平面解析几何知识点归纳,推荐文档

平面解析几何知识点归纳♦知识点归纳直线与方程直线的倾斜角规定：当直线l与X轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围：直线的倾斜角a的取值范围为［0,兀), 兀2.斜率：k=tana(a丰),keR2斜率公式：经过两点P(x,y),P(x,y)(x。x)的直线的斜率公式为k =^一匕111 222 1 2 PP,x-X2 13.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk是斜率b是纵截距与X轴不垂直的直线点斜式y-y0=k(x-X0)(X0,y0)是直线上的已知点两点式y-y1=x-%y-yx-x2 12 1(x。x,y。y)1 2 1 2(x1,y1),(X2,y2)是直线上的两个已知点与两坐标轴均不垂直的直线截距式Xy1一+乙=1aba是直线的横截距b是直线的纵截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2。0)当B=0时，直线的横截距为-a当B丰0时，-—，—匚■,-;分别为直线BAB的斜率、横截距，纵截距所有直线能力提升斜率应用例1.已知函数f(X)=log(X+1)且a>b>c>0,则』竺,华)，企)的大小关系2 abc

~一…一一、v+3一一设两直线的万程分别为：/i.、,— b或/i・a1y+bv^(i-0；当k。k或AB。设两直线的万程分别为：/i.、,— b或/i・a1y+bv^(i-0；当k。k或AB。AB时匕们l:v一kX+bl:AX+BV+C一0 1 2 12 21fv=kx+b(Ax+Bv+C=0相父，父八、、坐标为万程组1v=kx+b或[A1x+By+C=0L2 2侦2 2 2直线间的夹角：①若0为I到I的角，tan。-或tan。-%]A2B1；

1 2 1+kk AA+BB ^-1 1—2 1—2-位置关系:v=kx+b:v=kx+bl:Ax+Bv+C=0l2:A2x+B2v+C=0平行=k=k，且b。bABC了=B'M(A1B2-A2B1=0)2 2 2重合=k=k，且b=bABC~k~~B^~C相交=k。kAB芍B垂直=k1-k2=—1A】A2+B]B2=0两直线位置关系两条直线的位置关系l:v=kx+brl:Ax+Bv+C=0或tan0=AB或tan0=AB—AB

—1―2 2—1AA+BB

—1_2 1_2②若。为〈和12的夹角，则tan0=1+kk ^-1a=0(0弓)③当1+kk=0或AA+BB=0时，0=90。；直线l至Ijl的角0a=0(0弓)12 12 12 1 2 1 2或a=n-0(0>距离问题平面上两点间的距离公式P(x,y),P(x,y)贝\PP|=((x-x)+(y—y)1 1 1 2 2 2 112 2 1 2 1点到直线距离公式点P(x,y)到直线l:Ax+By+C=0的距离为：d="丁B0+C-00 、A2+B2两平行线间的距离公式已知两条平行线直线l1和12的一般式方程为l1:Ax+By+q=0，:Ax+By+C=0，则l与l的距离为d二£—C2=2 1 2 M2+B2直线系方程:若两条直线l:Ax+By+C=0，l:Ax+By+C=0有交点，则过l与l交点的TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 2 2 2 2 1 2直线系方程为(Ax+By+C)+人(Ax+By+C)=0或1 1 1 2 2 2(Ax+By+C)+人(Ax+By+C)=0(入为常数)2 2 2 1 1 1对称问题，x=?1.中点坐标公式：已知点A(x,y),B(x,y)，则A,B中点H(x,y)的坐标公式为<1122 Iy=中点P(x,y)关于A(a,b)的对称点为Q(2a—x,2b—y)，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问0 0 0 0题。2.轴对称：点P(a,b) 关于直线Ax+By+c=0(B丰0)的对称点为P'(m,n)，则有'n-bx(―A)_—1<m-aB7 ，直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。4a+m「b+n厂八A +B +C_0〔2 2中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a,b)关于C(c,d)的对称点Qc-a,2d-b)直线关于点的对称:I、 在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；II、 求出一个对称点，在利用11//12由点斜式得出直线方程；III、 利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线11：2x+3y-6=0关于点P(1,-1)对称的直线12的方程。点关于直线对称：I、 点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。II、 求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点A(—3,5)关于直线1:3x-4y+4=0对称的坐标。直线关于直线对称：(设a,b关于1对称)I、 若a,b相交，则a到1的角等于b到1的角；若a//1，则b//1，且a,b与1的距离相等。II、 求出a上两个点A,B关于1的对称点，在由两点式求出直线的方程。I、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点，则P关于1的对称点P'的坐标适合a的方程。如：求直线a:2x+y-4=0关于1:3x+4y-1=0对称的直线b的方程。能力提升例1.点P(2,1)到直线mx-y-3=0(meR)的最大距离为例2.已知点A(3,1)，在直线y=x和y=0上各找一点M和N，使AAMN的周长最短，并求出周长。线性规划问题：设点P(x0,y0)和直线1:Ax+By+C=0，①若点P在直线1上，则Ax0+By0+C=0；②若点P在直线1的上方，则B(Ax0+By。+C)>0；③若点P在直线1的下方，则B(Ax0+By0+C)<0；二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(<0)，

当B>0时，则Ax+By+C>0表示直线l:Ax+By+C=0上方的区域:Ax+By+C<0表示直线l:Ax+By+C=0下方的区域:当B<0时，则Ax+By+C>0表示直线l:Ax+By+C=0下方的区域:Ax+By+C<0表示直线l:Ax+By+C=0上方的区域:注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax+By+C中，根据>0或V0来表示二元一次不等式表示平面区域。线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：①当B>0时，将直线Ax+By=0向上平移，则z=Ax+By的值越来越大:直线Ax+By=0向下平移，则z=Ax+By的值越来越小:②当BV0时，将直线Ax+By=0向上平移，贝Uz=Ax+By的值越来越小:直线Ax+By=0向下平移，则z=Ax+By的值越来越大:如：在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则。为:(1)设点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，①若点p在直线1上，则弋+叫+C=0:②若点p在直线1的上方，则B(Ax0+By0+C)>0:若点P在直线1的下方，则外丁叫+C)V0:(2)二元一次不等式表示平面区域:对于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(V0)，①当B>0时，则Ax+By+C>0表示直线l:Ax+By+C=0上方的区域:Ax+By+CV0表示直线l:Ax+By+C=0下方的区域:②当BV0时，则Ax+By+C>0表示直线l:Ax+By+C=0下方的区域:

Ax+By+C<0表示直线l:Ax+By+C=0上方的区域;注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax+By+C中，根据>0或<0来表示二元一次不等式表示平面区域。(3)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：①当B>0时，将直线Ax+By=0向上平移，则z=Ax+By的值越来越大;直线Ax+By=0向下平移，则Uz=Ax+By的值越来越小;②当B<0时，将直线Ax+By=0向上平移，则z=Ax+By的值越来越小;直线Ax+By=0向下平移，则z=Ax+By的值越来越大;目标函数如：在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则。为;目标函数圆与方程2.1圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2圆心C(a,b)，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2.2.2点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上=d=r;(2)点在圆外=d>r;(3)点在圆内=d〈r.2.给定点M(x0,y0)及圆C:(x一a)2+(y-b)2=r2.①M在圆C内=(x0-a)2+(y°—b)2<r2 ②M在圆C上=(x0-a)2+(y°-b)2=r2③M在圆C外O(x0-a)2+(y0-b)2>r22.3圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

当。2心小〉。时，方程表示一个圆，其中圆心《土§，半径r=些严当d2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D，--I22J当D2+E2-4F<0时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：B=0且A=C丰0且D2+E2-4AF>0.圆的直径系方程：已知AB是圆的直径TOC\o"1-5"\h\zA（x,y）B（x,y）n（x-x）（x-x）+（y一y）（y一y）=0, ,4 4442.4直线与圆的位置关系：直线Ax+By+C=0与圆（x-办+（y-b）=r2的位置关系有三种，d是圆Aa+Bb+C心到直线的距离，（d= .IA2+B2（1）d>r=相离=△<0；（2）d=r=相切=△=0；（3）d<r=相交=△>02.5两圆的位置关系TOC\o"1-5"\h\z设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，\OO =d。，^^， ・-i，・c， 。1 2 1 2 112（1）（1）d>井]+井2o外离o4条公切线；（2）d=[+r2o外切o3条公切线；（3）|（3）|r-rI<d<r+ro相交o2条公切线;1 2 1 2（4）d=1[-[|o内切o1条公切线;（5）0<d<\r^-r21o内含o无公切线;外离 外切 相交内切内含外离 外切 相交内切内含圆的切线方程：直线与圆相切：（1）圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）圆x2+y2=r2的斜率为k的切线方程是y=kx±x1+k2r过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P（x0,y0）的切线方程为：x0x+y0y+D*；°+E丫？0+F=0.一般方程若点（x0,y0