材料力学-扭转问题

第三章扭转§3.1扭转的概念和实例工程上有很多承受扭转变形杆件,例如搅拌器的主轴实例实例传动轴实例汽车传动轴实例汽车方向盘实例丝锥攻丝实例

扭转变形是指杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕轴线产生转动。

扭转的概念工程上，把承受扭转变形的杆件称“轴”。其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。MeMe横截面之间的相对角位移,称为扭转角。直接计算§3.2、外力偶矩的计算扭矩和扭矩图一.外力偶的计算

按输入功率和转速计算已知轴转速－n

转/分钟输出功率－Pk

千瓦力偶矩Me二.扭转内力:MeMeMeTMeTnn（+）（+）仍采用截面法:扭转内力正负号规则:右手螺旋法则,确定内力正负

扭矩T扭矩正负规定右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)例

已知PkA=19kW,PkB=44kW,

PkC=25kW,n=150rpm求:作图示传动轴的扭矩图.MAMBMC解:

1.求外力偶

MA==1210Nm同理

MB=2800Nm,MC=1590Nm

MAMBMC1-12-2T1-MA=0

讨论：交换AB轮的位置扭矩将如何变化？1210-1590xT-2800-1590xTMAnT1

T2-MA+

MB=0MBMAT2n2.截面法求内力(设正法)3.作内力图

T1

=1210Nm

T2

=-1590Nm3.3纯剪切lXMelX（1）实验观察:各纵向线倾斜角度相同；正方形网格,加外力偶后变成同样大小的平行四边形。各圆周线的形状、大小和间距不变，只是绕轴线作相对转动；一圆轴扭转时切应力lXMe二推论：存在切应力,且同一圆周上的切应力相同

横截面上无正力；(横截面上任意点的切应力的方向和半径垂直。)R由现象A

由现象B二切应力互等定律xyzdxdydz=单元体纯剪切状态沿纤维、木纹方向开裂可以证明实验证明:当切应力不超过材料的剪切比例极限时,剪切胡克定律G:称为材料的切变模量反映材料的抗剪切变形的能力.(MPa,GPa)各向同性材料三切应变,剪切胡克定律四

剪切应变能密度

ABCDtt

´dxdydz剪切应变能密度当切应力不超过材料的剪切比例极限§3.4圆轴扭转时横截面上的切应力lXMelX实验现象：……平面假设：圆杆的横截面变形后仍为保持为平面一变形几何关系

圆轴横截面像刚性平面一样,绕轴线转过一角度T表面内部二物理条件：三平衡条件：dxTT内部一变形几何关系

T极惯性矩实心圆轴空心圆轴Wt抗扭截面系数圆轴扭转的强度条件:对阶梯轴，因各段的Wt不同

,最大切应力不一定在最大T所在截面，须综合考虑T和Wt，确定T/Wt极值。d已知：P1＝14kW,功率的一半传n1=n2=120r/min,

z1=36,z3=12;

d1=70mm,d2=50mm,

d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=1203612=360r/min

Me1=T1=1114N.mMe2=T2=557N.mMe3=T3=185.7N.m解：强度满足。空心优于实心（1）改用实心轴，在最大应力不变时确定轴的直径；讨论：（2）比较实心轴和空心轴的重量。由得校核轴的强度。

例

已知汽车传动主轴D=90mm,d=85mmMe=1.5kNm。MeMe为什么相同强度条件下空心轴比实心轴省材料？T=Me=1.5kNm,§3.5

圆轴扭转的变形抗扭刚度单位：弧度(rad)刚度条件：精密轴一般轴粗糙轴对于两端作用力偶长为l的等直轴:若各段的T不同，或各段的Wt同，则分段计算扭转角,再代数相加:刚度条件：解：作扭矩图12100-1590xT1590N.m2800N.m1210N.m|T|max=1590（N.m)取

D=59或60mm例已知：确定圆轴的直径.

例传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率P1=400kW，从动轮C，B

分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φ’]=1°/m，G=80GPa。(1)试确定AC段的直径d1

和BC段的直径d2；(2)若AC和BC两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?解：1.外力偶

2.扭矩图

按刚度条件:

3.直径d1的选取:

按强度条件

按刚度条件

:4.直径d2的选取

按强度条件:

5.选同一直径时

6.将主动轮按装在两从动轮之间受力合理扭转的超定静问题例两端固定的阶梯圆截面杆，在C处受一力偶m，求支反力偶？a2amCAaB2GIpGIpmmBCABmA解：

解除约束，以

、

代替。变形协调方程：物理方程：求解得:mmBCABmA例

由实心杆1和空心杆2组成的组合轴，受扭矩T，两者之间无相对滑动，求各自最大切应力.解:设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为T1、T2。G2Ip2G1Ip1R2R1T平衡方程：变形协调方程：联立求解，得：G2Ip2G1Ip1R2R1T

讨论:1)实心杆和空心杆相接触处的切应力情况2)在下述三种情况下的切应力分布情况：（1）G1>

G2;

（2）G1=G2;（3）G1<G2R2R1TR2R1TR2R1TG2Ip2G1Ip1R2R1T§3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形建议自习４.通过习题练习圆柱形密圈螺旋弹簧的强度计算、变形计算．1.弹簧丝横截面上的内力－剪力、扭矩，应力－切应力．３.弹簧的变形．（轴线方向的总缩短或伸长量）２.弹簧丝横截面上计算切应力的修正公式．弹簧的强度条件．要求了解:变形特征

翘曲矩形截面杆扭转§3.7非圆截面杆扭转非圆截面扭转时，横截面不再保持平面，切应力不再与各点到形心的距离成正比。实验和弹性理论分析表明:自由扭转和约束扭转:

(1)非圆截面扭转时，如果端面及其它部位均不受任何约束,各横截面可以自由翘曲，各横截面翘曲形状相同，则横截面上将只有切应力，这种情况称为自由扭转。约束扭转:

(2)非圆截面扭转时，如果端面或其它部位受约束作用,各横截面不能自由翘曲，各横截面翘曲形状将不相同，则横截面上将不仅有切应力，还有正应力，这种情况称为约束扭转。

实心截面杆约束扭转时，正应力很小，可忽略不计；而薄壁截面约束扭转时，正应力却不能忽略。矩形杆扭转结