概率第四章讲义

第4章大数定律与中心极限定理

大数定律中心极限定理1武汉科技大学理学院第一节大数定律依概率收敛定义及性质大数定律小结2武汉科技大学理学院

实践中，频率具有稳定性，大量测量值的算术平均值也具有稳定性，这种稳定性是大数定律研究的背景。3武汉科技大学理学院一、概念1.定义：4武汉科技大学理学院请注意:5武汉科技大学理学院2.依概率收敛的性质3、大数定律6武汉科技大学理学院1.（切比雪夫大数定律）二、常用的大数定律7武汉科技大学理学院由切比雪夫不等式证明：8武汉科技大学理学院2.伯努利大数定律证：该大数定律说明：事件发生的频率依概率收敛于该事件发生的概率。9武汉科技大学理学院3.辛钦大数定律注意：与切比雪夫大数定律相比较，辛钦大数定律的条件去掉了“方差存在”，但增加了“服从同一分布”的要求。10武汉科技大学理学院11武汉科技大学理学院第二节中心极限定理中心极限定理例题课堂练习12武汉科技大学理学院正态分布在自然界中极为常见中心极限定理将从理论上对此加以解释.为什么？13武汉科技大学理学院定理1（独立同分布下的中心极限定理）的标准化变量14武汉科技大学理学院请注意:15武汉科技大学理学院定理2(棣莫佛－拉普拉斯（DeLaplace定理）

设随机变量(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有证由定理1即证。该定理表明二项分布的极限分布为正态分布，从而参数为n，p的二项分布，当n充分大时，可用正态分布来近似.16武汉科技大学理学院(1)虽然在一般情况下，我们很难求出及

的分布的确切形式，但在独立同分布中心极限定理的条件下，当n很大时，可知其近似服从正态分布.中心极限定理的应用(2)参数为n，p的二项分布，当n充分大时，可用正态分布来近似.17武汉科技大学理学院例1根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.18武汉科技大学理学院由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16解：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似服从N(0,1)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.211919武汉科技大学理学院例2.(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?20武汉科技大学理学院用X表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验是观察该台车床在某时刻是否工作,工作的概率0.6,共进行200次独立重复试验.依题意，X~B(200,0.6),现在的问题是：P(X≤N)≥0.999的最小的N.求满足设需供电N千瓦，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，X台工作所需电力即X千瓦.）21武汉科技大学理学院由德莫佛-拉普拉斯极限定理近似N(0,1),于是P(X≤N)这里

np=120,np(1-p)=48查正态分布函数表得从中解得N≥141.5,即所求N=142.也就是说,应供应142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.≥3.1,故22武汉科技大学理学院例3在天平上重复称量一重量为a的物体，假设每次称量的随机误差服从(-1,1)内的均匀分布，用表示n

次称量的均值，求

n

使例4抽样检查产品质量时，如果发现次品多余10个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9？23武汉科技大学理学院例1于是解24武汉科技大学理学院25武汉科技大学理学院例：一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪冲击纵摇角大于3°的概率为p＝1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角大于3°的概率是多少？解：设在90000次波浪冲击中，纵摇角大于3°的次数为X，则26武汉科技大学理学院思考