概率论与数理统计第19讲

7.4正态总体统计量的分布1经常关心统计量的分布，主要是关心作为连续型随机变量的统计量的分布，也就是概率密度，知道了分布，就可以计算统计量落在给定的区域的概率，可以进行进一步的研究。就本书的范围而言，我们重点研究正态总体X~N(m,s2)的样本的统计量的分布。

2下面都假设X1,X2,…,Xn是取自正态总体X~N(m,s2)的样本。而研究的方向，是试图将这n个相互独立的随机变量进行一些运算，来得到服从标准正态分布，c2分布，t分布，F分布的随机变量，则可作为进一步推导的基础。

3首先是要对样本进行各种线性组合。设有不全为0的n个数k1,k2,…,kn分别乘上各个样本相加得到一个新的随机变量Y,

Y=k1X1+k2X2+…+knXn

则Y被称为X1,X2,…,Xn的一个线性组合，也服从正态分布，而且其数学期望和方差都可以由总体的均值和方差算出来。因此，Y也就可以进一步做标准化的运算而得到Y*~N(0,1)。其中的n个数k1,k2,…,kn也称之为线性组合的组合系数。4例如，样本均值X就是样本的一个线性组合，

其组合系数k1=k2=…=kn=1/n。因此可以知道

，将其标准化可得

5因为所有的样本都相互独立且服从N(m,s2),因此也都可以标准化成为标准正态分布的随机变量，也就是说，令

6而大家知道n个自由度的c2分布的随机变量可由n个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和得到，因此由式(7.28)可知

7根据式(7.14)，上式还可以用总体偏差平方和写成

8但是这种情况比较少用到，是因为实际应用中，总体的期望m经常是不知道的，在这种情况下出于无奈，就将式中的m换成样本均值

X，从而要研究如式(7.17)所示的样本偏差平方和W。

将W的表示式中的n个平方项在平方之前的随机变量记为

9则虽然每一个Yi都是样本的线性组合，服从正态分布，易知E(Yi)=0,(i=1,2,…,n)，但是Y1,Y2,…,Yn并不相互独立，因此

也就无法变换成n个自由度的c2分布的随机变量。

10以样本容量n=3为例

X=(X1+X2+X3)/3

则

易证Y1,Y2,Y3不独立。11但是后来统计学家们经过艰苦努力有了一个令人惊喜的发现，就是用Y1,Y2,…,Yn线性组合出n-1个正态分布的随机变量Z2,Z3,…,Zn，

Zm=km1Y1+km2Y2+…+kmnYn (m=2,…,n)(7.32)

则只要恰当地选择上式中的各个组合系数kij,(i=2,3,…,n,j=1,2,…,n),居然就可以得使得Z2,Z3,…,Zn互不相关，也就是相互独立，而且有Zi~N(0,s2),而且还恰好有也就是说，样本偏差平方和永远都可以看作是n-1个相互独立的服从N(0,s2)的随机变量的平方和！而上面还故意留出了一个Z1没有提，统计学家们还证明了，如果令Z1=X，则Z1和Z2,Z3,…,Zn也相互独立！这些结论的证明因为要用到大量的线性代数知识，所以本书不证。但是上面的叙述可以描述为如下的定理。13定理7.1设X1,X2,…,Xn是取自总体X~N(m,s2)的样本，则样本偏差平方和W与样本均值X相互独立，且有

而大多数统计学教材通常不提样本偏差平方和，而用(n-1)S2来表示它，因此上述定理也最经常地描述为样本方差S2与样本均值X相互独立，且有

14而现代统计学经常就是以式(7.35)为基础炮制或者拼凑出各种分布的统计量。

15例如，可以将n个样本X1,X2,…,Xn分成前n1个和后n2个两部分，其中n1+n2=n，即为第一部分，也可称为样本1，而为第二部分，也可称为样本2，这样样本1和样本2都可以统计出自己的样本均值和样本方差，分别记为 和，则根据式(7.35)就有16而样本1和样本2当然是相互独立的，因此上面两个服从c2分布的随机变量也相互独立，则相加仍然服从c2分布，其自由度也是两个随机变量的自由度相加，即

这就又炮制出了一个自由度为n1+n2-2个自由度的c2分布的随机变量。17这是指的c2分布的随机变量相加。也可以考虑相除，因为服从F分布的随机变量有结构

，其中U,V是相互独立的服从c2分布的

随机变量，且U的自由度是n1,V的自由度是n2。

18因此利用这个F分布的构成，利用式(7.36)的两个相互独立的服从c2分布的随机变量，各自都除以自己的自由度后再相除，就可以得出结论19再例如，我们知道服从自由度为n的t分布的

随机变量具有的结构，即只要寻找

到一个服从标准正态分布的随机变量放在分子上，再找一个服从自由度为n的c2分布的随机变量除以自己的自由度再开平方后放在分母上，就可以得到一个自由度为n的服从t分布的随机变量。20因此我们可以将式(7.27)中的随机变量

放在分子上，再将式(7.35)的随

机变量除以自由度n-1再开平方即

放在分母上，就得

也就是说，你只要将式(7.27)左边的分母上的总体的标准差s换成样本标准差S，就得到服从n-1个自由度的t分布。22关于凑出t分布的随机变量还有一种流行的办法，就是将上面的分成n1和n2两个样本的情况，需要分别计算两个样本的样本均值

,而也服从正态分布，均值是

0，方差却是，因此

23这样又可以为了拼凑服从t分布的随机变量而将它放在分子上，而分母上就放由式(7.37)表示的n1+n2-2个自由度的服从c2分布的随机变量除以n1+n2-2再开平方就行。具体式子这里就不写了。24总之就是以式(7.35)为核心，使得统计学家们能够兴高采烈地炮制出各种各样的服从t分布，c2分布，F分布的随机变量。例如更为复杂的就是将样本分成m个子样本，m>2,那会搞出更加复杂的一系列统计量的。

25而现在再考虑一下，在经历了这些推导过程后，如果原来的正态总体突然变成不是正态总体，而是均值和方差都存在的任何随机变量，甚至离散型随机变量这样的总体，导致所有的样本也都是同样的非正态分布的随机变量的时候，情况将是怎样的呢？

26

Zm=km1Y1+km2Y2+…+kmnYn (m=2,…,n)(7.32)

那就又要看为了推导出式(7.35)的第一步就是式(7.32)，要推导出Z2,Z3,…,Zn因为选取了适当的组合系数而变得不相关，但是要知道线性组合其实都是一些随机变量相加啊！而且这些被相加的随机变量的方差不太大也不太小，27

Zm=km1Y1+km2Y2+…+kmnYn (m=2,…,n)(7.32)

因此虽然Z2,Z3,…,Zn最终看都是样本X1,X2,…,Xn的线性组合且X1,X2,…,Xn也都不服从正态分布了，甚至是离散型随机变量，但是由于中心极限定理的作用Z2,Z3,…,Zn都将近似地服从正态分布，而且最后也是样本的线性组合因此也近似服从正态分布了！这么一来它们相互之间的不相关就近似是相互独立了！于是后续的一切结果也就都成立，28也就是说，当总体为正态变量推导出来的服从一定自由度的c2分布t分布F分布的统计量，在总体变为非正态变量时，仍然能够近似地还是服从同样的相应的自由度的c2分布t分布F分布的随机变量！这样本节的这些推导办法就似乎是有万能的作用了，是可以用在任意分布的随机变量的总体上了。当然，一个前提就是样本容量必须足够地多。但是话又说回来，如果样本容量太少了，则携带的关于总体的信息量本来就不多，则本来就不会产生出什么好的效果的。297.5高概率区和低概率区30对于一给定的随机变量X，设其概率密度函数为f(x)，则一般而言，如果X不是服从均匀分布以至于f(x)在一段区间或者区域内都是一样的情况，通常f(x)总是在某一些区间的取值较大，某一些区间取值较小。

f(x)xO31例如，假设X~N(0,1)，对X做一次试验得到一个试验结果数a，将这个数代入到标准正态分布的概率密度函数中，如果这个数是较为靠近0的数，例如，0.23，1.12等等，则试验结果就落在概率密度函数的函数值较大的区域，我们会认为试验结果正常。而如果这个数很大或者很小，比如说，是3.45，或-5.5，等等，将这样的数代入到概率密度函数中将得到很小的值，我们会认为试验结果不太正常。

3233因此产生出这样一个概念，就是根据概率密度函数来将X取值的区间(如果X是一元随机变量)或区域(如果X是多元随机变量)分为两部分，一部分是概率密度函数取值较大的部分，称之为高概率区，另一部分是概率密度函数取值较小的部分，称之为低概率区。

而之所以没有写成严格的数学定义形式，是因为概率密度函数值的高低是相对的，例如，方差较小的概率密度函数值有可能较大，而方差较大的概率密度函数值有可能较小。

但是这个想法是我们的出发点。

35尤其是，对于上一节讨论过的服从正态分布t分布c2分布F分布这四大分布的概率密度函数，都有一个共性，就是它们都是单峰的，就是说概率密度函数都是有一个最高峰，向两边都是单调下降的，因此都是高概率区在中间，低概率区是在两边的。

36因此需要人为地规定一个低概率的数值，通常取值定为0.1,0.05,0.025,0.01,0.0001等非常低的概率值，在数理统计学中统一将这个数值用a表示，是希腊字母，通常念为阿尔法，这个低概率数值被称作显著性因子。

37通常还要将这个显著性因子分为两部分，就是高端的低概率值和低端的低概率值，一种较为常用的办法就是一边一半，高端的低概率值和低端的低概率值都是a/2，这被称为对称的高概率区划分法，是最常用的。当然也还有根据需要的其他划分法。

因此相对应于低概率的显著性因子a，相当于高概率的概率值1-a也有一个通用的术语，叫置信概率。

38上一节介绍了，在获得总体的样本之后，统计学家们可以根据需要拼凑出服从标准正态分布，t分布，c2分布，F分布的统计量，而这些统计量及相应的观测值，也都有一些标准的记号。

39如果一个统计量服从标准正态分布，则将它记为大写字母U，而它的观测值，则记为小写字母u。而标准正态分布的上a分位点，记作ua，前面已经讲到过就是P{U>ua}=a。因此，按对称的高概率区划分法，也考虑到标准正态分布的对称性，不难得出，显著性因子为a的高概率区是

，当然，它也可以称为置信概率为1-a的高概率区。40aua/2-ua/241将服从t分布的统计量记作T,它的观测值记为t，n个自由度的t分布的上a分位点记作ta(n),则按对称的高概率区划分法，同样考虑到t分布的对称性，显著性因子为a的高概率区是

将服从c2分布的统计量还记作c2，甚至对应的观测值也记作c2,而n个自由度的c2分布的上a分位点记作，因此这里注意到记号的不要混淆，就是说，如果看到记号c2后面跟着分布二字，或者跟着一个圆括号里有自由度，这就代表c2分布，而孤零零的一个c2记号代表统计量或者统计量的观测值，究竟是观测量还是观测值要根据叙述的上下文来定，而c2记号加一个下标a，后面又跟着一个圆括号里面是自由度，这代表相应自由度的c2分布的上a分位点。43将服从c2分布的统计量还记作c2，甚至对应的观测值也记作c2,而n个自由度的c2分布的上a分位点记作，用这样的记号，根据对称的高概率区划分法，自由度为n，显著性因子为a的高概率区是44对于服从F分布的统计量记作F,F的观测值为f，第1,2自由度为n1,n2的F分布的上a分位点记作fa(n1,n2)。则根据对称的高概率区划分法，两个自由度为n1,n2,显著性因子为a的高概率区是

45练习：

已知X1,X2,X3相互独立且服从标准正态分布,则

服从什么分布?练习：

已知X1