高中数学 二次函数通关15题（含答案）

二次函数通关15题（含答案）2280.捄4辆．如果设每辆汽车xy（=-）（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为Z万元，试写出Z与x之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?yx2txt2．（1）求证：不论t为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．（2）设tᦙ0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式．（3）若此二次函数图象与x轴交于A交于两点，在函数图象上是否存在点p，使得△PAB的面积为313，若存在求出p点坐标，若不存在请说明理由．2若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1:1-2+4x+2与C2:y2=-2+tx+a为”．（1）求抛物线C2的表达式；（2）AC2AA㔠上x轴，㔠A㔠+O㔠最大值；（3）C2C于的坐标为1交4C2M于M0o于'于'C2上?M的坐标；若不存在，请说明理由．ytx2txcA1交0，4交0，C23于CyD，E为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）E于CE于Cy于CF，G（F在G的左侧），求!:!EFG的周长的最大值；（3）E!:!ED于于DE如果不存在，请说明理由．已知，t，a是一元二次方程2+4x+3=0的两个实数根，且llᦙal，抛物线y=2txcA交0，0交a，如图所示．（1）求这个抛物线的表达式；上，距离点p为 2（2）p于C上的一个动点（p于C重合），上，距离点p为 2物线于点M，点㔠在直线于C!:!㔠SSt

个单位长度，设点p的横坐标为t，OA11y=x2于，CA于上于（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN上x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与!:!A于C相似?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于，于两点，点C的坐标是8交4，连接AC，于C．（1）求过O，A，C三点的抛物线的表达式，并判断!:!A于C的形状；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，于，M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．如图，已知抛物线y=1xtxcA于C的三个顶点，其中点A0交1于交103AC∥x轴，点p是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）pAC㔠C，p，㔠为顶点的三角A于C㔠的坐标；若不存在，请说明理由．如图1，抛物线y=-3捄

x-22+a与x轴交于点At-2交0和于2t+3交0（点A在点于左侧），与y轴交于点C，连接于C．（求，a的值；（2）2M，p于C于pM，pCp!:!pCM!:!于为直角三角形同时成立?p不存在，请说明理由．在平面直角坐标系中，平行四边形A于OC如图放置，点A，C的坐标分别是0交4交 -1交0，此平行四边形绕点O顺时针旋转0o，得到平行四边形A'于'OC'． （1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的表达式；（2）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，!:!AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M的坐标．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴、y轴相交于A，于两点，点C交4AC，于C．（1）求过O，A，C三点的抛物线的表达式，并判断!:!A于C的形状；（2）pO于2于㔠于于C1C运动，规定其中一个动点到达端点时，tst为何值时，pA=㔠A?xOyy=tx2txA1交1，于2交2于于C∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；（2）若抛物线上存在点M，使得!:!于CM的面积为7，求出点M的坐标；2（3）OA，O于，OC，AC!:!AOC!:!于N相似（OA于对应）的点N的坐标．A于CD中，A6cm，于C8cmAC，于DOpAAD1cmfsDDC方向匀速运动，速度1cmfspO于CE，过㔠F∥AC于DFts0ᦙtᦙ6，解合下列问题：（1）当t为何值时，!:!AOp是等腰三角形；（2）设五边形OEC㔠F的面积为Scm2试确定S与t的函数关系式．py=kx

kt1xA，y轴相切于定点C0交1．（1）求经过A，于，C三点的二次函数图象的解析式；（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形AD于p为菱形．ytx2捄tx4A于C于C∥xAx轴上，点C在y轴上，且AC=于C．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，于，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点p是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在!:!pA于是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点p坐标；不存在，请说明理由．答案1（1）y22x.y=-x+40::;x::;4（2）Z=8+x0．捄

X4=8x+8-x+4（3）.Z=-82+2x+32=-8x-32

2+捄0最大.当x=3时，Z最大2

=捄0.当定价为2当-1.捄=27.捄万元时，有最大利润，最大利润为50万元．或：当x=-t2t

- 24X8

=1.捄Z =4tt2=4X-8X322=捄0最大值

X8.当定价为2当-1.捄=27.捄万元时，有最大利润，最大利润为捄0万元．2.（1）因为/1=t2-4t-2=t-22+4t0所以不论t为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．设x1交x2是y=2+tx+t-2=01+2-t1·2=t-2交x1-x2213离是13交所以lx1-x2l= = ．即：x1-x22=x1-x2213变形为：x1+x22-4x1·x2=13所以：-t2-4t-2=13整理得：t-捄t+1=0解方程得：t=捄或-1又因为：tᦙ0所以：t=-1所以：此二次函数的解析式为y=x2-x-313p的坐标为x0交y0x轴的两个交点间的距离等于13交A13所以：S!:!pA于=1A于·ly0l=1322所以：13ly0l=1313222 2即：ly0l=3交则y0=士3当y0=3时，x02-x0-3=3交即x0-3x0+2=0x0-2或3当y0-3x02-0-3=-3交即00-1=0解此方程得：x0=0或1综上所述，所以存在这样的p点，p点坐标是(-2交3)交(3交3)交(0交-3)或(1交-3)3.（1）:y1-2+4x+2=-2x-12+4，.抛物线C1的顶点坐标为1交4．:抛物线C1与C2顶点相同，.-t-X2

=1-1+t+a=4，t2，a3．.抛物线C2y2-2+2x+3．Att22t3则A㔠=-2+2t+3㔠=t，.A㔠+O㔠 -2+2t+3+t2-2+3t+32-t-32

+21.4.当t=3时，A㔠+O㔠有最大值，最大值为21．2 4于C于'于'D上CMD．:于-1交4，C1交4，抛物线的对称轴为x=1，.于C上CM，于C=2．:L于M于'=当0o，.L于MC+L于'MD=当0o．:于'D上MC，.LM于'D+L于'MD=当0o，.LM于'D=L于MC．在!:!于CM和!:!MD于'中，L于MC=LM于'D交L于CM=LMD于'交于M=M于'交.!:!于CM≌!:!MD于'．.于C=MD，CM=D于'．设点M的坐标为1交t，则D于'=CM=4-t，MD=于C=2．.点于'的坐标为t-3交t-2．.-t-32+2t-3+3=t-2．整理得t2-7t-10=0，解得t=2，或t=捄．t=2时，M的坐标为1交2t时，M1交捄综上所述，当点M的坐标为1交2或1交捄时，于'恰好落在抛物线C2上．4（1）ytx2txcA1交0，4交0，C23，t-t+c=0交16t4tc0交4t-2t+c=-3.t=-1交2解得t=3交2c=2.y=-12+3x+2．2 2于Cykx4交0，C23代入，得4k+a=0交-2k+a=-3.k=1交解得 2a=-2.则直线于C的表达式为y=1x-2．2当x=0时，y=1x-2=-2D0交-2．2在Rt!:!O于D中，OD=2，于O=4，.于D=OD2+O于2=2捄．Ex交1x23x2Gx0交1x02，2 2 2:EG上y轴，.-1x2+3x+2=1x0-2，2 2 2.0-2+3x+8，.EG=0-x=-2+2x+8．:EG上y轴，.EG∥x轴，.LEGF=LO于D．又:LEFG=LDO于=当0o，.!:!EFG∽!:!DO于，.EF=FG=EG，DO O于 于.EF=捄EG，FG=2捄EG，捄 捄.!:!EFG周长 =EF+FG+EG=捄EG+2捄EG+EG捄 捄=3捄+1 -x2+2x+8捄=3捄+1 -x-12+当.捄即当x=1时，!:!EFG的周长最大，最大值是27捄+当．捄假设存在点E，使!:!ED于是以于D为直角边的直角三角形连接AD，则AD= ．由（2）知，A于=捄，于D=2捄．.AD2+于D2=A于2，.!:!A于D是以于D为直角边的直角三角形．设直线ADy=x+pD坐标，tp0交p=-2.t=-2交p=-2.则直线ADy=-2x-2．y=-2x-2交y=-1x2+3x+2.2 21-1交或2=交y1=0交 y2-1.E的坐标为1交0或交18时，ED于于D为直角边的直角三角形当直线ADqy=-2x-2+q．则0=-2X4-2+q．解得q=10．.经过点于Dy=-2x+y=-2x+交y=-1x2+3x+2.2 2解得x3=3交或x4=4交y3=2交 y4=0.E的坐标为3交2时，ED于于D为直角边的直角三角形E的坐标为4交0重合，不能构成三角形，故舍去．综上所述，点E的坐标为-1交0或8交-18或3交2时，!:!ED于是以于D为直角边的直角三角形．5.（1）解方程x2+4x+3=01-12-．ta是方程2+4x+3=0llᦙt=-1，a=-．A1交0，03yx2tx1tc0交c=-3交t=-2交c=-3.所以这个抛物线的表达式为y=x2-2x-3．（2）于03，C3交0于Cyxpt交t3．pMxMMtt22t3．如图，过点㔠作㔠F上pM于点F，则!:!p㔠F为等腰直角三角形．因为p㔠= 2，所以F=1．pM0ᦙtᦙpM=t-3-t2-2t-3-2+3，S=1pM·F=1-2+3t-1t2+3．2 2 2 2pMtᦙ0tt3．pM=t2-2t-3-t-3=t2-3t，所以S=1pM·㔠F=1t2-3t=1t2-3t．2 2 2 2-1t2+3t交 0ᦙtᦙ3综上所述，S=

21t2-2

2 ．3t交 tᦙ0或tt326.（1）因为顶点A的坐标为1交1，ytx121．因为抛物线过原点，0t0121，t=-1．y=-x-12+1，即y=-x2+2．令y=-x2+2x=x-2，解得x=2或x=-1．x2时，y2202交0．当x=-1时，y=-1-2=-C-1交-3．（2）NNx交0则Mx交x2+2x，ONlxl，MNlx22xl．A1交1，2交0，C13，A于=2，于C32．AC，MNxLA于CLMNO0o，所以当!:!MNO∽!:!A于C时，有MN=ON，即l22l=l．

A于 于C2 32整理，得lxl·l-x+2l=1lxl．3当x=0时，M，O，N不能构成三角形，故x-=0．所以l-x+2l=1，解得x=捄或x=7．3 3 3此时点N的坐标为捄交0或7交0．3 3当!:!ONM∽!:!A于C时，有MN=ON，即l22l=l．

于C A于32 2lxl·lx2l3lxl．x0，l-x+2l=3，解得x=捄或x=-N1交0捄交0．综上所述，存在满足条件的N点，其坐标为捄交0或7交0或-1交0或捄交0．3 37.（1）在直线y=-2x+10上，令y=0x=捄x=0y=A交0，0交10．:点A捄交0，C8交4，O0交0在抛物线y=tx2+tx+c上，c=0交.2捄t捄tc64t8tc4.t=1交6t=-捄交6c=0..抛物线的表达式为y=1x2-捄x．6 6:AC2=8-捄2+42=2捄，于C2=82+10-42=100，A于2=捄2+102=12捄，.AC2+于C2=A于2，.!:!A于C是直角三角形．（2）xO0交0，A捄交0的两点，.对称轴为x=0+捄=捄．2 2设存在点M，使以A，于，M为顶点的三角形是等腰三角形，设M捄交y．2.AM2=捄-捄2

+y2=2捄+y2，A于2=12捄，于M2=242

+10-y2=2捄+y2-20y+100，捄224捄22①当AM=A于时，则AM2=A于2，即2捄+y2=12捄．4y1=捄1，2-捄1．2 212此时点M的坐标为捄交捄1当或捄交-122 2 2②当于M=A于时，则于M2=A于2，即2捄+y2-20y+100=12捄．4解得y1=10+捄1当，y2=10-捄1当．2M的坐标为交102

21212或12122③当AM=于M时，则AM2=于M2，即2捄+y2=2捄+y2-20y+100．4 4解得y=捄．此时点M的坐标为捄交捄，恰好是点A于的中点，不能构成三角形，故舍去．2综上所述，存在点M使以A，于，M为顶点的三角形是等腰三角形，此时点M的坐标为捄交捄1当或2

交10112

2 12或捄122（1）A0交1，于交10y=1x2txc，得3c=1交1X-当2-当t+c=10.3解得t=2交c=1..抛物线的表达式为y=1x2+2x+1．3（2）设AC与抛物线对称轴交于点F，y=1x2+2x+1=1

x+32-2，得顶点p的坐标是-3交-2．3 3此时pF=yF-yp=3，CF=xF-xC=3．则在Rt!:!CFp中，pF=CF，.LpCF=4捄o．同理可求LEAF=4捄o，.LpCF=LEAF．.在直线AC上存在满足条件的点㔠，使得以C，p，㔠为顶点的三角形与!:!A于C相似．:A0交1，于-当交10，p-3交-2，.C-6交1，.A于=当2，AC=6，Cp=32．①如图，Cp㔠1A于C㔠1t1交1C㔠1=Cpt1+6=32．AC A于 6 当2t1-．!:!C㔠2p!:!A于C㔠2t2交1C㔠2=Cpt2+6=32．A于 AC 当2 6解得t2=3．㔠C，p，A于C4交13交1．（1）x2，t-2+2t+3=4，解得t=1．A1交0，交0．把A-1交0代入抛物线表达式，3捄

当+a=0，解得a=-当．t=1，a=-．（2）假设点p存在，设点px0交00ᦙx0ᦙ捄，p的直角顶点时，CMMp∥OC，所以Mp=p于，CM=Op，OC O于 C于 于所以Mp=3捄

捄-x0，CM=34x0．3捄则 捄-0=340解得0=33-．3捄捄 捄 捄p33当交0．捄MCM于CO于，所以pM=于M=p于，CO O于 于C所以pM=334

x，于M=0340

捄-x0，CM=

343340- 捄-x =+捄343433400则3 捄-x =+捄34 3400解得x=3．04所以p3交0．4p33-当交0或捄3交0．4（1）A于OCO0oA'于'OC，A0交4，C1交0，.A'4交0，于1交4．ytx2txct0，C，A，A'，t-t+c=0交.c=4交16t+4t+c=0.t=-1交解得t=3交c=4..y=-2+3x+4．（2）AA'MMxAA'NMA，MA'，:点M是第一象限内抛物线上的一动点，Mxx23x40ᦙxᦙ设直线A'y=kx+t，0t4交4kt0.k=-1交t=4..A'y=-x+4．:MN上x轴，.点M，N的横坐标相同，.点Nx交-x+4，.N=-2+3x+4--x+4-2+4，.S!:!AMA' =S!:!AMN+S!:!A'MN=1x-0-x2+4x+12 2

4-x-x2+4x-22+x-2x-22+交x=2时，!:!AMA'8．当x=2时，y=-2+3X2+4=6M2交6．11.（）在直线y=-2x+10上，令y=0x=捄x=0y=A交0，0交10，因为点A捄交0，C8交4，O0交0在抛物线y=tx2+tx+c上，c=0交2捄t捄tc交64t+8t+c=4交t=1交6t=-捄交6c=0.所以抛物线的表达式为y=1x2-捄x．6 6AC2=8捄2422于C2=82+10-42100，A于2=捄2+102=12捄，所以AC2+于C2=A于2，所以!:!A于C是直角三角形．（2）ts时，Op2t，C㔠=10t．因为当点p运动到端点时，t=O于=捄，2当t=捄时，于㔠=捄ᦙ10，t0tRtAOpRtAC中，pA2OA2Op224t2，㔠A2=㔠C2+AG2=2捄+10-t2=t2-20t+12捄．pA=㔠A，pA2=㔠3t220t1224t2．t1-1舍去）1=1．3即运动时间为10s时，pA=㔠A．3（1）A1交1交2交2ytx2tx中得：1=t-t交2=4t+2t.解得所求函数表达式为

t=2交3 .t=-1.3y=2x2-1x.:于C∥x3 3轴，设C点坐标为x0交2，.2x2-1x0=2，30 3解得

x-3x

=2交由题意知x0ᦙ0，.0-3C-3交2

0 2 02 2（2）设!:!于CM的边于C上的高为h，:于C=7，2.S!:!于CM=1X7Xh=7，2 2 2.h=2，点M即为抛物线上到于C的距离为2的点，.点M的纵坐标为0或4，令y=2x2-1x=4，解得3 3x=17交x=1-7交

1+当7交44M 1-7交444

1 4 2 4 3 4M0交0，1+7交4，1-7交44 4（3）A1交1，于2交2，C1交2，D0交2，2.易求得于=22，OA= 2，OC=捄，LAOD=L于OD=4o，tanLCOD=1，2 4①如图（1），当!:!AOC≌!:!于ON时，AO=OC，LAOC=L于ON，于O ON.ON=2OC=捄，过点N作NE上x轴于点E，:LCOD=4捄o-LAOC=4捄o-L于ON=LNOE，.在Rt!:!NOE中，tanLNOE=tanLCOD=1，4.OE=4，NE=3，.点N的坐标为4交3，同理可得，点N的坐标也可以3交4．②如图2，当!:!AC∽!:!N时，AO=OC，AC=L于N，于N2OC

O于 于N过点于作于G上x轴于点G，过点N作x轴的平行线交于G的延长线于点F，.Nt上于F，:LCOD=4捄o-LAOC=4捄o-LO于N=LN于F，.在Rt!:!于FN中，tanLN于F=tanLCOD=1，4.NF=3，于F=4，N12N21N3交44交32112．（1）A于CD中，A于=6cm，于C=8AC=10cm．①当Ap=pO时，如图，过点p作pM上AO，所以AM=1AO=捄．2 2因为LpMA=LADC=当0o，LpAM=LCAD，ApMACD，Ap=AM，AC AD所以Ap=t=2捄．8Ap=AO时，t=捄0ᦙtᦙ6，所以t=2捄或t=捄均符合题意，8所以当t=2捄或t=捄时，!:!AOp是等腰三角形．8E作Et上AC，过点㔠作M上AC，过点D作N上ACFG．A于CDAD∥于C，所以LpAO=LECO．OAC的中点，AO=CO．又因为LAOp=LCOE，所以!:!AOp≌!:!COE，所以CE=Ap=t．!:!C∽!:!AEtCE，A于 AC所以Et=3t．捄因为S!:!ADC=1AD·DC=1DN·AC，2 2所以DN=AD·CD=24．AC 捄因为㔠M∥DN，所以!:!C㔠M∽!:!CDN，㔠M=C㔠㔠M=6t．DN CD

24 6捄M=2-4，捄G=24-24t=4．捄 捄 捄因为F㔠∥AC，所以!:!DF㔠∽!:!DOC，所以F㔠=DG，OC DN所以F㔠=捄t，6所以S S!:!OECS!:!OCDS!:!DF