2023届马鞍山市高考冲刺数学模拟试题含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合中含有的元素个数为（）A．4 B．6 C．8 D．122．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．643．已知直线：与圆：交于，两点，与平行的直线与圆交于，两点，且与的面积相等，给出下列直线：①，②，③，④.其中满足条件的所有直线的编号有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④4．A． B． C． D．5．已知复数z满足，则z的虚部为（）A． B．i C．–1 D．16．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]8．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（）A． B．2 C． D．9．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有()A．18种 B．20种 C．22种 D．24种10．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且11．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（）A．正相关，相关系数的值为B．负相关，相关系数的值为C．负相关，相关系数的值为D．正相关，相关负数的值为12．下列命题为真命题的个数是（）（其中，为无理数）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式的第5项的系数为_____.14．已知两个单位向量满足，则向量与的夹角为_____________.15．某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________．16．函数的定义域为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，（）.（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a、m的值；（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；（3）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论.18．（12分）已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．（1）求角A的值；（2）若，设角，周长为y，求的最大值．19．（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.（1）求证:平面；（2）求证:.20．（12分）如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）设函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，().（i）求的取值范围；（ii）求证:随着的增大而增大.22．（10分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线E的方程；（2）求△ABC面积的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B2、B【解析】

根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.3、D【解析】

求出圆心到直线的距离为：，得出，根据条件得出到直线的距离或时满足条件，即可得出答案.【详解】解：由已知可得：圆：的圆心为（0,0），半径为2，则圆心到直线的距离为：，∴，而，与的面积相等，∴或，即到直线的距离或时满足条件，根据点到直线距离可知，①②④满足条件.故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.4、A【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．5、C【解析】

利用复数的四则运算可得，即可得答案.【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.6、B【解析】

由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.【详解】由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，..故选：【点睛】本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.7、B【解析】

作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.8、D【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为，∴解得.故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.9、B【解析】

分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案.【详解】根据医院A的情况分两类：第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时，共有种不同分配方案；第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院，在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时，共有种不同分配方案；共有20种不同分配方案.故选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.10、D【解析】

首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：，，.故选：D..【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.11、C【解析】

根据正负相关的概念判断．【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．故选：C．【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．12、C【解析】

对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，因为，则又由，所以，即，所以②不正确；对于③中，设函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即，即，所以是正确的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、70【解析】

根据二项式定理的通项公式，可得结果.【详解】由题可知：第5项为故第5项的的系数为故答案为：70.【点睛】本题考查的是二项式定理，属基础题。14、【解析】

由得，即得解.【详解】由题意可知，则.解得，所以，向量与的夹角为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解析】

从7人中选出2人则总数有，符合条件数有，后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有，则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件，∴故答案为：【点睛】组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式16、【解析】由题意得，解得定义域为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）；（3）不能，证明见解析【解析】

（1）求出，结合导数的几何意义即可求解；（2）构造，则原题等价于对任意恒成立，即时，，利用导数求最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由求出的范围，再研究该范围下单调性；（3）构造并进行求导，研究单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】（1），，曲线在点处的切线方程为，，解得.（2）记，整理得，由题知，对任意恒成立，对任意恒成立，即时，，，解得，当时，对任意，，，，，即在单调递增，此时，实数的取值范围为.（3）关于的方程不可能有三个不同的实根，以下给出证明：记，，则关于的方程有三个不同的实根，等价于函数有三个零点，，当时，，记，则，在单调递增，，即，，在单调递增，至多有一个零点；当时，记，则，在单调递增，即在单调递增，至多有一个零点，则至多有两个单调区间，至多有两个零点.因此，不可能有三个零点.关于的方程不可能有三个不同的实根.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.18、（1）；（2）．【解析】

（1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到，之后应用余弦定理即可求得；（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可.【详解】（1）由已知可得，结合正弦定理可得，∴，又，∴．（2）由，及正弦定理得，∴，，故，即，由，得，∴当，即时，．【点睛】该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】

（1）通过证明，即可证明线面平行；（2）通过证明平面，即可证明线线垂直.【详解】（1）连，因为为平行四边形，为其中心，所以，为中点，又因为为中点，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以，.【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）利用线面平行的定义证明即可（2）取的中点，并分别连接，，然后，证明相应的线面垂直关系，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可【详解】证明：（1）在图1中，连接.又，分别为，中点，所以.即图2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在图2中，取的中点，并分别连接，.分析知，，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，所以，，.分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则，取，则，，所以.又，所以.分析知，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题，属于基础题21、（1）见解析；（2）（i）（ii）证明见解析【解析】

（1）求出导函数，分类讨论即可求解；（2）（i）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii）设，通过转化，讨论函数的单调性得证.【详解】（1）因为，所以当时，在上恒成立，所以在上单调递增，当时，的解集为，的解集为，所以的单调增区间为，的单调减区间为；（2）（i）由（1）可知，当时，在上单调递增，至多一个零点，不符题意，当时，因为有两个零点，所以，解得，因为，且，所以存在，使得，又因为，设，则，所以单调递增，所以，即，因为，所以存在，使得，综上，；（ii）因为，所以，因为，所以，设，则，所以，解得，所以，所以，设，则，设，则，所以单调递增，所以，所以，即，所以单调递增，即随着的增大而增大，所以随着的增大而增大，命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性