初中数学-平行四边形及特殊平行四边形有关定理的证明

初中数学第三讲平行四边形及特殊平行四边形1、平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形ABCD，记作：其中AB与DC、AD与BC是两组对边；AB与BC是邻边；∠A与∠C、∠B与∠D是两组对角；∠A与∠B是邻角。边、角、对角线是平行四边形的基本元素。（1）从边的关系去判定①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。②两组对边分别平行的四边形是平行四边形。③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（2）从角的关系去判定④两组对角分别相等的四边形是平行四边（注：邻角都互补的四边形是平行四边形。）（3）从对角线的关系去判定：⑤对角线相互平分的四边形是平行四边形。平行四边形的判定识别（1）从边的关系分析①平行四边形对边平行且相等。（2）从角的关系分析②平行四边形对角相等、邻角互补。（3）从对角线分析③平行四边形对角线互相平分。（4）从对称性分析④平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心。（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点旋转180°来构造平行四边形。）

平行四边形的性质特征2、矩形：有一个角是90°的平行四边形叫矩形。矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）有三个角是直角的四边形是矩形。（3）对角线相等的平行四边形是矩形。（4）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。矩形的性质定理：（1）矩形的四个角都是直角。（2）矩形的对角线相等且相互平分。（3）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。3、菱形：四条边都相等的四边形叫菱形。菱形的判定定理：①四条边都相等的四边形是菱形。②有一组邻边相等的平行四边形是菱形。③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。菱形的性质定理：①菱形四条边都相等。②菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。③菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。④菱形面积等于它的两条对角线的乘积的一半。4、正方形：四个角都是直角，四条边都相等的四边形。正方形的判定定理：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（2）对角线相互垂直的矩形是正方形。（3）有一个角是直角的菱形是正方形。（4）对角线相等的菱形是正方形。（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。注：证明四边形是正方形往往先证明它是矩形或菱形，然后再证明其是正方形，有时也从对角线关系出发直接证其是正方形。正方形的性质：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。（2）正方形的两对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角。（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形。（4）正方形的边长与对角线长的比为。性质特征边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分轴对称矩形对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称中心对称菱形对边平行四边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称中心对称正方形对边平行四边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称中心对称图形解读四边形内在联系1、利用平行四边形定义、性质来判定线段相等或平行；两角相等或互补。特殊四边形的性质特点的实战应用2、利用矩形特殊性质来判定90°的角。3、利用菱形、正方形特征判定线段相等；线段相互垂直平分等。4、利用性质来进行有关线段、角和面积的计算。

例1：如图所示，平行四边形ABCD中，点E、F

在对角线AC上，且AE=CF。求证：四边形BEDF是平行四边形。证明：连结BD，交AC于点O。

在平行四边形ABCD中则∴四边形BFDE为平行四边形。方法较多时，尽量考虑简单办法。例2:分别以平行四边形ABCD的邻边AB和AD为一边，在平行四边形ABCD外作正三角形ABF和正三角形ADE，连结CE、EF、CF得△CEF，试判断△CEF的形状，并证明你的结论。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∵△ADE、△ABF为正三角形CECF等边例3:如图所示，延长矩形的边CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，求证：。

证明：连接CF，∵四边形ABCD是矩形∵F是AE的中点在△ADF和△BCF中例4:如图所示，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且，求证：EF=BE+DF。12证明：将△ADF旋转至△ABG，则例5:如图所示，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求:△BED的面积。Ｆ１２３解：在矩形ABCD中，AD//BC，因：矩形ABCD沿直线BD折叠后，△BC’D与△BCD关于直线BD对称１２３xxＦ1、熟知平行四边