量子力学-21一维势场中粒子能量本征态的一般性质

第2章一维势场中的粒子引言

本章主要是用Schrödinger方程来处理一维粒子的能量本征态问题.

下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的特点.

设质量为m的粒子在一维势场中(考虑定态的情况下)的能量本征方程为在上式中，（1）为能量本征值.为相应的能量本征态.2.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质(实数值)

在求解能量本征方程(1)时，要根据具体物理问题的边条件来定解．如束缚态条件,散射态的边条件等.

为此先讨论其一般解有关的七条基本性质．其中前4条,不仅对一维问题成立,对于三维问题也同样适用.

下面先对该方程的解的一般性质进行讨论．定理1也是方程(1)的一个解,对应的能量也是,则设也是方程(1)的一个解,对应的能量也是对应的能量本征值为是能量本征方程(1)的一个解,设也是方程(1)的一个解,对应的能量也是,则

假设对应于能量的某个本征值,方程(1)解无简并,(即只有一个独立的解),则可取为实解(除了一个无关紧要的常数因子之外).对应于能量的某个本征值,总可以找到方程(1)的一组实解,凡是属于的任何解,均可表示为这一组实解的线性叠加.定理2

对于能级有简并的情况,要用到此定理.定理3定义空间反射算符

即把空间坐标

设具有空间反射不变性，如是方程（1）的对应于能量本征值的解，则也是方程（1）的对应于能量的解.对于一维粒子,则为

偶宇称解(evenparity)

奇宇称解(oddparity)

一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。

如果对应于某能量方程(1)的解无简并,则解必有确定的宇称(parity).

对于能级有简并的情况，能量本征态并不一定就具有确定宇称.此时，可以用定理（4）来处理定理4适用范围

设则对应于任何一个能量本征值总可以找到方程(1)的一组解(每个解都有确定的宇称),而属于能量本征值的任何解，都可用它们来展开.

在坐标表象中,涉及波函数及其各阶导数的连续性问题,应从能量本征方程(1)出发,根据的性质进行讨论.

如是的连续函数,则与必为的连续函数.

但是如不连续,或有某种奇异性,则及其各阶导数的连续性问题需要具体分析.对于阶梯形方位势（2）对于一维有限深方势阱，这个定理明显成立.定理5

能量本征函数及其导数必定是连续的(但如，则定理不成立).（3）定理6注意

对于束缚态(boundstate),

当时,所以式(3)中常数必为0.结论

因此,对于同属于能量的任何两个束缚态波函数与

对于一维粒子，设与均为方程（1）的属于同一能量的解，则定理7!

设粒子在规则（regular）势场(无奇点)中运动，如存在束缚态，则必定不简并的.

对于常见的不规则势阱(如无限深势阱,势阱等),在绝大多数情况下上述定理也成立.

但对于某些不规则势阱,如一维氢原子除基态外,其他束缚态均为二重简并.

其特征是波函数的节点出现在的奇异点处,两个简并态具有不同宇称.先考虑一个理想的情况——无限深方势阱中的粒子.在阱内

能量本征方程为势阱表示为为粒子质量,

2.2方势阱2.2.1无限深方势阱,离散谱注意与是待定常数.而按照边条件,得即给出的波函数,无物理意义,而取负值与取正值所给出的波函数描述的是同一个量子态.n0=n则方程(2)的解可表示为按边条件则要求

联合式(5)和(3)结论

一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，即构成的能谱是离散的．

称为体系的能量本征值.与En

对应的波函数记为称为能量本征函数，利用归一化条件则归一化的波函数表示为

,取为实数.设

为阱宽,为势阱高度,以下讨论束缚态情况.在阱外(,经典禁区),能量本征方程为2.2.2有限深对称方势阱则方程的解具有如下指数函数形式

但考虑到束缚条件（要求处），波函数应取如下形式这正是2.21无限方势阱的边条件的根据常数和待定.当（无限深势阱）即,则当上式.在阱内(,经典允许区),能量本征方程为(a)偶宇称态引入无量纲参数令

则方程的解可表为如下振荡函数形式:根据和(14)式,有得到(b)奇宇称态对于超越方程组(15),可用数值计算求解或用图解法近似求解.利用的连续条件可求出与偶宇称态类似,引进无量纲参数,则上式化为时,才可能出现最低的奇宇称能级.即奇宇称态与偶宇称态不同,只当从而能确定能量本征值.2.2.3束缚态与离散态束缚能量本征态

的能量是离散的,按照能量本征方程在经典允许区

波函数是的振荡函数

而且在愈大的地方,振荡愈快.此外,由于与的正负号相反,

总是向轴弯曲.

区域,曲线向下弯;区域,曲线向上弯.结论与此不同,在经典的禁区波函数是的指数上升或下降的函数无振荡现象.由于与的正负号相同,总是背离轴弯曲，即在

区域,

曲线向上弯曲;在

区域

曲线向下弯曲.根据上述特点,可以定性讨论粒子能量的可能取值(即本征值)以及波函数的节点数.()xyy2.2.4方势垒的反射与透射设具有一定能量的粒子沿轴正方向射向方势垒从量子力学观点来看，考虑到粒子的波动性,此问题与波碰到一层厚度为的介质相似,即有一部分波透过,一部分波被反弹回去.先考虑情况.在势垒外(,经典允许区),能量的本征方程表示为由于势垒的存在,在区域中,既有入射波

,

也有反射波

,而在区域中只有透射波所以所以式中和分别表示反射波与透射波,相应的反射流密度和透射流密度分别为所以反射系数=

投射系数=其可取为通解在势垒内部(,经典禁区),其能量本征方程为按式在点的连续性条件导致上两式相加减,分别得消去R

解出类似,在点的连续性条件导致因此,为透射系数类似,消去S,可得出R,而反射系数为透射系数表示粒子被势垒反弹回去的概率,表示粒子透过势垒的概率.可以看出粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象,成为隧穿效应.对于情况,从式可以看出,只需在式中,把利用式,可改写成此时对于方势阱的透射,上述理论仍然适用,透射系数T仍由式给出,但应把,即2.2.5方势阱的反射,透射与共振由式可以看出，如果，则一般来说T值很小，除非入射粒子能量E合适，使此时，T=1（反射系数），这现象称为共振透射.它出现的条件是或改写成由式可求出共振时的能量共振能级如粒子能量很小，按2.2.2节的讨论，是可能形成束缚态的.这相当于式中量子数较小的情况.如较大，使则不能形成束缚态.但如能量合适，满足式，则将出现共振透射.式所确定的称为其中,常数不含时Schrödinger方程表示为

设有质量为m的粒子（能量E>0）从左入射，碰到势垒2.3δ势2.3.1δ势的穿透x=0

是方程的奇点，在该点不存在，表现为在x=0

点不连续.

所以在x=0

点一般是不连续的,除非对方程积分，可得（3）式称为势中的跃变条件.

解仍为但边条件有所不同，根据x=0

点连续以及跃变条件有在处方程化为()6消去R，得而由于入射波的波幅已取为1，所以透射系数反射系数(b)

势的特征长度为，特征能量为.透射系数只依赖于，即特征能量与入射粒子能量之比.当时,即高能极限下粒子将完全穿透势垒.(a)如势垒换为势阱，透射及反射系数的值不变，仍如式和所示.

讨论：（c）可以看出显然在x=0点,不连续，但粒子流密度却是连续的，可见：从能流密度的连续性并不能得出的连续性.考虑粒子在势阱

时，能量本征方程为积分，可得出的跃变条件2.3.2势阱中的束缚态方程的解的形式为,考虑到，要求束缚能量本征态（不简并）具有确定宇称.以下分别讨论在区域，方程化为考虑到束缚态条件，偶宇称态波函数应表示为按式，可得粒子的能量本征值偶宇称态为归一化常数.按跃变条件，可得由归一化条件在区域中的概率为

：波函数应表示为奇宇称态

势阱对奇宇称态没有影响，因而不可能形成束缚态.连续条件

由波函数的（x=0

点），可得出A=0，所以不可能存在奇宇称束缚能量本征态.从物理上考虑:

奇宇称函数在x=0点必为0

,而势又恰好只在x=0

点起作用.所以

事实上，所有涉及势的问题,原则上均可以从方势情况下的解取极限而得以解决.2.3.3

势与方势的关系，波函数微商的跃变条件

势可以看成方势的一种极限情况.

但直接用势来求解,往往要简捷