尺规作图方法介绍

尺规作图方法介绍鹿城区教师培训和科研中心周晓虹316183721@

目录一、何为“尺规作图”二、“尺规作图”可能问题三、“尺规作图”不能问题四、尺规作图的相关延伸五、《数学课程标准》及中考要求一、何为“尺规作图”尺规作图就是只使用直尺和圆规，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。这里的“直尺”和“圆规”跟现实中的并非完全相同，具有抽象意义。直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度。

一、何为“尺规作图”尺规作图，起源于古希腊。希腊人强调作图只能用直尺圆规，有下列原因：①希腊几何的基本精神，是从极少的基本假定（定义、公理、公设）出发，推导出尽可能多的命题。②受柏拉图哲学思想的影响。③以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形，圆和直线是几何学最基本的研究对象。史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯，他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。二、“尺规作图”可能问题

1、作图公法：经过两个已知点可作一直线；已知圆心和半径可作一个圆；若两已知直线相交，可求其交点；若一已知直线和一已知圆相交，可求其交点；若两已知圆相交，可求其交点。二、“尺规作图”可能问题

2、基本作图

①做一条线段等于已知线段；②作一角等于已知角；③平分已知角；④经过一点作已知直线的垂线；⑤作线段的垂直平分线。二、“尺规作图”可能问题

3、例题分析例1.已知：如图所示，ΔABC，求作ΔA'B'C'，使ΔA'B'C'≌ΔABC.例2.已知：∠AOB及直线MN.求作：点P，使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等.例3.已知ΔABC，求作一点，使点P到AB、AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等。

例4.已知斜边，一锐角，作直角三角形。

例5.已知斜边、直角边，求作直角三角形。例6.已知：三角形两边及第三边上的中线，求作三角形。二、“尺规作图”可能问题

4、最基本的作图表述：过点×，点×作直线××；或作直线××；或作射线××．连结点×、×，或连结××．延长××到点×，使××=××．延长××交××于点×．在××上截取××=××．以点×为圆心，××为半径作圆（弧）．以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×．分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×、×．二、“尺规作图”可能问题

5、课堂练习：已知锐角∠a,∠b(∠a>∠b).求作一个角，使它等于2∠a-∠b.已知一角及其该角平分线长和一条邻边，求作三角形.已知底边及一腰，求作等腰三角形.（中考典例）已知：射线OC．求作：∠AOB，使OC平分∠AOB（不写做法，但要保留作图痕迹）．

二、“尺规作图”可能问题

6、“尺规作图”的策略（1）解作图题一般步骤：

①将题给的条件具体化；②具体叙述所作图形应满足的条件；③寻找作图方法的途径；④根据分析所得的作图方法作出正式图形，并依次叙述作图的过程；⑤为了验证所作的图形是否正确，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作的图形完全满足题中所要求的条件；⑥研究这个问题是不是在什么条件下都能作出图形来．在什么情况下，有唯一解，或多解，或没有解．二、“尺规作图”可能问题

6、“尺规作图”的策略（2）几何作图题的一般思路：①假设所求的图形已经作出，并且满足题中所有的条件。②分析图中哪些是关键点，并探讨确定关键点的方法。③运用基本作图法确定关键点，然后完成作图。二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法（1）轨迹交点法例1，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法（1）轨迹交点法

例2，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4,0），点O是坐标原点，在直线y=x+3上求一点P，使⊿AOP是等腰三角形，这样的点P有几个？二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法（2）代数作图法：

例3，只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）。例4，求作一正方形，使其面积等于已知⊿ABC的面积。二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法（3）旋转作图法：

例5，已知：直线a、b、c，且a∥b∥c.求作：正⊿ABC，使得A、B、C三点分别在直线a、b、c上.二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法（4）位似法作图：

例6，已知：一锐角⊿ABC求作：一正方形DEFG，使得D、E在BC上，F在AC上，G在AB上.二、“尺规作图”可能问题

7、几种常见的尺规作图方法（5）面积割补法例7，过⊿ABC的底边BC上一定点P，求作一直线l，使其平分⊿ABC的面积.三、“尺规作图”不能问题1、著名的几何三大问题（古典难题）：（1）化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。（2）三等分角问题：三等分一个任意角。（3）倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍。

三、“尺规作图”不能问题2、另外两个著名问题：（1）正多边形作法（2）四等分圆周四、尺规作图的相关延伸1、用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图（1）只用直尺及生锈圆规作正五边形；（2）生锈圆规作图,已知两点A、B，找出一点C使得AB=BC=CA。（3）已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点。2、尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的。3、10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。4、几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决。

五、《数学课程标准》及中考要求2011版《数学课程标准》在第三学段的第二部分“图形与几何”中对“尺规作图”有明确要求：（1）会用尺规完成以下基本作图：

作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。五、《数学课程标准》及中考要求（2）会利用基本作图作三角形：

已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。（3）会利用基本作图完成作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的内切圆；作圆的内接正方形和正六边形。（4）在上述尺规作图的问题中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。五、《数学课程标准》及中考要求