【新教材教案】9.2.3 总体集中趋势的估计 教学设计-人教A版高中数学必修第二册

9.2.3总体集中趋势估计本节《普通高中课程标准数学教科-必修二（人教A版第九章9.2.3总集中趋势的估计》，本节课通过对反映样本数据集中趋势量；平均数、众数、中位数的回顾，进一步学习在频率分布方图中对三个量的算法，同时加深对它们的理解和应用。进一步体会用样本估计总体的思想与方法。从发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课目

学素

结合实例，能用样本估计总体的集中趋数学建模在体情境中运用众数中数平均数势参数众、中位数、平均)．

2.逻辑推理：运用众数、中位数平均数进行判断B.会样本数据的众数、中位数、平均数．3.数学运算：计算众、中位数、平均数C.理集中趋势参数的统计含.数分析：众数、中数、平均数的含义1.教学重点：会求样本数据的众、中位数、平均数．2.教学难点：理解集中趋势参数统计含.多媒体教学过程一、温故知新、定:般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少(100-p)%的数据大于或等于这个.、计算一组n个数据的第p百位数的步:第1步，按从小到大排列原始数.

教学设计意图核心素养目标

nn第2步，计算i=p第3步，若i不整数，而大于i的邻整数为j则分位数为第j项数据；若i是数，则第p百位数为第i项与(i项数据的平均、根据频率分布直方图（频率分布表）计算样本数据的百分位数：首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算估计百分位

由回顾知识出数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．发提出问题，让学（①唯一②不一定是本数据中的个数）平均数：一般地，如果有个数,,,...x，2

生感受到对反映样本数字集中趋势量；那么=

x...n

n

叫这个数的平均数.

平均数、众数、中位众数：一组数据中，出次最的数.

数学习的重要性。发中位数一组数据按大小依次列处在最中间位的一个数据展学生数学抽象、直（或最间两个数据的平均数）平数：一般地，果有n数,,,...，2

观想象和逻辑推理的核心素养。那么x=

n

n

叫这n数的平均数.1术均数=

xxn=xni

i2）如n(n)个x,...,其中x数f,1kii1则x(fxf11

xf)kk

ki1

fii出现率则xii12

k

i

ii做一做1．判断下列说法是否正确(确的打√，误的打×”)(1)改变一组数据中的一个则些平数一定会改变．()(2)改变组数据中的一个数，则其中位数也一定会改变)(3)在频分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标)

;;×、求下列各组数据的众数（1）、1，2，，33，5，5，8，8，9众是：3和8（2）、1，2，，33，5，5，8，9众是：、求下列各组数据的中位数（1）、1，2，，33，4，6，8，8，9中数是：5（2）1，，3，，3，，88，，9位数是在一次学生田径运动会上，参加男子跳高的名动员的成绩如下表所示：成绩(米)人数

．50

．60

．65

．70

1

．80分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数。解：在个据中，1.75出了，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个据是中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70答：名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75米）、（）（米）。这数据的平均数是

1.901.69二、探究新知为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律时可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征如于某县今年小麦的收成情况可会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产量而是产量的分布对一国家国民的身高情况们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等.在初中的学习中我们已经了解到平均数、中位数和众等都是刻画中心位的量，它们从不同角刻了一组数据的集中趋势。

通过具体问题，让学生感受反映样本数字集中趋势量；平均数、众数、中位

下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义们之数学习解决实际问间的联与区别，并根据样本的中趋势估计总体的集中趋

题中的运用，发展学例

利用下表中户居民用户的月用水量的调查数据，计算生数学抽象、逻辑推样本数据的平均数和中位数此估计全市居民用户月均用水量的理核心素养。平均数和中位数.9.013.614.95.97.16.45.42.08.65.44.96.82.010.55.116.86.011.11.34.92.310.012.47.85.22.422.43.67.13.218.35.13.012.022.25.52.09.93.65.64.47.95.124.57.54.720.55.55.75.56.02.43.73.84.12.35.37.88.14.36.81.37.04.91.87.128.013.85.54.63.2该市某个区有

2000户，你能估计该小的月用水量吗？8.79t所以估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t其中位数约为跟踪练习1.小明用统计软件计算了居民用水量的平均数和中

位数，但在录入数据不小心把一个数据7.7录成了77.请算录入数据的平均数和中位数.y

10077

9.483t,中位数有变，是

6.6t思考:并与真实的样本平均和中位数作比较。哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？平均数由原来的变9.483t,中数没有变化这因为样本均数与每一个样本数据有,本中的任何一个数据的改变会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个并未利用其他数据不任一个样本数据的改变都会引起中位数的改变因此与中位数较平均数反映出样本数据中的更多信,样本中的极端值更加敏感.中位数和均数的大小数据分布态的关系平均数和中位数都描述了数据的集中趋势的小关系和数据分布的形态有关在下图的三种频率分布直方图形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？

通过实例分析，让学生掌握反映样本数字集中趋势量；平均数、众数、中位数的计算方法，并熟悉的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心（1）峰，直方图状对称：均数（2）右边拖”：平均>位（3）左边拖”：平均<位

中位

素养。结：中数比平数是“长尾”那边例某学校要定制高一年级的校服根厂家提供的参考身高选择校服规格统计一年级生需要不同规格校服的频数如下表所示，校服

165170

合计

规格频数

16726如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格在中位数均和数中个比较合适？试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理分析虽然校服规格是用数字表的它们事实上是几种不同的类别，对于这样的分类数据，用众数作为这组数据的代表比较合.解了直观地观察数据的特们条形图来表示表中的数据（下图可以发现，选择校服规格数高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合.由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合众数：①现数多②个多个，0个；③只能传数据中信息很少一部，对极端值敏感；④赖分，定差⑤适用于分类型数集中趋的估计.（校规，别质等等对值型数据集中趋势的述：平均数（用量身，入产等

中位数.

众数、中位数和平均数的比较名称平均数中位数众数

优点与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感不受少数几个极端数据即序靠前或靠后的数据的响体现了样本数据的最大集中点

缺点任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大对极端值不敏感众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感探究:样本的平均数、中位和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据，例如我们在报纸网络上获得往往是已经整理好的统计表或统计图，这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？在频率分布直方图中失了大的原始数据知分组和每组的频率我们无法知道每个组内的据是如何分布的时常假设它们在组内均匀分布样可获得样本的平均数位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众你能以下图居民用水的频率分布直方图提供的信息样本的

平均数、中位数和众数?因为样平均数可以表示为数据它的频率的乘积之在频率分布直方图中平数可以每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之近似代如图所示，可以测出中每个小矩形的高度，于是平均数的近似值为这个结果与根据原始数据计算的样本平均数相不大4.27.2x0.322

28.2

根据中位数的意义，在样本中，的个体小于或等于中位数也的个体大于或等于中位数因在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等这个结果与根据原始数据求得的中位数相不.中数:百位由于

因此中位数落在区间[内.设中位数为x,由0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5得x≈6.71.因此，中位数约为如图所法:0.50.23

中为在频率分布直方图中，月均用水量在区[内的居民最多，可以将这个区间的中点作为众数的估计值如所示众常用在描述分类型数据中，在这个实际问题中，众“5.7让们知道月均用水量在区间[4.2,7.2)的居民用户最多，这个信息具有实际意义。平均数：率分布直方图中个小矩面积乘以各个矩形底边中点的坐标的中数把率布方分面相的右部

众数：最矩形的底边点的横坐

在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时假它们在组内均匀就以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众频分直方图损失了一样本数据得到的是一个估值且所得估值与数分组有关有随机性跟踪训练

1.高中师从一学的数成绩随机40名学生成绩成六90,100得如图示的分布方图（1）求率分直方中实的值（2）估学生成绩众数位数平均(2)众数75.设位数为x由于前三个矩形面积之和为，第四个矩形面积为0.3,0.35＋，此中位数位于第四个形内，得0.3+0.03(－70)=0.5，所以.2.某校从参加高二年级学业水平试的学生中抽出80名学生，其数学成绩均整的率分布方图如图所示．(1)求这测试数学成绩的众数；(2)求这测试数学成绩的中位数(3)求这测试数学成绩的平均数．解1）由知数

75

(2)设中位数为，由图知前三个矩形面积之和为，第四个矩形面积为0.30.3＋，此中位数位于第四个矩形内得－70)=0.5，所以x40＋50＋解由干图知这次数学成绩的平数为：＋22×0.015×10＋

60＋70＋80＋90100＋×0.025×10222＝（4）若例3条不变，求80分下的学生人数．分的频率为(0.005＋0.015＋＋＝0.7，所以80分下的学生人数为80×0.756.三、达标检测已知某2019年年空气质量等级如下表所示

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。根据表中的数据，估计该市2019年年空气质量指数的平均数、中

位数和第百位(注已知该市属于“严污”级的空气质量指数不超过某工厂人员及工资构成如下：人

经理

管理人

高级技

工人

学徒

合计员日

员

工200工资人数合计

611006900（1）指出这个问题中日工资的众数、位数、平均数（2）这个问题中，工资的平均数能客地反映该厂的工资水平吗？为什么？分析：数为，中位数为220，平均数为300因平均数为300，表格中所列出的数据可见有经理在平均数以上余人都在平均数以下用平均数不能客观真实地反映该工

厂的工资水平。利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大位数是样本数据所占频率的等分线受个极端值的影响只能体现数据的大集中点客观反映总体特征．(2)当平数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．3.某校从参加高二年级学业水平试的学生中抽出80名学生，其数学成绩均整的率分布方图如图所示．(1)求这测试数学成绩的众数；(2)求这测试数学成绩的中位数；(3)求这测试数学成绩的平均分．70＋解析:由图知众数为75.2(2)由图，设中位数为，由于前三个矩形面积之和为，四个矩形面积为0.3,0.3＋