控制3 时域分析

补充：拉氏反变换一、拉氏反变换的定义式：二、拉氏反变换的求法：

1、直接查拉氏反变换表例1：求的拉氏反变换。解：例2：求的拉氏反变换。解：2、工程上常用方法(通过部分分式展开法求其反变换）象函数F(s)一般可表示为如下两个s多项式比的形式:

为了将F(s)写成部分分式形式,首先把F(s)的分母因式分解:（1）只含不同单极点的情况:

即A(s)=0无重根。F(s)可展开为n个简单的部分分式之和：例3：求的拉氏反变换。解：例4：求的拉氏反变换。解：（2）含多重极点的情况即A(s)=0有重根。设A(s)=0有r个重根p1，则F(s)可写成：例5：求的拉氏反变换。解：例6：求的拉氏反变换。解：三、拉氏变换的应用：

微分方程式复域的代数方程式时域的解复域的解拉氏变换拉氏反变换代数运算解微分方程式x(t)y(t)X(s)Y(s)y(t)Y(s)例7：解方程解：第三章时间响应分析

建立系统的数学模型后，就可采用各种方法对系统的性能进行分析。控制系统的时域分析包括三个方面：稳定性，暂态性能和稳态性能。系统时域响应——在某一个输入信号作用下，系统输出随时间变化的函数，是描述系统的微分方程的解。控制系统的时域响应的性质，取决于系统本身的结构和参数，系统的初始状态以及输入信号的形式。

时域分析法的特点:

它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。第一节时间响应及其组成例:m--k系统在外力Fcosωt作用下其微分方程为:其解为:y(t)=y1(t)+y2(t)

即通解+特解

y1(t)=Asinωnt+Bcosωnty2(t)=Ycosωt

代入求解得

完全解为

代入初始条件，A,B可求得

系统的时间响应分类：1、按振动性质分：（1）、自由响应：是由固有频率ωn构成的振荡。（2）、强迫响应：是由外加频率ω引起的振荡。2、按振动来源分：

（1）、零输入响应：是由系统的初始条件引起的自由响应。（2）、零状态响应：在系统的初始条件为零而仅由输入引起的响应。

第二节典型输入信号单位阶跃函数单位脉冲函数单位斜坡函数单位抛物线函数正弦函数

在实际的使用中，控制系统的输入信号是多种多样的。为了简化问题，在分析系统时，采用典型的输入信号。常用的典型输入信号有以下５种：1.单位阶跃函数

单位阶跃函数u(t)t01表示输入量的一个瞬间突变过程。2.单位脉冲函数

δ(t)单位脉冲函数t0可视为一个持续时间极短的信号。单位脉冲函数的积分就是单位阶跃函数．3.单位斜坡函数（或单位速度函数）单位斜坡函数r(t)t0

表示由零值开始随时间t作线性增长的信号。单位斜坡函数对时间的导数就是单位阶跃函数。4.单位抛物线函数(单位加速度函数)

xi(t)t0单位加速度函数

是一种抛物线函数，函数值随时间以等加速度增长。5、正弦函数xi(t)at0a为振幅,ω为角频率.正弦函数

系统对不同频率的正弦输入的稳态响应称为频率响应，在第四章将专门讨论，这一章仅讨论系统对非周期信号的响应，也就是时域响应。第三节一阶系统的时间响应

可用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统.其微分方程的一般形式为T称为一阶系统的时间常数，它与外界无关，是一阶系统的固有特性。下面分析系统在零初始条件下对典型输入信号的响应

一、单位脉冲响应定义：系统在单位脉冲输入δ(t)作用下的响应称为单位脉冲响应函数w(t)。

曲线有两个重要的特征点：（1）A点，t=T时，系统的响应w(t)衰减到初值的36.8%；（2）零点，t=0时，曲线的切线斜率等于-1/T2。系统的过渡过程时间为4T。

A二、单位阶跃响应定义：系统在单位阶跃输入u(t)作用下的响应，称为单位阶跃响应函数xou(t)。

曲线有两个重要的特征点：（1）A点，t=T时，系统的响应xou(t)达到了稳态值63.2%；（2）零点，t=0时，曲线的切线斜率等于1/T。系统的过渡过程时间为4T。可见一阶系统的时间常数T反映了系统的响应速度，T↓，响应快。

一阶系统的单位脉冲响应，单位阶跃响应可以看出，系统对某信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数。反之，系统对某信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。这是线性定常系统不同于线性时变系统和非线性系统的重要特性。结论：了解一种典型信号的响应，就可知道其它信号作用下的响应。例1、已知系统的微分方程为试求系统的单位脉冲响应函数和单位阶跃响应函数。解：例2、若某系统的单位阶跃响应函数为试求系统的传递函数和单位脉冲响应函数。解法1：解法2：第四节二阶系统的时间响应定义：可用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的微分方程为

式中，称为无阻尼固有频率，称为阻尼比。它们是二阶系统的特征参数,表明系统本身的固有特性。

二阶系统的特征方称为

此方程的两个特征根为

s1,s2完全取决于，n两个参数。（1）当0＜ξ＜1时，两特征根为共轭复数，即ojω-ξωns1σs2

此时,系统称为欠阻尼系统,是衰减振荡系统。toxo(t)（2）当ξ=0时，两特征根为共轭纯虚根，即0jωωns1σs2

此时,系统称为无阻尼系统,是等幅振荡系统。t0xo(t)（3）当ξ=1时，特征方程有两个相等的负实根，即ojω-ωns1(s2)σ

此时,系统称为临界阻尼系统,是无振荡系统。toxo(t)（4）当ξ＞1时，特征方程有两个不等的负实根，即ojωs1σs2

此时,系统称为过阻尼系统,是无振荡系统。toxo(t)一．二阶系统的单位脉冲响应(1)当0＜ξ＜1，系统为欠阻尼系统时,（t≥0）(2)当ξ=0,系统为无阻尼系统时,(3)当ξ=1,系统为临界阻尼系统时,(4)当ξ>1,系统为过阻尼系统时,

二、系统的单位阶跃响应(1)当0＜ξ＜1，系统为欠阻尼系统时,

或

(2)当ξ=0,系统为无阻尼系统时

(3)当ξ=1,系统为临界阻尼系统时(4)当ξ>1,系统为过阻尼系统时

二阶系统有两个参数和，阻尼比是二阶系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶跃响应有很大区别。从图可见：（１）越小，振荡越厉害，当增大到１以后，曲线变为单调上升。（２）之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值。（３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。（４）过阻尼系统过渡过程时间长。

取横坐标为，不同阻尼比值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族如图所示：例3、已知系统的传递函数为试求系统的单位阶跃响应函数。解法1：解法2：(三)二阶系统响应的性能指标欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的性能指标:(1)上升时间tr(2)

峰值时间tp(3)最大超调量Mp(4)调整时间ts(5)振荡次数N

二阶系统的特征参量和对系统的响应具有决定性的影响。现在针对阻尼（0＜ξ＜1

）的情况，讨论瞬态响应指标与特征参量的关系。1、上升时间tr：响应曲线首次由零上升到其稳态值所需的时间。2、峰值时间tp

：响应曲线第一次出现峰值的时间。3、最大超调量MpΔ=2%时,ts≈4/(ξωn)Δ=5%时,ts≈3/(ξωn)

阶跃响应曲线开始进入偏离稳态值±Δ的误差范围(一般Δ为5%或2%),并从此不超越这个范围的时间称为系统的调整时间,也叫过渡过程时间。4.调整时间ts5.振荡次数N

在过渡过程时间ts内，xo(t)穿越其稳态值次数的一半定义为振荡次数。系统的震荡周期是2π/ωd，所以其震荡次数为:

解：例1、已知xi(t)=8.9N，求m、k、cR(s)C(s)-

例2设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标MP=20%,tP=1(s),试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量

tr,ts。

（1）求系统闭环传递函数（1）求系统闭环传递函数（2）确定系统参数表达式R(s)C(s)-

例2设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标MP=20%,tP=1(s),试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量

tr,ts。

（1）求系统闭环传递函数（2）确定系统参数表达式（3）求系统参数值R(s)C(s)-

例2设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标MP=20%,tP=1(s),试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量

tr,ts。

（1）求系统闭环传递函数（2）确定系统参数表达式（3）求系统参数值R(s)C(s)-

例2设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标MP=20%,tP=1(s),试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量

tr,ts。

（1）求系统闭环传递函数（2）确定系统参数表达式（3）求系统参数值（4）根据ζ，ωn计算其它指标R(s)C(s)-

例2设系统结构框图如图所示，若要求系统具有性能指标MP=20%,tP=1(s),试确定系统参数K和τ，并计算单位阶跃响应的特征量

tr,ts。

R(s)C(s)-

例3设角度随动系统如图所示。图中K为开环增益，τ=0.1(s)为伺服电机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，问K应取多大？根据题意取ζ=1，第五节系统误差分析与计算(一)系统的误差e(t)与偏差ε(t)1.误差e(t)定义为

e(t)=xor(t)–xo(t)

式中xor(t)是系统所希望的输出;xo(t)是实际输出.

上式拉氏变换为E1(s)=Xor(s)–Xo(s)2.偏差ε(t)定义为

ε(t)=xi(t)–b(t)

上式拉氏变换为E(s)=Xi(s)–B(s)

=Xi(s)–H(s)Xo(s)3.偏差E(s)与误差E1(s)之间的关系:当Xor(s)=Xo(s)时,E(s)=0

即E(s)=Xi(s)–H(s)Xo(s)=Xi(s)–H(s)Xor(s)=0

所以Xi(s)=H(s)Xor(s)

或Xor(s)=Xi(s)/H(s)故E(s)=Xi(s)–H(s)Xo(s)=H(s)Xor(s)–H(s)Xo(s)=H(s)[Xor(s)–Xo(s)]=H(s)E1(s)

或E1(s)=E(s)/H(s)

当H(s)=1时,E1(s)=E(s)(二)误差e(t)的一般计算

在一般情况下，设输入Xi(s)与干扰N(s)同时作用于系统。(三)系统的稳态误差与稳态偏差稳态误差的定义为由拉氏变换的终值定理得稳态偏差的定义为四、与输入有关的稳态偏差υ为积分环节的个数。

υ=0,1,2分别称为0型，1型和2型系统。（1）当输入为单位阶跃信号时，系统的稳态偏差结论：

（1）当系统的开环传函中无积分环