信息光学计算

1.采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径:求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布。解：(1)设入射光场为U0(x0，y0)，由题意，知U0(x0，y0)=1。圆形孔径的透射率函数为：t(x0，y0)=。。。则孔径平面透射光场分布为：U(x0，y0)=t(x0，y0)=。。。由菲涅耳衍射公式可得衍射光场为：令：x=y=0时，得到衍射图样在轴上的复振幅为：将积分换用极坐标系作运算，得轴上复振幅分布为：则孔径轴上强度分布为：由上式可知，圆孔菲涅耳衍射图样其中心光强沿孔径轴是明暗交替变换的，而且：当，即时，I(0,0)=0,为极小值；当，即时，I(0,0)=4,为极小值。2.余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：t(x)=a+bcos(2πx/d)，式中，d为光栅的周期，a>

b>0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。式中：zT=2d2/λ为泰伯距离。（1）z=zT=2d2/λ（2）z=zT/2=d2/λ解：光栅与相距为z的观察平面上的光场分布，这是一个典型的菲涅耳衍射的问题。可以在频域来求解这个问题。当单色平面波垂直照明光栅时，光栅透射光场为：U(x0)=At(x0)=A[a+bcos(2πx0/d)]，式中：A为平面波振幅。该透射光场对应的空间频谱为：

，根据菲涅耳衍射的传递函数式：可得到观察平面上的光场的频谱为：下面分两种情况进行讨论：(1)：

当z=zT=2d2/λ时，e-iπλz/d2=1，则有：对上式作傅里叶逆变换，可得到观察平面上的光场复振幅分布为：强度分布为：从上式可以看出，强度分布与光栅透射场分布相同。(2)当z=zT/2=d2/λ时，

e-iπλz/d2=-1，则有：对上式作傅里叶逆变换，可得到观察平面上的光场复振幅分布为：强度分布为：强度分布与光栅透射场分布相比，像产生π相移。3.环形孔径的外径为2a，内径为2εa(0<ε<1)。其透射率可以表示为：用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。解：采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，则孔径平面的透射光场为：可以进一步表示为两个圆域函数的差值，即：其傅里叶-贝塞尔变换式为：式中：ρ=r/λz。把上式代入夫琅禾费衍射公式，则得到孔径的夫琅禾费衍射光场分布为：这样，可得到圆环夫琅禾费衍射的强度分布为：4.线光栅的缝宽为a,光栅常数为d,光栅整体孔径是边长L的正方形。试对下述条件，分别确定a和d之间的关系：(1)光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。(2)光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。解：许多等宽度的狭缝等间隔地平行排列，是最简单的透射型振幅光栅，称为线光栅。先不考虑光栅的有限大小，认为光栅是由无穷多个平行狭缝构成的。每条狭缝的宽度均为a，相邻缝中心距，即光栅常栅为d，d>a。光栅透过率可以表示为一维卷积形式：采用单位振幅的单色平面波垂直照射衍光栅，则透射光场等于光栅的复振幅透过率:U(x0,y0)=t(x0,y0)，其对应的傅里叶变换式为：把上式代入夫琅禾费衍射公式，得到夫琅禾费衍射图样的复振幅分布为：强度分布为：上式就是光栅的夫琅禾费衍射图样。当单缝衍射的零点位置与某些衍射级重合时，这些衍射级就会消失。(1)若夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级(见左下图)，则要求：2n/d=n/a(n=1,2,...)，即d=2a(2)若夫琅禾费衍射图样中第三级极小(见右下图)，则要求3/d=1/a，即d=3a5.在透明玻璃板上有大量(N)无规则分布的不透明小圆颗粒,它们的半径都是a。采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。解：有N个无规则分布的不透明圆颗粒的透明玻璃板与这些不透明圆颗粒位置有N个透明圆孔的不透明玻璃板是互补屏。因此，可通过求解N个无规则透明圆孔的不透明玻璃板的衍射图样强度分布间接求解。有N个无规则透明圆孔的不透明玻璃的复振幅透过率函数可以表示为：式中xn’,yn’是各个小圆孔的中心位置。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，玻璃板透射的光场分布为：U(x0，y0)=t(x0，y0)=...对上式作傅里叶变换，有：将上式代入夫琅禾费衍射公式，则得到观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布为：强度分布为：因为N个孔径无规则排列，所以有：这样，强度分布最终简化为：所以，N个无规则分布的小孔，其衍射图样简单的就是单个小孔衍射强度的N倍。N个无规则分布的不透明圆颗粒的透明玻璃板的透过率表示为[1-t(x0,y0)]，其傅里叶谱为：根据巴比涅原理，衍射图样的强度分布除中心有一个亮点

外，其余部分强度分布应该与上式所表达的I(x,y)相同。6.一个衍射屏具有下述圆对称的复振幅透过率函数(见下图)(1)这个屏的作用类似于透镜，为什么？(2)给出此屏的焦距表达式？(3)这种屏作成像元件它会受到什么性质的限制(特别对于多色物体成像)？解：(1)此衍射屏的复振幅透过率如图所示，可把它表示为如下直角坐标形式：式中，中括号内的第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜相位变换因子：比较，形式相同。当用平面波垂直照射(2)把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的相位变换因子相比较，便得相应的焦距，即对于项，令a=k/(2f1)，则有f1=k/2a=π/λa>0，焦距为正，相当于会聚透镜。对于项，令a=-k/(2f2)，则有f2=-k/2a=-π/λa<0，焦距为负，相当于发散透镜。对于1/2项，平行光直接透过，仅振幅衰减，相当于一个振幅衰减片，可视为f3=∞。(3)由于该衍射屏有三重焦距,当用作成像装置时,便可以对同一物体形成三个像。例如对无穷远的点光源,将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像,而另一个像在无穷远(直接透射光)。如下图所示。当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。若用接收屏来接收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。此外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制，因为焦距都与波长成反比。若用白光作光源，则在像面上可看到严重的色散现象。如取：λred=690nm，λblue=469nm，则有：这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到非常严重的色散现象。这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图。时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。因子表明该屏具有半径为l的圆形孔径。7.图3所示相干成像系统中，物体的复振幅透过率为:为了使像面能得到它的像，问(1)

若采用圆形光阑，其直径应大于多少？

(2)若采用矩形光阑，各边边长应大于多少？解：物体的频谱为：其频谱如下图所示。物体有三个频谱分量，在谱面上的位置分别(0,0),(ζa,

ηb),(-ζa,-

ηb)。要使像面上得到物体的像，则必段要求这三个频率分量都通过系统，即系统的截止频率要都要大于这三个频率分量中任何一个分量的频率。(1)若采用圆形光阑，假设光阑直径为D，系统的截止频率为：

ζ0=D/(2λf)，根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求即要注(2)若采用矩形光阑，假设其大小为a×b，则系统截止频率为：

根据上面的分析，要使像平面得到物体的像，必须要求即要求8.一个非相干成像系统,出瞳由两个正方形孔构成。如下图所示，正方形孔的边长a=1cm,两孔中心距b=3cm。若光波波长λ=0.5μm，出瞳与像面距离di=10cm，求系统的OTF，画出沿fx和fy轴的截面图。解：假定这是一个衍射受限的非相干成像系统。根据OTF的几何解释,光学传递函数为：在ζ

轴上，ζ=0。左下图表示中心在(0,λdiη/2)和(0,-λdiη/2)的两个错开的光瞳。重叠面积和总面积S0同时增加一倍，两者比值保持不变。因而H(0,η)与单个正方形孔情况下沿ζ轴的OTF相同,即有H(0,η)=tri(η/2ζ0),式中:tri(η/2ζ0=a/λdi=[10/(100×0.5)]×103mm-1=200mm-1。其截面图如右下图所示。式中:S0是光瞳面积；S(ζ，η)是中心位于和的两个平移光瞳的重叠面积。在ζ轴上，η=0，根据重叠情况的变换，可分为四个区间进行讨论：(1)如左下图所示，当时，此时重叠区面积与总面积的比值与单个孔的情况相同，因此(2)如右下图所示，当，因为b=3，即时，两个孔相互错开，重叠面积为零，因此H(ζ，0)=0(3)如下图所示，当或即

时，只有一个孔发生重叠，但总面积是两个孔的面积，因此OTF的大小只是第一种情况的一半，即(4)如右下图所示，当时，光瞳完全错开,无重叠部分,即:其沿ζ轴的光学传递函数截面图如下图所示。9.下图所示成像系统,光阑为双缝,缝宽为a,中心间隔为d,照明光波长为λ。求下述情况下系统的脉冲面积响应和传递函数,画出它们的截面图.(1)相干照明;(2)非相干照明。解：对于相干照明情况下，光瞳函数为：

相干传递函数为：对应的相干脉冲响应为：

脉冲响应和传递函数的截面图如下图所示。对非相干照明，利用上面计算的结果，非相干脉冲响应为：则非相干传递函数为：脉冲响应和传递函数的截面图如下图所示。10.制作一全息图,记录时用的是氩离子激光器波长为488.0nm的光,而成像时则是用He-Ne激光器波长为632.8nm的光。(1)若zp=∞，zr=∞，z0=10cm,问像距zi是多