概率与数理统计习题课2

第二章随机变量及其分布

教学要求1.理解随机变量及其概率分布的概念。2.理解随机变量分布函数的概念，掌握分布函数的性质，会计算与随机变量有关的事件的概率。3.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握（0-1）分布，二项分布，几何分布，泊松分布及其应用。4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握密度函数的性质，掌握均匀分布，指数分布，正态分布及其应用。5.会求简单的随机变量函数的分布。例1.填空题：（1）同时抛掷三枚硬币，以X表示出现正面的个数，则X的概率分布为___（2）设（3）设X的概率分布为（4）设X0123P1/83/83/81/8（5）设X的概率密度为用Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则（6）设X的分布为X-4-1024P7/20a2a1/203/20则Y=3X-1-13-4-1511P7/203/206/201/203/20（6）设X的分布为12517P6/203/201/2010/20例2选择题：（1）下列函数中，哪个是X的分布函数（A）（B）（C）（D）（2）设X的分布律为（A）；（B）；（C）；

（3）已知X的分布函数为则常数k和b分别为（A）（B）（C）（D）（D）.（4）设X的概率分布为，则随着的增大，概率

（5）设

，概率密度为，则下列等式正确的是（A）单调增大；（B）单调减少；（C）增减性不定；

（D）保持不变。

（A）；（B）；（C）；

（D）

（6）设X的概率分布为

（A）N(1,4)（B）N(0,1)（C）N(1,1)（D）N(1,2)例3设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到（1）成功两次为止；（2）成功三次为止，分别求所需试验次数的概率分布。解：（1）设X表示直到成功两次为止的所需试验次数X的可能取值为2,3,4...（2）设Y

表示直到成功三次为止所需试验次数，则

Y

可能取值为3,4,5...

例4一批产品由9个正品3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取到正品为止，由X表示取到的次品个数，写出X的概率分布及分布函数。解：X所有可能取值为0,1,2,3.故X的分布律为：X0123P3/49/449/2201/220当当当当当例5设X的概率密度为解：

（1）由的性质，有求（1）系数k；（2）X的分布函数；（3）当，当，当（3）

例6设X的概率密度为解：

设Y的分布函数为；密度为求的概率密度。当当当故例7已知X的概率密度为且，求（1）常数a,b的值；（2）

解：

（1）由得到再由联立解得：（2）例8在电源电压不超过200V，在200V~240V之间和超过240V这三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，假设电源电压服从正态分布，求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200V~240V之间的概率。解：

设A表示“电子元件损坏”，分别表示“电压不超过200V”，“电压在200V~240V之间”和“电压超过240V

”。由（1）由全概率公式，得

（2）根据贝叶斯公式，有

例9公共汽车门的高度是按男子与车门顶不碰头的概率在0.01以下设计的。设男子身高，问车门高度为多少？解：设车门高度为h，按设计要求求：随机变量例10已知X的概率密度为解：当当两端同时对y求导，得

所以

例11设X在(0,1)服从均匀分布，求（1）（2）的概率密度