应力强度计算对于D截面：zP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.5∴正应力强度足够。结论（4）切应力强度校核在A截面左侧：∴切应力强度足够。P=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.m20030zC157.5危险截面计算公式（5）若将梁的截面倒置此时强度不足会导致破坏。yczP=20KNq=10KN/mFAyFByFs10KN20KN10KNM10KN.m20KN.mz§7-6提高弯曲强度的措施——1、合理布置支座一、

降低Mmax

——2、合理布置载荷降低Mmax

FL/65FL/36安装齿轮靠近轴承一侧；——3、集中力分散降低Mmax

F二、梁的合理截面增大抗弯截面系数截面面积几乎不变的情况下，截面的大部分分布在远离中性轴的区域1、合理设计截面抗弯截面系数WZ越大、横截面面积A越小，截面越合理。来衡量截面的经济性与合理性合理截面合理截面伽利略1638年《关于两种新科学的对话和证明》“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，所以在技术上得到广泛应用。在自然界就更为普遍了，这样的例子在鸟类的骨骼和各种芦苇中可以看到，它们既轻巧而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。根据应力分布的规律：解释z合理截面合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。对于塑性材料宜设计成关于中性轴对称的截面对于脆性材料宜设计成关于中性轴不对称的截面且使中性轴靠近受拉一侧。2、合理放置截面竖放比横放更合理。为降低重量，可在中性轴附近开孔。三、等强度梁

工程中的等强度梁

工程中的等强度梁

工程中的等强度梁

2、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？abcd讨论1、梁发生平面弯曲时，横截面绕

旋转A：轴线；B：中性