平面向量方法总结

平面向量方法总结（带

例题）【大全】本页仅作为文档封面，使用时可以删除Thisdocumentisforreferenceonly-rar21year.March平面向■应试技巧总结一.向量有关概念：向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么（向量可以平移）。如：已知人（1,2）,B（4,2），则把向量AB按向量a=（-1,3）平移后得到的向量是（答：（3,0））零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； A —►单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是+A£）；一IABI相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向"、b叫做平行向量，记作：a〃b,规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0）；三点A、B、C共线。AB、AC共线；6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是-a。如下列命题：（1）若|形时「则a=b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。⑶若AB=DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则—— —►—►AB=DC。（5）若a=b,b=c，则a=c。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是 一一 （答：（4）（5））―►―►―►―► —>—>—>—>-三向量的表示方法： 一’ 一一.几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终点在后；—ir —.符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如。,b,c等;■.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、>轴方向相同的两个单位向量―J为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 一一一平面向量的基本定理：如果勺和。2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量。有且只有一对实数x、X，使g"i+人e2。如1 2 11 22若a=(1,1)b=(1,-1),c=(—1,2)，则c=(答：1a—3b)；2能作为平面内所有向量基底的是B.e1能作为平面内所有向量基底的是B.e1—(—1,2),e2—(5,7)1 3D.e1—(2,—3),e2—(§,—丫(答:B)A.匕=(0,0),e2=(1,-2)C.e—(3,5),e—(6,10)已知AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线，且AD—a,BE-b,则BC可用向量a,b表示为(答：2a+-b)；3已知AABC中，点D在BC边上，且CD-2DB,CD-r~A^+s次，则r+s的值是 (答：0)实数与向量的积：实数X与向量a的积是一个向量，记作Xa，它的长度和方向规定如1)xa—|x|a|,(2)当X>0时，Xa的方向与a的方向相同，当X<0时，Xa的方向与—■ —ta的方向相反，当X=0时，Xa—0,注意：Xa夭0。平面向量的数量积:1.两个向量的夹角：对于非零向量U,R作OA=Q,OB=b,ZAOB=e（0V。VTi）称为向量U,方的夹角，当。二。时，a,方同向’当。二兀时，Q，'反向，当。 >—► ►—►二巴时，a,b垂直。22.平面向量的数量积：如果两个非零向量云R它们的夹角为八我们把数量Iq1151cos。叫做i与方的数量积(或内积或点积)，记作：a•&,即a9b=abcosOo规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如—►—►―►—►AABC中，I屈l=3,I招l=4,I泌1=5,则ABBC=(答:-9)；TOC\o"1-5"\h\z1 兀已知.二(1,-),/?=(0,——),c=a+kb,d=a-b,c与』的夹角为一,则化等于2 4(答：1);—>- ―► ―► ―► ―► ► —► —► ―► ►已矢Wa=2,b=5,ab=-3,贝Ui+人等于(答：后)；.—> ―> —►—> —►—►已知a,人是两个非零向量，且a=4=a-b,则a^a+b的夹角为(答：30)一一一一一一一一一°3.&在U上的投影为l/dcosO,它是一个实数，但不一定大于0。如已知I由=3,I舌1=5,且♦舌=12,则向量2在向量舌上的投影为一 12(答：m4.。•方的几何意义:数量积。•方等于。的模lil与方在。上的投影的积。5.向量数量积的性质:设两个非零向量云R其夹角为。,则：i_LZ?=i・Z?=O；当。，片同向时，a^b-ab,特别地，=a2.a= ；当。与&反向时，a.b^-ab 为锐角时，八方>0,且。盘不同向，耻〉0是。为锐角的必要非充分条件;当。为钝角时，U•方<0「百Q、。不反向，亳•只6是可为钝角的必要非充分条件；③非零向量。f °•b③非零向量。A夹角。的计算公式：cose=E•，④站对心泊1如。（1）已知廿=S,2人），舌=⑶,2），如果3与舌的夹角为锐角，则人的取值范围是 … 4,、一1、（答：人<--或人>0且人主-）;1兵已知kOFQ的面积为S,且OF・TQ=1,若-<S ，则OF,FQ夹角0的取值范围是 ,X.A-兀兀、(答：(QW));已知a=(cosx,sinx),b=(cosy,siny),a与b之间有关系式ka+b=J3\a-kb,其中上>0,①用k表示a•b；②求a•b的最小值，并求此时a与b的夹角0的大小一 一 一」s 1(合：①a•b= (k>0)；②最小值为5，0=60)4k 2向量的运算：1.几何运算:向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a与b的和，艮口a+b=AB+BC=AC； ►—►►—►—►—►向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 ►―►►―► ―►―►►►►化简：①AB+BC+CD=—；②AB-AD-DC=；③(AB-CD)-(AC-BD)=(答：①AD；②CB；③0)；若正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c，贝UIa+b+cI=一(合：2还)；若O是ABC所在平面内一点^满足Ob-O^l=OB+OC-2OA"贝【JABC的形状为―△△一一一一(答：直角三角形)；（4）若Z）为AABC的边3C的中点，AA8C所在平面内有一点F,满足\AP\PA+BP+CP=QJ设 3,贝版的值为—\PD\（答:2）（5）若点0是AABC的夕卜心，且OA+OB+CO=0,则AABC的内角C为（答:120）2.坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：①向量的加减法运算:a土b=(x土x,y±y)。如1 2 1 2(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AP=AB+XAC(XeR)，则当人=时，点P在第一、三象限的角平分线上一一(答：1)；已知A(2,3),B(1,4),且1AB=(sinx,cosy),x,ye(-—,—)，贝Ux+y=TOC\o"1-5"\h\z2 22(答：—或-—)；

6 2已知作用在点A(1,1)的三个力F=(3,4),F=(2,-5),F=(3,1)，则合力F=F+F+F的1 2 3 1 2 3终点坐标是(答：(9,1))实数与向量的积：Xa=X(x「七)=(人气,Xy「。若A(x,y),B(x,y)，则AB=(x-x,y-y)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的1 1 2 2 2 1 2 1有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设A(2,3),B(-1,5)，且AC=3aB,AD=3AB，则C、D的坐标分别是 (答：(1,?),(-7,9))④平面向量数量积:a•b=xx+yy。如12 12—已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(-1,0)。(1)若x=§，求向3—— 1量a、c的夹角；(2)若xG[-普,彳],函数f(x)=Xa・b的最大值为2，求X的值(答：(1)150;(2)1或-显-1)；⑤向量的模:Ia1=.顼x2+y2,a2=1a|2=x2+y2。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60,那么|a+3b|=⑥两点间的距离：若A(x,y),B(x,y)，贝/'11 2 2 /IABl=«x2-%、+(y2-yi)2。如如图，在平面斜坐标系xOy中，/xOy=60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xe+ye,其中e,e分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜1 2 1 2坐标为(x,y)。⑴若点P的斜坐标为(2,-2),求P到。的距离|PO|；(2)求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。(答：(1)2；(2)x2+y2+xy-1=0)向量的运算律:1.交换律1.交换律人。a)=(人p)a,结合律：a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),Ga)・b=X(a•b)=a・Gb)；分配律：(X+p)a=Xa+pa,人(a+b)=Xa+人b,(a+b)«c=a•c+b•c。— /寸 ―、 —^—一 — ,寸 —、 /— — /T ”\ T卜列命题中：①a-(b-cX=a王--a-c/一②a-(b-c)=(a/)w土③(a-b)2=|aI2-21—I-1—I+I—12[④若—・—=0,贝—=0或—=0；⑤若a-b=c-b,贝a=c；⑥|a|2=a2；⑦Q=b；⑧(a・b)2=a2.b2；⑨(a-b)=a2-2a・b+b2。其中正确的是 a2a - --—— (答：①⑥⑨)—>■—> —>—> —>—>■—> —>—>—>—►—>提醒:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)丰(a•b)c，为什么？八.向量平行(共线)的充要条件:a//b=a=Xb=(a・b)2=(IaIIbI)2=xy-yx=0。如12 12若向量a=3,1),b=(4,x)，当x=时a与b共线且方向相同已矢口a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//v，贝Ux—(答:4)TOC\o"1-5"\h\z—> —> __—►—► —► —> —►—► --设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k—吐A,B,C共线(答：-2或11)九.向量垂直的充要条件:a±bOa-b=0OIa+b1=1a-bIoxx+yy=0.特别地12 12GAB+IAC)1(AB-芸)。如ABACABAC-()已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OA1OB，则m=3(答：2)(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,/B=90。，则点B的坐标是 (答：(1,3域(3,-1))；(3)已知n=(a,b),向量n1m，且n=m，则m的坐标是 (合:(b,—a)或(—b,a))十.线段的定比分点：1.定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数人，使PP=人PP，则人叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做有向线段PP的以定比1 2 12 12为人的定比分点；2・人的符号与分点P的位置之间的关系冒P点在线段P1P2上时o人>0^P点在线段P1P2的延长线上时O人<-1；当P点在线段P2P1的延长线上时O—1<X<0；若点P分有向线段PP所成的比为人，则点P分有向线段PP所成的比为1O如12 21 人若点P分AB所成的比为3，则A分BP所成的比为3.线段的定比分点公式：设P3,y)、P3,y),P(x,y)分有向线段PP所成的比为1 1 1 2 2 2 12则］y则］y=y+人y1+人特别地，当人=1时，就得到线段P1P2的中点公式_x+xx-122一y+y。在使y二—用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y),(x,y)、(x,y)的意义，即分别为分点，起点，终1 1 2 2点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比人。如若M(-3,-2),N(6,-1),且MP=-1W，则点P的坐标为3… 7、(答：(-6,-3))；已知A(a,0),B(3,2+a)，直线y=1ax与线段AB交于M，且AM=2MB，则a等于2一(答：2或-4)十"一.平移公式：如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x',y')，则，x'=x+h；曲线yf=y+kf(x,y)=0按向量a=(h,k)平移得曲线f(x-h,y-k)=0.注意：(1)函数按向量平移与平常—>“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如按向量a把(2,-3)平移到(1,-2)，则按向量a把点(-7,2)平移到点(答：(-8,3));函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1,则a=(答：(十))12、向量中一些常用的结论：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；IIaI-1b11<1a土b!<1aI+IbI，特别地，当a、b同向或有0=Ia+b1=1