山西省长治市长子县色头中学2023年高二数学理联考试题含解析

山西省长治市长子县色头中学2023年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知向量，，且与互相垂直，则等于（

）A.1

B.

C.

D.

参考答案：D3.椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：+=1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．4.设，，在中，正数的个数是()A.25 B.50 C.75 D.100参考答案：D试题分析：∵∴全是正数.考点：三角函数的周期.5.函数的图象大致为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由函数，可得和，利用排除法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，可得，可排除C、D，又由，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中根据函数的解析式，合理利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4参考答案：C【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选：C．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．7.椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】把椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k，再进行判定即可．【解答】解：椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故选：A．8.设集合，，则A∪B等于（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：D9.下列求导正确的是（）A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=C．（3x）′=3xlog3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx参考答案：B【考点】63：导数的运算；66：简单复合函数的导数．【分析】根据求导公式，对四个选项中的函数进行判断以确定其正确与否，A中用和的求导公式验证；B用对数的求导公式验证；C用指数的求导公式验证；D用乘积的求导公式进行验证．【解答】解：A选项不正确，因为（x+）′=1﹣；B选项正确，由对数的求导公式知（log2x）′=；C选项不正确，因为（3x）′=3xln3，故不正确．D选项不正确，因为（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx故选B10.若复数z=为纯虚数，则实数m的值为（

）A.m=2 B.m=－1C.m=－1或m=2 D.m=2且3参考答案：A【分析】由复数为纯虚数，得到，即可求解.【详解】由题意，复数为纯虚数，所以，解得，即实数的值为2，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的分类及其应用，其中解答中熟记复数的概念和复数的分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AC＝2，O为AC中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机投一点，则此点落在阴影部分的概率为________．参考答案：

略12.圆C的参数方程为（θ∈），则圆C的圆心坐标为

．参考答案：（0，2）【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出圆的普通方程，然后求解圆的圆心坐标即可，【解答】解：圆C的参数方程为（θ∈），它的普通方程为：x2+（y﹣2）2=4，圆的圆心坐标为：（0，2）．故答案为：（0，2）．13.若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．3和2 C．4和2 D．2和0参考答案：C略14.三个数，按从小到大的顺序排列为_______。参考答案：略15.已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为

．参考答案：2或【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°，得双曲线的两条渐近线的斜率±或，由于不知双曲线的焦点位置，故通过讨论分别计算离心率，由或，再由双曲线中c2=a2+b2，求其离心率即可【解答】解：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x、y轴对称，若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°，150°，斜率为若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°，120°，斜率为①若双曲线的焦点在x轴上，则或∵c2=a2+b2∴或

∴或e2﹣1=3∴e=或e=2②若双曲线的焦点在y轴上，则或∵c2=a2+b2∴或

∴或e2﹣1=3∴e=或e=2综上所述，离心率为2或

故答案为2或【点评】本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键16.已知满足，则的最小值为_

__.参考答案：217.双曲线的焦距为_________.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn．【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，，整理得：，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因此，两式作差得：，（n∈N*）．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．19.（本小题满分8分）已知椭圆C：，左焦点，且离心率(Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆C交于不同的两点（不是左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求直线的方程．参考答案：见解析【知识点】椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知：

解得，

所以椭圆的方程为：;

（II）证明：由方程组，得，

，

整理得，

设，

则．

由已知，且椭圆的右顶点为，

，

，

即，

也即，

整理得：．

解得或均满足．

当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去；

当时，直线的方程为，符合题意．20.已知函数图像上的点处的切线方程为．（1）若函数在时有极值，求的表达式；（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

参考答案：f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1.(1)函数f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0解得a＝－2，b＝4，c＝－3所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.(2)因为函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，8分则，得b≥4，10分所以实数b的取值范围为[4＋∞)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处的切线斜率为－3，所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1.(1)函数f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0解得a＝－2，b＝4，c＝－3所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.(2)因为函数f(x)在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，8分则，得b≥4，10分所以实数b的取值范围为[4＋∞)

略21.平面内有9个点，其中有4个点共线，其它无任何三点共线；（1）过任意两点作直线，有多少条？（2）能确定多少条射线？（3）能确定多少个不同的圆？参考答案：【考点】D3：计数原理的应用．【分析】（1）对过其中两点作一直线中的两个点如何取进行分类讨论，一类两点全是共线中的4点，一类在共线中的4点任取一点，从4个共线之外的5个点，另一类共线中的4点不取，从4个共线之外的5个点选2个即可．（2）任取两点都有两点都有2条射线，问题得以解决，（3）分三类，从4个共线之外的5个点人选3个，从共线中的4点选1个，从共线中的4点选2个【解答】解：（1）：共线中的4点任取两点构成同一直线，1条；在共线中的4点任取1点，从4个共线之外的5个点选1个点，可构成4×5=20条；在共线中的4点不取，从4个共线之外的5个点人选2个点，可构成C52=10条；故一共1+20+10=31条．（2）任取两点都有两点都有2条射线，共有A92=72条，（3）从4个共线之外的5个点人选3个，故有C53=10个圆，从共线中的4点选1个，从4个共线之外的5个点人选2个，故有C41C52=40个，从共线中的4点选2个，从4个共线之外的5个点人选1个，故有C42C51=30个，故一共10+40+30=80个，22.在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足cos2A﹣3cos（B+C）=1．（