建筑力学第三章静定结构内力计算

建筑力学第三章静定结构内力计算第一页，共九十七页，2022年，8月28日

第一节杆件变形的概念1.变形体及其基本假设

1).变形体：

工程中的各种构件都是由固体材料制成的，如钢材、铸铁、混凝土、砖、石材、木材等。这些固体材料在外力作用下，都会产生变形。根据变形的性质，变形分为弹性变形和塑性变形。①弹性变形：指变形体在外力去掉后，能恢复到原来形状和尺寸的变形。例如一根钢丝在不大的拉力作用下产生伸长变形，在去掉拉力后，钢丝又恢复到原状。

第二页，共九十七页，2022年，8月28日②塑性变形：指变形体在外力去掉后，不能完全恢复到原状而留有残余的变形。一般情况下，物体受力后，既有弹性变形，又有塑性变形。只有弹性变形的物体称为理想弹性体。只产生弹性变形的外力范围称为弹性范围。实际工程材料都是带有不足的变形固体，材料力学中研究的对象是理想的变形固体，符合如下基本假设：2)基本假设（1）均匀连续性假设

认为物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质，其结构是密实的，且在任一点处的力学性（主要是弹性性质）都是一样的。

第三页，共九十七页，2022年，8月28日（2）材料的各向同性假设材料沿各个方向的力学性能是相同的。（3）弹性假设

即当作用于物体上的外力不超过某一限度时，将物体看成是完全弹性体。（4）小变形假设构件在荷载作用下产生的变形与其原始尺寸相比，可以忽略不计，这样的变形为小变形。建筑力学主要研究弹性体在弹性范围内的小变形问题第四页，共九十七页，2022年，8月28日2、杆件变形的基本形式

1）杆件

杆件：指长度远大于其他两个方向尺寸的变形体(见图)。如房屋中的梁、柱，屋架中的各根杆等等。杆件的形状和尺寸可由杆的横截面和轴线两个几何元素来描述。横截面：指与杆长方向垂直的截面，轴线：是各横截面中心的连线。横截面与杆轴线是互相垂直的。轴线为直线，且横截面相同的杆称为等截面直杆。第五页，共九十七页，2022年，8月28日2）杆件变形的基本形式（1）轴向拉伸或压缩变形杆件在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的拉力或压力作用下产生的变形称为轴向拉伸或压缩变形变形。PFNIIPFNⅡⅡ轴向拉伸或压缩的内力种类只有轴力FN。轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。拉伸压缩第六页，共九十七页，2022年，8月28日（2）剪切变形PFQmm杆件受到大小相等、方向相反、作用线垂直于杆轴线且相距很近的一对外力作用下产生的变形称为剪切变形。剪切变形的内力种类只有一种剪力FQ。剪切—内力为剪力。如销、铆钉、螺栓、键等（连接件）mm第七页，共九十七页，2022年，8月28日扭转—内力为扭矩。如各种传动轴等。

扭转（3）扭转变形杆件在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆轴线的外力偶的作用下产生的变形称为扭转变形。扭转变形的内力种类只有一种——扭矩FT

。mmmmMFT第八页，共九十七页，2022年，8月28日弯曲—内力为剪力弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)

（4）平面弯曲杆件受到受到作用于纵对称平面(由杆轴线和截面对称轴决定的平面)内，且力的作用线垂直于杆轴线的外力或外力偶的作用下所产生的变形称为平面弯曲变形。弯曲变形杆件的内力种类有二种——剪力和弯矩

。第九页，共九十七页，2022年，8月28日

1)内力：

内力：是杆件在外力作用下，相连两部分之间的互相作用力。

当我们用手拉长一根橡皮条时，会感到在橡皮条内有一种反抗拉长的力。手拉的力越大，橡皮条被拉伸得越长，它的反抗力也越大。这种在橡皮条内发生的反抗力就是橡皮条的内力。内力是由外力引起的，内力的大小随外力的增大、变形的增大而增大。但是，对任一杆件来说，内力的增大是有限度的，超过此限度，杆件就要破坏。所以研究杆件的承载能力必须先求出内力。3、内力、截面法第十页，共九十七页，2022年，8月28日分别取Ⅰ和Ⅱ部分来分析，为了平衡它们各自所受的外力，在截面mm上必将产生相互作用力FNⅠ和FNⅡ。这就是杆件截面mm上的内力。

如图的杆件内某一截面mm的内力。当杆件承受力系(F1，F2…，Fn)作用而处于平衡状态时，截面mm以左部分Ⅰ和以右部分Ⅱ也必然处于平衡状态。第十一页，共九十七页，2022年，8月28日杆件破坏的原理：

杆件内部点之间的相互作用力（分子之间作用力）的大小是与杆件内部点之间的距离有关，当杆件内部点之间的距离得变化大到一定程度时，内部相互作用力就会消失，意味着点之间出现了裂缝。也就是说，当杆件变形达到一定限度，点之间出现开裂现象。当截面上的内力都达到了极限，所有点之间都出现了裂缝，则意味着杆件发生断裂破坏了。具体的定量表达将在后面介绍的强度条件中描述。第十二页，共九十七页，2022年，8月28日2、截面法

确定杆件某一截面中的内力，假想将杆件沿需求内力的截面截开，使杆件分为两部分，取其中任一部分作为研究对象。用作用于截面上的内力，代替舍去部分对留下部分的作用力。

再由静力平衡条件求出此内力的方法，称为截面法。截面法可归纳为两个步骤：

(1)显示内力：假想将杆件沿需求内力的截面截开(图a)，把杆件分为两部分，取其中任一部分为研究对象，画出其受力图(见图(b)或(c)。(2)确定内力：列出研究对象上的静力平衡方程，解出内力。第十三页，共九十七页，2022年，8月28日

在平面杆件系统中，杆件内部产生的内力种类是固定的。内力种类有四种：截面法线方向内力——轴力FN、截面法线方向内力——剪力FQ、在纵向对称平面(杆轴线和截面对称轴确定的平面）内的力偶形式内力——弯矩M以及在横截面内的力偶形式内力——扭矩FT。mmFNFQFTMPPFNFQFTM纵向对称平面mm第十四页，共九十七页，2022年，8月28日第二节轴向拉伸与压缩时的内力1、轴向拉伸(压缩)的概念杆件在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的拉力或压力作用下，杆件将发生轴向伸长或缩短的变形。这种变形称为轴向拉伸（或压缩）。产生轴向拉伸和压缩的外力的特点是：作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合。FF拉伸FF压缩第十五页，共九十七页，2022年，8月28日如三角支架中，杆AB是受拉杆件，杆BC是受压杆件。如屋架，上弦杆是压杆，下弦杆是拉杆。在工程中以拉伸或压缩为主要变形的杆件称为拉杆和压杆。

第十六页，共九十七页，2022年，8月28日第十七页，共九十七页，2022年，8月28日第十八页，共九十七页，2022年，8月28日第十九页，共九十七页，2022年，8月28日第二十页，共九十七页，2022年，8月28日2、轴力

轴力：与杆件轴线相重合的内力，称为轴力，用符号FN表示。轴力正负号：当杆件受拉，轴力为拉力，其指向背离截面时为正；反之，当杆件受压，轴力为压力，其指向指向截面时为负。FFmmFFNFFN第二十一页，共九十七页，2022年，8月28日轴力的计算截面法求轴力1）截断：假想沿m-m横截面将杆切开。2）代替：留下左半段或右半段，将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替。3）平衡：对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值。FFmmFFNFFN第二十二页，共九十七页，2022年，8月28日【例1】杆件受力如图所示，试求1-1,2-2,3-3截面的内力112233ABCD3KN2KN

2KN1KN11A3KN1122AB3KN2KNFN1FN233D1KNFN3FN1=∑X=3KN(拉力）FN2=∑X=+3-2=1KN(拉力）FN3=∑X=-1KN(压力）第二十三页，共九十七页，2022年，8月28日【例2】杆件受力如图所示，试求杆件各段截面的内力2211ABC6KN

10KN22BC6KN10KNFN211C10KNFN1FN2=∑X=-6+10=4KN(拉力）FN1=∑X=10KN(拉力）注：在用截面法计算杆件内力时，将杆截开之前，不能用合力来代替力系的作用，也不能任意使用力的可传性原理以及力偶的可移性原理。第二十四页，共九十七页，2022年，8月28日3、轴力图轴力图：轴力沿杆件轴线的变化图。例：已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。11FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、绘制轴力图。第二十五页，共九十七页，2022年，8月28日4、静定平面桁架内力计算

桁架结构是由很多杆件通过铰结点连接而成的结构，各个杆件内主要受到轴力的作用，截面上应力分布较为均匀，因此其受力较合理。工业建筑及大跨度民用建筑中的屋架、托架、檩条等常常采用桁架结构。桁架的特点上弦杆斜杆竖杆下弦杆节间距离跨度第二十六页，共九十七页，2022年，8月28日桁架的计算简图常常采用下列假定：(1)

联结杆件的各结点，是无任何摩擦的理想铰。(2)

各杆件的轴线都是直线，都在同一平面内，并且都通过铰的中心。

(3)

荷载和支座反力都作用在结点上，并位于桁架平面内。

满足上述假定的桁架称为理想桁架，其受力特点是：各杆只受轴向力的作用，即各杆均为二力杆。在绘制理想桁架的计算简图时，应以轴线代替各杆件，以小圆圈代替铰结点。如右图所示为一理想桁架的计算简图。第二十七页，共九十七页，2022年，8月28日在实际计算时，可以先从未知力不超过两个的结点计算，求出未知杆的内力后，再以这些内力为已知条件依次进行相邻结点的计算。在桁架中，有时会出现轴力为零的杆件，它们被称为零杆。在计算之前先断定出哪些杆件为零杆，哪些杆件内力相等，可以使后续的计算大大简化。在判别时，可以依照下列规律进行。

静定平面桁架轴力计算的结点法与截面法1.用结点法计算桁架的内力第二十八页，共九十七页，2022年，8月28日（1）对于两杆结点，当没有外力作用于该结点上时，则两杆均为零杆，如图(a)所示；当外力沿其中一杆的方向作用时，该杆内力与外力相等，另一杆为零杆，如图(b)所示。（2）对于三杆结点，若其中两杆共线，当无外力作用时，则第三杆为零杆，其余两杆内力相等，且内力性质相同（均为拉力或压力）。如图(c)所示。（3）对于四杆结点，当杆件两两共线，且无外力作用时，则共线的各杆内力相等，且性质相同。如图(d)所示。第二十九页，共九十七页，2022年，8月28日【例1】用结点法计算如图(a)所示桁架中各杆的内力解：(1)计算支座反力

VA=VB=1/2(3×40+2×20)kN=80kN(2)计算各杆内力:由于A结点只有两个未知力，故先从A结点开始计算。A结点：如图(b)所示。∑Y=0:VA-20+VA4=0VA4=-60kNNA4=-60×√5kN=-134.16kN(压力)∑X=0:NA1+HA4=0HA1=-HA4=-(2/√5)NA4=120kN(拉力)第三十页，共九十七页，2022年，8月28日

以1结点为隔离体，可以断定14杆为零杆，A1杆与12杆内力相等，性质相同，即：N12=NA1=120kN(拉力)以4结点为隔离体，如图17.32(c)所示。∑Y=0:V45-P-V42-V41-V4A=0∑X=0:H45+H42-H4A=0联立求解得：N42=-44.7kN(压力)N45=-89.5kN(压力)以结点5为隔离体，如图(d)所示。由于对称性，所以N56=N54∑Y=0:V54+V56+N52+40=02V54+N52+40=0N52=40kN(拉力)(3)校核

以结点6为隔离体进行校核，可见满足平衡方程。第三十一页，共九十七页，2022年，8月28日用一截面将桁架分为两部分，其中任一部分桁架上的各力(包括外荷载、支座反力、各截断杆件的内力)，组成一个平衡的平面一般力系，根据平衡条件，对该力系列出平衡方程，即可求解被截断杆件的内力。利用截面法计算桁架中各杆件内力时，最多可以列出两个投影方程和一个力矩方程，即：∑X=0∑Y=0∑M=02.用截面法计算桁架各杆件的内力第三十二页，共九十七页，2022年，8月28日解：(1)求支座反力∑Y=0:VA=VB=1/2(2×10+3×20)kN=40kN(2)求内力作截面Ⅰ-Ⅰ截断所求三杆，如图(a)所示，取左半部分为隔离体。求Nc:以结点4为矩心取矩，如图(b)∑M4=0:VA×6-10×6-20×4-Nc×3=0Nc=33.3kN(拉力)【例】用截面法求图(a)所示中a、b、c三杆的内力。第三十三页，共九十七页，2022年，8月28日求Nb:取Na与Nc的交点O为矩心，如图(c)所示，并将Nb在1结点处分解为Vb、Hb，则：∑MO=0:∑MO=VAx+Vb(x+4)-10x-20(x+2)=0根据相似三角形的比例关系有：x=6m将x=6代入∑MO得：40×6+Vb×10-60-20×(6+2)=0Vb=-2kN根据力Nb与其竖向分量Vb的比例关系得：Nb=-2.4kN(压力)第三十四页，共九十七页，2022年，8月28日求Na：将Na传到O点，并分解为Va和Ha，以1点为矩心，如图(c)所示：∑M1=0:∑M1=VA×4+Va(x+4)-10×4-20×2=0Va=-8kNNa=-33kN(压力)第三十五页，共九十七页，2022年，8月28日剪切的概念杆件受到一对与杆轴线垂直、大小相等、方向相反且作用线相距很近的力作用时，杆件在两力之间的截面沿着力的作用方向发生相对错动，称为剪切。

当力不断增大时，错动也就相应地增大，最终杆件被剪断。

第三节剪切与扭转第三十六页，共九十七页，2022年，8月28日FmmFQ剪切面mm（合力）（合力）PP以铆钉为例：①受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线互相平行且相距很近（差一个几何平面）的平行力系作用。②变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。③剪切面：构件将发生相互的错动面，如m–m

。④剪切面上的内力：内力—剪力FQ

，其作用线与剪切面相切。第三十七页，共九十七页，2022年，8月28日剪切的工程实例螺栓连接铆钉连接销轴连接在工程实际中，构件的连接常采用螺栓、铆钉、键、销钉等。这类连接件的受力特点就是剪切变形，如图。第三十八页，共九十七页，2022年，8月28日平键连接榫连接第三十九页，共九十七页，2022年，8月28日第四十页，共九十七页，2022年，8月28日

剪切的受力和变形都比较复杂，在工程实际中常采用实用计算法，由此方法算出的应力值与实测数值很接近，故用来作为剪切强度计算的依据。第四十一页，共九十七页，2022年，8月28日扭转扭转的概念在垂直于杆件轴线的平面内，作用一对大小相等、方向相反的力偶，使杆发生扭转变形。工程实际中，受扭构件如，汽车方向盘的操纵杆，机械中的转动轴，钻机的钻杆等，都是扭转变形的实例。汽车的传动轴汽车的转向轴第四十二页，共九十七页，2022年，8月28日攻丝直升机的螺旋桨轴第四十三页，共九十七页，2022年，8月28日受力特点：在杆件两端作用一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的力偶。mm第四十四页，共九十七页，2022年，8月28日

变形特点：杆件轴线保持不变，但各横截面绕轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转变形。

截面间绕轴线转动的相对角位移，称为扭转角()。

使杆件产生扭转变形的外力偶，其矩称为外力偶矩。

凡是以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。φFF第四十五页，共九十七页，2022年，8月28日外力偶矩的计算Me=Fd其中：

Me—外力偶矩（N·m或kN·m)F—组成力偶的力，N或kN;d—力臂，m。（1）直接计算法第四十六页，共九十七页，2022年，8月28日外力偶矩的计算作用于轴上的外力偶矩m往往不直接给出，通常需要根据轴所传送的功率P和轴的转速n来计算扭力偶矩m。mm（2）公式计算法第四十七页，共九十七页，2022年，8月28日例:已知：功率P（kW）转速n（r/min转/分）求：扭力偶矩me（Nm）

1马力=735.5W（N·m）P－kW，n－转／分（N·m）P－马力，n－转／分P，n与m的关系第四十八页，共九十七页，2022年，8月28日1、扭矩的概念扭转轴的内力称为扭矩（用Mn表示）2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到mememeMn内力（扭矩）的计算求出作用于轴上的所有外力偶矩后，即可用截面法研究横截面上的内力。meMn第四十九页，共九十七页，2022年，8月28日3、扭矩正负号的规定确定扭矩方向用右手螺旋法则：四个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。扭矩正负号：离开截面为正，指向截面为负指向截面离开截面Me<0Me>0第五十页，共九十七页，2022年，8月28日扭矩图

用图线表示各横截面上扭矩沿轴线的变化情况，这种图线称为扭矩图。【例】传动轴图所示。主动轮A输入功PA=36kW，从动轮B、C、D

输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速为n=300r/min，试绘制该轴的扭矩图。BCADMBMCMDMA第五十一页，共九十七页，2022年，8月28日解：1、计算作用于各轮上的扭力偶矩（N.m）P－kW，n－r/minBCADMBMCMDMAⅡⅡⅠⅠⅢⅢ第五十二页，共九十七页，2022年，8月28日

2、用截面法求各段内的扭矩3、作扭矩图mB+Mn1=0mB+mC+Mn2=0-mD+Mn3=0Mn+x350Nm700Nm446NmBCADMBMCMDMAⅡⅡⅠⅠⅢⅢBMBMn1MBMBMCMBMCMn2BCDMDMn3第五十三页，共九十七页，2022年，8月28日第四节平面弯曲内力一、梁的平面弯曲平面弯曲和弯曲变形杆件收到垂直于杆轴的外力作用（横向力）或在纵向对称平面内收到力偶的作用时，杆件的轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。第五十四页，共九十七页，2022年，8月28日常用梁截面纵向对称轴受力特点—所有的外荷载（力、力偶）都位于纵向对称面内变形特点—梁的轴线在纵向对称面内弯曲变形后梁的轴线弯曲成一条位于纵向对称平面内的平面曲线的弯曲变形，称为平面弯曲。截面对称轴与梁轴线所组成的平面称为纵向对称平面第五十五页，共九十七页，2022年，8月28日平面弯曲杆件的外力1）集中力：作用在梁上微小局部上的横向力。2）分布荷载：沿梁长连续分布的横向力。3）集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该平面平行的平面）内的力偶。qq(x)均匀分布载荷线性（非均匀）分布载荷F集中力MM集中力偶T分布载荷载荷集度q(N/m)第五十六页，共九十七页，2022年，8月28日3.梁的分类梁分为静定梁和超静定梁两类。凡是通过静力平衡方程能够求出全部反力和内力的梁，统称为静定梁。静定梁分为单跨静定梁和多跨静定梁两类。工程中的单跨静定梁，按其支座情况可分为三种：(1)简支梁：该梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。(2)外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁称为外伸梁。(3)悬臂梁：该梁的一端为固定端支座，另一端为自由端。①简支梁③悬臂梁②外伸梁第五十七页，共九十七页，2022年，8月28日二、梁的内力1.剪力和弯矩FPmmxl力平衡：FA-FQ=0ABFAFBAMFQFA剪力：

FQ=FA

是一集中力,作用线过截面形心,与截面相切.单位：N或kN力矩平衡：M–FAx=0

弯矩：M=FAx

是一内力偶矩,作用面在纵向对称面内.单位：N·m或kN·m第五十八页，共九十七页，2022年，8月28日2.剪力、弯矩的符号规定为了使从左、右两部分梁求得同一截面上的内力FQ与M具有相同的正负号，并由它们的正负号反映变形的情况，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定。

1）剪力的正负号规定当截面上的剪力FQ使所考虑的脱离体有顺时针转动趋势是为正；反之为负。第五十九页，共九十七页，2022年，8月28日2）弯矩的正负号规定当截面上的弯矩M使所考虑的脱离体产生向下凸的变形时（即上部受压、下部受拉）为正；反之为负。第六十页，共九十七页，2022年，8月28日3.用截面法求指定截面上的剪力和弯矩（1）求支座反力（2）用假想的截面将梁从需要求剪力和弯矩处截成两段，取其中的任一段为研究对象（通常取外力较少的一侧）。（3）画出研究对象的受力图（截面上的剪力和弯矩先假设为正号）。（4）列出平衡方程，求出剪力和弯矩。第六十一页，共九十七页，2022年，8月28日梁的内力计算的两个规律：（1）求剪力的规律

梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面以左所有向上的力减去所有向下的力，或截面以右所有向下的力减去所有向上的力。在左侧梁段上向上的外力在截面上产生正剪力，向下外力在截面上产生负剪力；在右侧梁段上向下的外力在截面上产生正剪力，向下外力在截面上产生负剪力。即“左上右下剪力正，反之负”。作用在梁上的力偶对剪力没有影响。第六十二页，共九十七页，2022年，8月28日（2）求弯矩的规律

横截面上的弯矩M，在数值上等于截面以左所有向上的力对截面形心的矩减去所有向下的力对截面形心的矩；或截面以右所有向上的力对截面形心的矩减去所有向下的力对截面形心的矩。在左侧梁段上的外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为顺时针时，在截面上上产生正弯矩，为逆时针时在截面上产生负弯矩；在右侧梁段上的外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为逆时针时，在截面上上产生正弯矩，为顺时针时在截面上产生负弯矩。即“左顺右逆弯矩正，反之负”。第六十三页，共九十七页，2022年，8月28日例题：求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力1212343455第六十四页，共九十七页，2022年，8月28日第五节梁的内力图1.剪力方程和弯矩方程梁的剪力方程FQ=FQ(x)梁的弯矩方程M=M(x)梁的剪力和弯矩是随截面位置变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁左端，x表示截面位置，则FQ和M就随x的变化而变化，FQ和M就是x的函数，这个函数式就叫剪力方程和弯矩方程。一、函数法做梁的内力图用剪力方程和弯矩方程绘图的方法称为函数法。内力图:将内力随截面位置变化情况绘成的图形。第六十五页，共九十七页，2022年，8月28日2.剪力图和弯矩图以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。OOFQM第六十六页，共九十七页，2022年，8月28日3.画剪力图和弯矩图的步骤1）根据梁的支承情况和梁上作用的荷载，求出支座反力（对于悬臂梁，若选自由端一侧为研究对象，可以不必求出支座反力2）分段列出剪力方程和弯矩方程。根据梁所受荷载及支座反力，在集中力（包括支座反力）和集中力偶作用处，以及分布荷载的分布规律发生变化处将梁分段分别列出每一段的剪力方程和弯矩方程。3）由剪力方程和弯矩方程求出特征点的值，画出剪力图和弯矩图，且标明最大剪力和弯矩值。第六十七页，共九十七页，2022年，8月28日例题1

简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1、求约束反力由对称关系，可得：2、建立内力方程3、依方程作剪力图和弯矩图第六十八页，共九十七页，2022年，8月28日例题2简支梁受集中荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。1.求约束反力2、分段建立方程AC段：CB段：3、依方程而作图第六十九页，共九十七页，2022年，8月28日例题3

简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪应力方程和弯矩方程AC段:CB段：3、依方程而作图第七十页，共九十七页，2022年，8月28日二、利用微积分关系做剪力图、弯矩图从左往右做图1.在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线，斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜，V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。2.在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载集度，q<0（）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0（）向上凸。3.遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同，突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与集中力的方向相反。4.遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。5.弯矩的极值：弯矩图在剪力等于0的截面上有极值，反之亦然。第七十一页，共九十七页，2022年，8月28日第七十二页，共九十七页，2022年，8月28日利用上述规律：1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：（1）将梁正确分段；（2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的形状；（3）寻找控制面，算出各控制面的FQ和M；（4）逐段绘制出FQ和M图即梁的FQ和M图。第七十三页，共九十七页，2022年，8月28日快速绘制剪力图和弯矩图FQ图M图第七十四页，共九十七页，2022年，8月28日kNkNmkNkNm534FFQ图M图FQ图M图第七十五页，共九十七页，2022年，8月28日4.51.55.5kNkNmFQ图M图第七十六页，共九十七页，2022年，8月28日外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。解：1、求支反力2、判断各段FQ、M图形状：DABC3(kN)4.23.8Ex=3.1m(kN·m)3.81.4132.2FAFBCA和DB段：q=0，FQ图为水平线，

M图为斜直线。AD段：q<0，FQ图为向下斜直线，

M图为下凸抛物线。第七十七页，共九十七页，2022年，8月28日第七十八页，共九十七页，2022年，8月28日第七十九页，共九十七页，2022年，8月28日1.叠加原理：

几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独作用效果之和。“效果”——指载荷引起的反力、内力、应力或变形叠加原理成立的前提条件：小变形条件X三、叠加法作弯矩图第八十页，共九十七页，2022年，8月28日2.叠加法画弯矩图叠加法——用叠加原理绘制弯矩图的方法。叠加时，易先画直线形的弯矩图，再叠加曲线形或折线形的弯矩图。由于剪力图比较好画，重点介绍用叠加法画弯矩图。荷载分解2.作分解荷载的弯矩图3.叠加作荷载共同作用下的弯矩图步骤：弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处纵坐标的相加。叠加法一般不能求出最大弯矩的精确值。说明：第八十一页，共九十七页，2022年，8月28日叠加法作弯矩图＋FL1/2qL21/2qL2+FL第八十二页，共九十七页，2022年，8月28日第八十三页，共九十七页，2022年，8月28日第八十四页，共九十七页，2022年，8月28日+MBMA1/8qL2++MBMA1/8qL2BMBAqMAlBAqlBMBAMAl1/8qL2+第八十五页，共九十七页，2022年，8月28日3.区段叠加法—用叠加法作某一段梁弯矩图的方法原理任意段梁都可以当作简支梁,并可以利用叠加法来作该段梁的弯矩图第八十六页，共九十七页，2022年，8月28日BMBAqMAl梁分一段：ABA端截面弯矩：M=MAB端截面弯矩：M=MB1/8qL2MAMB第八十七页，共九十七页，2022年，8月28日梁分两段：AB段和BD段。AB段A端弯矩MAB=0，B端弯矩MBA=-4KN•mBD段B端弯矩MBD=-4KN•mD端弯矩MDB=0DB4A241第八十八页，共九十七页，2022年，8月28日支座反力RA=15KNRB=11KN梁分CA、AD、DBBF段。F6KN8KNq=2KN/mq=2KN/m2m4m2m2m2mACDEBRARB各控制面弯矩分别为：MA=-12KNMD=8KNMB=-4KN128410第八十九页，共九十七页，2022年，8月28日kNmkN第九十页，共九十七页，2022年，8月28日四、刚架的内力图

1)刚架整体刚度大，在荷载作用下，变形较小；