北方工业大学考研信号与系统第四章

第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析本章介绍连续时间系统的复频域分析方法。§4.1引言频域分析法与复频域分析法的比较。频域分析法优点与不足以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点——

分析结果有着清楚的物理意义。但傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号不满足绝对可积的条件，因而无法应用频域分析法。频域分析法只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍须按时域方法求解。复频域分析法优点与不足为了突破频域分析方法的局限性，研究了复频域分析方法，以拉普拉斯变换为数学工具，将时域映射到复频域。

•优点：扩大了可以变换的信号的范围；求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。

•缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。主要学习内容首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析

——本章重点。介绍系统函数H(s)及其零极点的概念，并根据零极点的分布研究系统特性，分析频率响应，并简略介绍系统稳定性问题。注意与傅氏变换进行对比，便于理解与记忆。§4.2拉普拉斯变换的定义、

收敛域从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1．拉普拉斯正变换信号f(t)乘以衰减因子et(为一实数)后，容易满足绝对可积的条件。其傅里叶变换为令s=+j

，是一个复数，具有频率的量纲，称为复频率。2．拉氏逆变换f(t)e

t是F(+j)

的傅里叶反变换：s=+j,为常数,ds

=jd,积分限3．拉氏变换对正变换逆变换简记为f(t)F(s)，f(t)：原函数，F(s)：象函数正变换：从时域函数变换到复频域函数；反变换：从复频域函数变换到时域函数。由于可正、可负、也可为零，复指数函数est

可能是增幅、减幅或等幅的振荡信号，比傅里叶反变换中作为基本信号的等幅振荡信号ejt更具普遍性。4．单边拉氏变换正变换逆变换考虑实际系统中的信号都是有起始时刻的，定义信号的起始时刻为时间原点：采用0系统：考虑f(t)中可能含有冲激函数。二．拉氏变换的收敛拉氏变换存在的条件：f(t)e

t傅里叶变换存在的条件f(t)e

t应绝对可积：对于单边信号f(t)，绝对可积条件可等效为使F(s)存在的s的区域称为F(s)的收敛域。jOs

平面0收敛域收敛坐标收敛轴常用信号的收敛域(1)u(t)

u(t),>0

=0(>)收敛域为全部s平面。jO常用信号的收敛域(2)u(t)

=0(>0)收敛域为

s平面的右半平面。(3)sin(0t

)u(t)

=0(>0)收敛域为

s平面的右半平面。jO常用信号的收敛域(4)tn

u(t),n=1,2,3…

=0(>0)收敛域为s平面的右半平面。n=1同理可分析n=2,3…常用信号的收敛域(5)et

u(t)，为实数

=0(>)收敛域为

=的右侧

s平面。(6)不存在收敛域，不存在拉氏变换。无论如何取值，都无法使收敛。jO拉氏变换收敛域的一些基本规律有界的非周期信号的拉氏变换一定存在，其收敛域是整个s

平面；等幅信号或等幅振荡信号的收敛域为s平面的右半平面（

>0）；随时间增长的t的正幂次方信号的收敛域为s平面的右半平面（

>0）；指数信号的收敛域为

>的右半平面;满足的信号称为指数阶信号；对于一些比指数函数增长得快的函数，无法利用指数函数形式的收敛因子使其收敛，不存在拉氏变换；一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数（全s域平面收敛）3.单位冲激信号、冲激偶信号（

>0）=1t0>0=s4．tnu(t)（

>0）5．cos

(0t

)u(t)

和sin(0t

)u(t)（

>0）（

>0）小结傅里叶变换把时域函数f(t)变换为频域函数F()，时域中的变量t和频域中的变量都是实数。

拉氏变换把时域函数f(t)变换为复变函数F(s)，时域变量t为实数，F(s)变量s为复数。s域也称为复频域，拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。从物理意义上看，只能描述振荡的重复频率，

s=+j则不仅描述振荡的频率，含同时描述振荡幅度增长或衰减的速率。§4.3拉普拉斯变换的基本性质线性

原函数微分原函数积分

延时（时域平移）s域平移

尺度变换初值

终值卷积

对s域微分对s域积分意义傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系;

拉氏变换的性质揭示了信号的时域特性和复频域特性之间的确定的内在联系。利用性质求信号的拉氏变换F(s)。一．线性例：若则K1,K2为常数二．原函数微分推广：证明：例1已知，利用微分性质重新求解(t)和

(t)的拉氏变换。三．原函数的积分证明：①②①②例2已知，利用积分性质重新求解tu(t)

的拉氏变换。四．延时（时域平移）注意：对于单边拉氏变换，f(t)u(t)延时t0获得f(tt0)u(tt0)，即信号的起始时刻也延时到t0

。例3求各波形的拉氏变换。

Ottu(t)Ot11Ot1(t1)u(t)Ot1tu(t1)1(t1)u(t1)例4求信号

f1(t)=sin[0(t

t0)]u(t

t0)

和f2(t)=sin[0(t

t0)]u(t)的拉氏变换。

例5求图示三角脉冲信号的拉氏变换。

f(t)tO1242f(t)tO12421f(t)tO124(2)(3)(1)用时移性质求单边周期信号的拉氏变换f(t)tOT2T3T…f1(t)例：求周期方波的拉氏变换。f(t)tO23…1f1(t)=u(t)u(t

1),T=2五．s域平移例

6根据同理六．尺度变换分析：七．初值定理若f(t)及其导数存在拉氏变换，且则例

7

即单位阶跃信号的初始值为1。七．初值定理则例

8分析：注意：若F(s)不是真分式，应求出其中的真分式后对真分式应用初值定理。分子多项式的次数要低于分母多项式的次数若f(t)及其导数存在拉氏变换，且初值定理证明根据原函数微分定理：八．终值定理若f(t)及其导数存在拉氏变换，且则证明：根据原函数微分定理：八．终值定理若f(t)及其导数存在拉氏变换，且则注意：F(s)分母多项式的根不能位于j轴上（原点上的单实根除外），也不能位于s平面的右半平面。e.g.1F(s)分母多项式的根为j0，位于j轴上。不存在例9已知f(t)的象函数为，求原函数的初值和终值。验证：九．卷积f1(t)与f2(t)为因果信号，则十．象函数微分推广：证明：十．象函数微分推广：例

10求tet

的拉氏变换。十一．象函数积分例

10求

的拉氏变换。§4.4拉普拉斯逆变换由象函数求原函数的三种方法：

(1)部分分式法

(2)利用留数定理——围线积分法

(3)数值计算方法——利用计算机两种特殊情况一．F(s)的一般形式ai,bi为实数，m,n为正整数。分解为零点：极点：二．部分分式展开法(m<n，真分式)基本思路：求F(s)的极点；根据极点将F(s)展成部分分式(3)求出K1,K2…Kn单实根共轭复根重根第一种情况：极点均为单阶实数

p1,p2…pn为不等实根=K1例1求的原函数。(1)求极点，分解因式(2)展成部分分式(3)逆变换求系数=1第二种情况：极点包含共轭复根共轭极点出现在第二种情况：极点包含共轭复根的原函数例2求的原函数。(1)求极点(2)展成部分分式(3)逆变换=0.5p1=1,p2=1j2例2求的原函数。方法二：利用展成部分分式:=0.5第三种情况：有重根存在e.g.K1(单根系数)和K2(重根最高次系数)的求法同前：第三种情况：有重根存在e.g.求K3：一般情况求k11，方法同第一种情况：求其他系数：三．F(s)的两种特殊情况1.F(s)非真分式——

化为真分式＋多项式e.g.作长除法:2.含有的非有理式时移性质：分析方法：先不考虑项，求其余有理分式的原函数，再进行延时。e.g.求的原函数。令§4.5拉普拉斯变换的应用用拉氏变换法求解微分方程用拉氏变换分析电路一.用拉氏变换求解微分方程例1一连续时间系统满足微分方程已知r(0)=2,r(0)=3，e(t)=u(t)，求系统的完全响应、零输入响应和零状态响应。零输入响应零状态响应用拉氏变换求解微分方程的基本步骤方程两边求拉氏变换，注意r(t)和e(t)起始状态不为零的情况；求解s域代数方程得到输出r(t)的象函数R(s);求R(s)反变换得到原函数r(t)；可以从R(s)中直接分解出零输入响应（只与起始状态有关的项）和零状态响应（只与激励有关的项）。二.用拉氏变换法分析电路例2RLC串联电路中，已知i(0)=0.5A，vC(0)=0,求vC(t)和i(t),t0。2.5i(t)

+u(t)V–0.5H

+vC(t)–二.用拉氏变换法分析电路例2RLC串联电路中，已知i(0)=0.5A，vC(0)=0,求vC(t)和i(t),t0。2.5i(t)

+u(t)V–0.5H

+vC(t)–二.用拉氏变换法分析电路例2RLC串联电路中，已知i(0)=0.5A，vC(0)=0,求vC(t)和i(t),t0。2.5i(t)

+u(t)V–0.5H

+vC(t)–方法二利用电路的s域模型建立电路的s域模型根据s域模型和电路理论列方程求解s域代数方程，得到变量的象函数求反变换，得到变量的时域解（原函数）1.基本元件的s域模型(1)电阻元件的s域模型1.基本元件的s域模型(2)电感元件的s域模型1.基本元件的s域模型(3)电容元件的s域模型1.基本元件的s域模型电阻：电感：电容：sL与也称为运算阻抗2.基尔霍夫定律的

s域形式基尔霍夫定律的s域形式与时域完全相同；元件电压电流关系的s域形式也与时域相似。结论：直流电路中的各种分析方法都适用于分析电路的s域模型。用s域模型分析电路例2RLC串联电路中，已知i(0)=0.5A，vC(0)=0,求vC(t)和i(t),t0。2.5i(t)

+u(t)V–0.5H

+vC(t)–建立电路的s域模型

+VC(s)–2.5I(s)+–0.5s0.25+2.求解

s域模型3.求拉氏反变换得到原函数用s域模型分析电路的基本步骤建立电路的s域模型

注意：若vC(0)或iL(0)不为零，电容或电感模型中将包含独立源；若vC(0)或iL(0)未知，需先求解。用电路分析方法分析

s域模型，求出未知变量的象函数；求拉氏反变换得到未知变量的原函数。例3图示电路开关闭合前已达稳态，t

0时v2(t)=0，t=0时开关闭合，求v2(t)和i2(t),t0。2i2(t)+5V–+v2(t)–1F0.5F建立电路的s域模型2I2(s)+–+V2(s)–+–2.求解s域模型3.求原函数+v1(t)–I1(s)I(s)例3图示电路开关闭合前已达稳态，t

0时v2(t)=0，t=0时开关闭合，求v2(t)和i2(t),t0。2i2(t)+5V–+v2(t)–1F0.5Fv2(t)/Vot5i2(t)/Aot§4.6系统函数(网络函数)H(s)系统函数电网络中的系统函数LTI互联网络的系统函数并联级联

反馈连接一．系统函数定义连续时间系统的s域系统函数定义为零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。连续时间系统的系统函数H(s)等于冲激响应h(t)的拉氏变换。H(s)求H(s)：一．系统函数定义(2)求h(t)：求(t)激励时的微分方程；(3)求r(t)：求e(t)激励时的微分方程；例1(1)在零起始状态下，对原方程两端取拉氏变换(2)因为二.电网络中的系统函数1.策动点函数：激励与响应在同一端口——策动点导纳——策动点阻抗初始储能为零无源单口网络I1(s)+V1(s)无源单口网络I1(s)+V1(s)无源单口网络I1(s)+V1(s)二.电网络中的系统函数2.转移函数：激励与响应不在同一端口初始储能为零无源双口网络I1(s)+V1(s)I2(s)+V2(s)I1(s)无源双口网络I1(s)I2(s)+V2(s)转移阻抗转移电流比+V1(s)无源双口网络I1(s)I2(s)+V2(s)转移导纳转移电压比例2如图所示电路，求,3e(t)+v1(t)–1F1H1+v2(t)–3E(s)+V1(s)–s1+V2(s)–

H1(s)与H2(s)具有相同的分母多项式，分母多项式（极点分布）反映了系统特性。零状态响应与激励之比，动态元件无初始储能。三．LTIS互联的系统函数1．LTI系统的并联E(s)R(s)H1(s)H2(s)H

(s)2．LTI系统的级联E(s)R(s)H1(s)H2(s)H

(s)3．LTI系统的反馈连接例3已知系统的框图如下，请写出此系统的系统函数和描述此系统的微分方程。四．连续系统的模拟1．直接型H1(s)H2(s)用特定的部件，如积分器、倍乘器、加法器等构造一个模拟系统，使模拟系统的数学模型与实际系统相同，称为系统模拟。X(s)E(s)R(s)1．直接型H1(s)H2(s)X(s)E(s)R(s)1．直接型H1(s)H2(s)X(s)E(s)R(s)e(t)r(t)b1b0a1a0a21．直接型H1(s)H2(s)X(s)E(s)R(s)E(s)R(s)b1b0a1a0a2§4.7由系统函数零、极点分布决定时域特性

一．引言冲激响应h(t)与系统函数H(s)

从时域和变换域两个角度表征了同一系统的本性。

H(s)对系统特性的表征可以直接体现为在s平面极点的分布情况。根据零、极点分布可以直观地判断系统的时域特性和频域特性。主要应用：1.可以预言系统的时域特性；2.便于划分系统响应的各个分量——

自由／强迫，瞬态／稳态3.可以用来说明系统的频域特性（正弦稳态特性）.二．H(s)的零、极点图在s平面上，画出H(s)的零极点图：

零点：用○表示；极点：用×表示。1．系统函数的零、极点例1画出系统的零极点图。极点：零点：零极点图：1三．H(s)零、极点分布与h(t)波形特征的对应极点pi

决定了对应分量hi(t)的变化形式；零点zj

只影响系数Ki.pi与hi(t)

的对应关系三．H(s)、E(s)的极点分布与自由响应、强迫响应特征的对应激励：系统函数：响应：强迫响应分量

＋自由响应分量几点认识自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励函数的形式无关，然而系数都有关。响应函数r(t)由两部分组成：系统函数的极点自由响应分量；激励函数的极点强迫响应分量。暂态响应和稳态响应暂态响应是指全响应中暂时出现的有关成分，随着t增大，将逐渐减小，最终消失。稳态响应＝完全响应－暂态响应

极点位于左半平面的响应分量都属于暂态响应。例2给定系统微分方程，激励e(t)=u(t),起始状态r(0)=1,r(0)=2。试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应，暂态响应和稳态响应各分量。解：零输入响应零状态响应稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应极点位于s左半平面极点位于虚轴暂态响应稳态响应H(s)的极点E(s)的极点自由响应强迫响应§4.8由系统函数零、极点分布

决定频响特性

根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线一．连续系统的频率响应1.定义：连续系统在正弦信号激励下达到稳态时，稳态响应随频率的变化情况。e.g.分析一阶RC电路的频率响应——幅频特性—相频特性e.g.分析一阶RC电路的频率响应一．连续系统的频率响应1.定义：连续系统在正弦信号激励下达到稳态时，稳态响应随频率的变化情况。2.要求：系统在正弦激励下能达到稳态。设系统函数，激励一．连续系统的频率响应1.定义：连续系统在正弦信号激励下达到稳态时，稳态响应随频率的变化情况。2.要求：系统在正弦激励下能达到稳态。设系统函数，激励强迫响应稳态响应正弦形式自由响应应为暂态响应H(s)的极点应都位于s平面的左半平面；3．连续系统的频率响应一般系统：3．连续系统的频率响应一般系统：——正弦稳态响应3．连续系统的频率响应一般系统：正弦稳态响应系统函数H(s)，激励正弦稳态响应与激励的关系：幅度乘以系数H0

相位增加0H0,0由H(s)在j0处的值决定：表征了正弦稳态响应与激励的关系随频率变化的特性，称为系统的频率响应特性。

|H(j)|称为幅频响应特性，()为相频响应特性。e.g.分析一阶RC电路的频率响应二．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线零点矢量：极点矢量：二．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线零点矢量：极点矢量：二．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线

j是滑动矢量，Nj

,j

,Mi

,

i

,都随变化而变化。

例1分析一阶RC电路的频响特性。频响特性例2确定图示系统的频响特性。频响特性0.785例3分析二阶系统的频响特性。(§4.9)ojj0j0ojj0j0ojj0j0o|H(j)|0o()90900(1)a1=0p1,2=j0例3分析二阶系统的频响特性。(§4.9)(2)(3)(4)共轭极点实部为负二阶负实根不等负实根a1=0.2a1=1a1=5a1=50§4.10全通函数与最小相移函数的零、极点分布

全通网络最小相移网络一．全通网络1.全通网络：幅频特性为常数。对于全部频率的正弦信号，通过系统后其幅值都被改变相同的倍数。o|H(j)|K一．全通网络2.零极点分布零点与极点关于虚轴对称

极点位于左半平面，零点位于右半平面o()180ojp1z1M111N1ojp1z1p2z2一．全通网络M121N11M22N2ojp1z1p2z2M12N1M22N2o()360一．全通网络3.小结幅频特性——常数，相频特性——不受约束系统函数中每对实轴上的零极点对应一个180~0的相位变化，对称的共轭零极点对应一个

0~360的相位变化。

全通网络常用于相位校正。要求极点位于左半平面，是为了保证这些极点形成的自由响应分量都能衰减到零，系统能达到稳态。

二．最小相移网络ojz1p1N11比较零点位于左半平面和右半平面的两个系统：（z1与z1'关于虚轴对称)ojp1z1'1'N1

零点位于左半平面比零点位于右半平面，系统的频率特性具有更小的相移。二．最小相移网络网络函数的零点仅位于左半平面或j轴的系统称为“最小相移系统”，系统函数称为“最小相移函数”。若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非最小相移网络”，系统函数称为“非最小相移函数”。三．非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联非最小相移网络H(s)最小相移网络H1(s)全通网络H2(s)ojp1z1p2z2ojp1z3p2z4ojp3z1p4z2z3,z4与z1,z2关于虚轴对称；p3,p4与z3,z4坐标相同§4.11线性系统的因果性与稳定性

4.11一．因果性1.定义：系统的零状态响应不出现于激励之前的系统。对于任意激励e(t)：e(t)=0，t<0，零状态响应都满足r(t)=0，t<0。不满足因果条件的系统称为非因果系统。2.时域充要条件：系统的冲激响应h(t)=0，t<0。3.复频域条件

(1)因果系统的系统函数的收敛域是某个右半平面。0，H(s)的收敛域为Re[s]>0

但收敛域为某个右半平面的连续系统未必都是因果系统。收敛域为某个右半平面是因果系统的必要条件。e.g.1某系统的单位冲激响应为。时域：

t<0时h(t)=0，系统是因果的。复频域：et

u(t)的收敛域：Re[s]>12e2tu(t)的收敛域：Re[s]>2h(t)的收敛域：Re[s]>1h(t)的收敛域为最右边极点的右半平面。e.g.2考察系统的因果性。但是：1<t<0时，h(t)0：系统非因果。H(s)的收敛域为一个右半平面。收敛域为某个右半平面的连续系统未必都是因果系统。收敛域为某个右半平面是因果系统的必要条件。3.复频域条件

(2)若系统函数为有理分式系统具有因果性收敛域为最右边极点的右半平面二．稳定性1.定义：系统对于任意有界输入，其零状态响应也是有界的，称为有界输入有界输出(BIBO)的稳定系统，简称稳定系统。2.时域充要条件：3.复频域充要条件

(1)H(s)的收敛域包含虚轴，h(t)的傅里叶变换存在。

(2)因果系统稳定时其所有极点都位于左半平面。对于任意激励e(t)：|e(t)|Me，零状态响应满足|r(t)|

Mr。即h(t)绝对可积。例1如下系统皆为因果系统，说明其收敛域，并判断稳定性。说明：(1)若系统在虚轴上有一阶极点，为常数或等幅振荡，称为临界稳定系统。

(2)若系统有极点位于右半平面，或在虚轴上有二阶以上极点，，称为不稳定系统。Re[s]>1稳定Re[s]>0临界稳定Re[s]>2不稳定例2当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？如图所示反馈系统，子系统的系统函数为系统函数:极点：例2当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？如图所示反馈系统，子系统的系统函数为k>2系统稳定性小结因果系统可以根据H(s)的极点分布情况划分为稳定、临界稳定和不稳定三种类型。因果系统稳定时其所有极点都位于左半平面;

若系统在虚轴上有一阶极点，称为临界稳定系统；若系统有极点位于右半平面，或在虚轴上有二阶以上极点，称为不稳定系统。稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。h(t)与H(s)从两方面表征了系统的稳定性。

h(t)绝对可积是系统稳定的充要条件，适用于因果与非因果系统。§4.12双边拉氏变换双边拉氏变换的收敛域一．双边拉氏变换定义优点：信号不必限制在t>0范围内，可以把所研究问题的时间从到+作统一考虑，使概念更清楚。双边拉氏变换与傅里叶变换更密切，便于全面理解傅氏变换、拉氏变换和z变换的关系。例1f(t)=eb|t|，讨论FB(s)的收敛域。otf(t)1b>0b=0b<0全时域信号：Re[s]<bRe[s]>bb>0，收敛域为b<Re[s]<b；b0时，f(t)双边拉氏变换不存在。例1f(t)=eb|t|，讨论FB(s)的收敛域。of(t)1b>0b=0b<0全时域信号：Re[s]<Re[s]>右边信号：左边信号：二．双边拉氏变换的收敛域左边信号的收敛域为

Re[s]<1，1以左的半个平面;右边信号的收敛域为

Re[s]>2，2以右的半个平面;双边信号的收敛域为

2<Re[s]<1，s平面中的一个带状区域。(1>2)例2分析etu(t)与etu(t)的BLT及收敛域。Re[s]<

Re[s]>

(1)e

tu(t)

为右边信号：(2)e

tu(t)为左边信号：不同的函数在不同的收敛条件下可能得到同样的拉氏变换；给出函数的双边拉氏变换时，必须同时注明其收敛域。例3已知一BLT为，分析其可能的收敛域并求出反变换。提示：收敛域一般以极点为边界，且收敛域中无极点。(1)Re[s]>1x(t)=(et

e2t)

u(t)右边信号右边信号例3已知一BLT为，分析其可能的收敛域并求出反变换。提示：收敛域一般以极点为边界，且收敛域中无极点。(2)Re[s]<2x(t)=(et

e2t)

u(t)左边信号左边信号例3已知一BLT为，分析其可能的收敛域并求出反变换。提示：收敛域一般以极点为边界，且收敛域中无极点。(3)2<Re[s]<1x(t)=et

u(t)

e2tu(t)左边信号右边信号例3已知一BLT为，分析其可能的收敛域并求出反变换。(3)2<Re[s]<1et

u(t)

e2tu(t)双边拉氏变换时，同一象函数在不同收敛域时，有不同的原函数。(2)Re[s]<2(et

e2t)

u(t)(1)Re[s]>1(et

e2t)

u(t)§4.13拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

为了满足绝对可积的条件，引入衰减因子et，f(t)et

的傅里叶变换就是f(t)的拉氏变换。

问题：由函数的单边/双边拉氏变换，如何求傅里叶变换？一.双边LT与FT的关系比较：结论：若f(t)的双边拉氏变换的收敛域包含j轴，则例3已知一BLT为，分析其可能的收敛域并求出反变换。(3)2<Re[s]<1et

u(t)

e2tu(t)(2)Re[s]<2(et

e2t)

u(t)(1)Re[s]>1(et

e2t)

u(t)例3已知一BLT为，分析其可能的收敛域并求出反变换。只有当Re[s]>1时收敛域包含虚轴，(et

e2t)

u(t)

存在傅里叶变换。(1)Re[s]>1(et

e2t)

u(t)二.单边LT与FT的关系比较：若f(t)的单边拉氏变换的收敛域包含j轴，则因果信号单边拉氏变换与傅里叶变换的关系——因果信号的收敛域为某个右半平面：Re[s]>01．0<0，Re[s]>0收敛域包含虚轴，f(t)的傅里叶变换存在。

F(s)的所有极点都位于左半平面，f(t)为衰减信号。e.g.Re[s]>2．0>0，Re[s]>0收敛域不包含虚轴，f(t)的傅里叶变换不存在，不能由F(s)求F().

F(s)的有