疲劳和断裂第三讲

第三章疲劳应用统计学基础3.1疲劳数据的分散性3.2正态分布3.3威布尔分布3.4二元线性回归分析3.5S-N曲线和P-S-N曲线的拟合1第三章疲劳应用统计学基础3.1疲劳数据的分散性1)实验：7075-T6铝R=-1,恒幅45678X=lgN105099.9Pf100

7075-T6铝合金对数疲劳寿命分布2430.117030999051Sinclair和Dolan,1953.应力水平越低，寿命越长，分散性越大。152207MPa下57件，寿命:2×106108次；240MPa下29件，寿命:7×1054×106次275MPa下34件，寿命：1×1058×105次310MPa下29件，寿命：4×1041×105次430MPa下25件，寿命：1.5×1042×104次。分散性：共174件NS(MPa)400300200104101010105678klgN2015105678+207MPa共57件寿命分布直方图100102倍对数正态分部3Duototherandomnatureoffatigueprocess,thelifeofcomponentsandstructurescannotbepredictedbyusingconventionaldeterministicapproaches.Foranaccuratefatiguelifepredictiononlyprobability-basedmodelscanbeusedinengineeringdesignandsystemsanalysis.由于疲劳过程中固有的随机性，结构和构件的寿命不能用传统的确定性方法预测。在工程设计和系统分析中，准确的疲劳寿命预测只有采用以概率为基础的方法。4材质不均匀，加工质量，加载误差，试验环境等。原因：裂纹、缺口件的疲劳破坏局限在裂纹或缺口高应力局部，上述因素影响较小。光滑件寿命分散>缺口件>裂纹扩展寿命

给定应力水平下，寿命小于N的概率pf？

存活率为ps（如99%）的疲劳寿命？问题疲劳寿命常用对数正态分布、威布尔分布描述。50f(x)mx=X正态概率密度曲线3.2正态分布对数疲劳寿命lgN常常是服从正态分布的。令X=lgN,X即服从正态分布。一、正态分布的密度函数和分布函数密度函数：(-<x<)是均值；f(x)关于x=对称为标准差，是非负的。6越小，f()越大，曲线越瘦，X的分散性越小。故标准差反映X的分散性。(1)f(x)0;随机变量X取值的可能性非负。在x=处,f(x)最大，且:f(x=)=密度函数性质：(无论分布形式如何)(2)；所有取值的总可能为1。0f(x)mx=X正态概率密度曲线7正态概率分布函数F(x)为：F(x)是X小于等于x的概率,

是f(x)在x左边的面积。0f(x)mxX正态概率密度曲线F(x)1-F(x)显然:

Pr(X>x)=1-F(x)F()=8二、标准正态分布令,即有：注意dx=du,由密度函数变换公式可得到标准正态分布密度函数为：

(-<u<)U0-uuf(u)标准正态分布密度函数

u服从均值=0、标准差=1的正态分布。标准正态分布函数则为：9u<0或(u)<0.5，利用(-u)=1-(u)的关系求解。注意有：

(0)=0.5；

(-u)=1-(u)；

Pr(a<u<b)=(b)-(a)u(u)关系，还可用近似表达式表达，如：u0(u)0.5且由，还有：

F(x)=Pr(Xx)=Pr(Uu)=(u)故求正态分布函数F(x)，只需求得(u)即可。U0-uuf(u)标准正态分布密度函数(-u)F(u)1-FU0abf(u)(a)(b)-(a)10分布参数估计：设在某si下，样本含n个疲劳寿命数据xi=lgNi；破坏概率为p的对数疲劳寿命xp为：三、给定疲劳寿命下的破坏概率估计则样本均值为：样本方差s2为：标准差s是偏差(xi-)2的度量，反映分散性大小。只有(n-1)个偏差独立。up可由p确定。存活概率R=1-p。113)存活率为99.9%的寿命：xp=2.1674-3.09×0.05=2.013R=99.9%的安全寿命为：Np=lg-1xp=103(千周)例3.1在某应力水平下，测得表中一组疲劳寿命数据Ni。试确定存活率为99.9%的安全寿命N。解：将Ni从小到大排列；1)计算样本均值和标准差；=2.1674s=0.05；(n=10)2)确定标准正态偏量up。p=1-R=0.001=0.1%查表3.1得：up=-3.09序号iN/10i312345678910124134135138140147154160166181xi24.38234.52464.53824.57924.60574.69724.78524.85814.92885.0972S21.673546.9965x=lgNii2.09342.12712.13032.13992.14612.16732.18752.20412.22012.257712若=95%，意味着100个样本估计的xp中，有95个小于xp(g)。即有95%的把握认为估计量小于真值。四、置信水平估计量Np=+ups，若大于真值+up，偏于危险。置信度：估计量小于真值的概率。破坏率p，置信度的对数寿命写为：单侧容限系数k：有表可查若u=0,有k=up，则xp(g)=+ups；=50%。13五、正态概率纸问题：X是否服从正态分布？已知：xF(x)关系：非线性

xu关系：线性F(x)=(u)u：一一对应能否作出xF(x)呈线性关系的坐标纸？先画x-u坐标，即若随机变量X服从正态分布，则有线性关系；再按u-(u)关系，依据u标定F(x)，则线性关系不变。若X服从正态分布，F(x)-x在概率纸上呈线性。x正态概率纸up0321-1-2-3p1000.010.1150103070909999.914利用正态概率纸检验随机变量X是否服从正态分布，需xiF(xi)数据描点，由其是否线性作出判断。F(xi)是对数寿命X小于xi的概率，即破坏概率。其均秩估计量为：F(xi)=pi=i/(n+1)无论X服从何种分布，此式均适用。序号iN/10i3x=lgNiiin+1123456789101241341351381401471541601661812.09342.12712.13032.13992.14612.16732.18752.20412.22012.25770.09090.18180.27270.36360.45450.54550.63640.72730.81820.9091例3.1之xiF(xi)数据如表所列，可在正态概率纸上描点，观察是否呈线性，判断X是否服从正态分布。15样本标准差s？利用p=15.87时，up=-1；由图得到：xp=2.114；例3.1之数据描点如图。注意：用s=ctgq估计标准差时，必须x、u的坐标标定一致。可知：X是否服从正态分布？均值？(与50%破坏率对应)=2.167由xp=+ups；有：s=(xp-)/up=-xp

=2.167-2.114=0.053P1000.1150103070909999.92.12.22.3x=lgN3210-1-2-3uxq16分析计算框图：疲劳试验R、S给定样本数据n个N排序i破坏率F(Ni)=i/(n+1)概率纸上描点[x=lgNi,F(Ni)]是否正态分布线性？估计分布参数,s(计算或图解法)x给定破坏概率pf下的疲劳寿命？寿命N对应的pf？up=(lgN-)/s;pf=F(up)xxp=lgNp=+upsx17寿命有大于零的下限,正态分布不能反映。3.3威布尔分布Weibull1951一、密度函数和分布函数1.密度函数定义为：

(NN0)下限N0，最小寿命;

尺度参数Na，反映数据的分散性；

形状参数b；反映f(N)曲线形状。三个参数f(N)N-NN-N00ab=1b=3.5-4b=2Weibull密度函数曲线0指数Reyleigh正态分布18N=N0，F(N0)=0，即寿命小于N0的概率为零；N=Na，F(Na)=1-1/e=0.632，Na称特征寿命参数。2.分布函数：F(N)--寿命小于等于N的概率。令x=(N-N0)/(Na-N0),则有dN=(Na-N0)dx,可得：注意F(N)=F(x),故得Weibull分布函数F(N)为：19变量lglg[1-F(N)]-1lg(N-N0)间有线性关系；或lg[1-F(N)]-1(N-N0)间有对数线性关系。B是直线的斜率，称斜率参数。将分布函数式改写为：取二次对数后得到：3.二参数威布尔分布函数令N0=0，则二参数威布尔分布20能否作出威布尔概率纸？N-F(N)，非线性关系；lglg[1-F(N)]-1-lg(N-N0)，线性lglg[1-F(N)]-1-F(N)，一一对应二、分布参数的图解估计二个问题：N是否服从威布尔分布？如何确定其分布参数？0.90.50.1F(N)lglg[1-F(N)]-1F(N)lglg[1-F(N)]-10.010-0.521-1.339-2.360F(N)lglg[1-F(N)]-1—对应值结论：可作威布尔概率纸。若N服从威布尔分布，概率纸上lg(N-N0)-F(N)应有线性关系。威布尔概率纸lg(N-N)0456lglg[1-F(N)]-10-0.5-1.0-1.5-2.00.90.50.10.050.02F(N)21对于给定应力水平的一组寿命数据Ni，估计其对应的破坏概率F(Ni),在威布尔概率纸上描点，即可判断其是否服从威布尔并估计分布参数。.1.5120.90.50.1F(N)威布尔概率的应用0.050.02N-N0(10)6ABB'0.63222框图：疲劳试验R、S给定样本数据n个N排序i破坏率F(Ni)=i/(n+1)取N0，概率纸上描点[x=lg(Ni-N0

),F(Ni)]是否Weibull分布线性？调整N0估计分布参数N0,b；给定破坏概率pf=F(N)下的疲劳寿命N？寿命N对应的pf？23确定性关系--对变量X的每一确定值，变量Y都有可以预测的一个或几个确定的值与之对应，如，圆周长L=D的确定性关系。3.4二元线性回归分析二个问题：一组数据点是否呈线性？若呈线性，用什么样的直线描述？一、相关关系和回归方程相关关系---变量X取某定值时，变量Y并无确定的值与之对应，与之对应的是某唯一确定的概率分布及其特征数，如S-N关系。24回归分析的主要任务是：确定回归方程的形式及回归系数；检验回归方程的可用性；利用回归方程进行预测和统计推断。设X、Y间存在着相关关系。X=x时，Y的数学期望E(Y/X=x)是x的函数，即：E(Y/X=x)=f(x)E通常未知，一般只能通过样本求其估计量：=f(x)

称为Y对X的回归方程。

~y若回归方程是线性的，有=A+Bx;常数A、B是待定的回归系数。

~y25XY0散点图分散带二、最小二乘法拟合回归方程获取数据样本(xi,yi)n对描点作散点图回归方程形式回归系数是否存在相关关系回归方程估计量与观测值yi之偏差平方和为：最小二乘法

~yQ是A、B的函数，Q最小的条件为：；由此给出方程组26正规方程组为：þýüå=å+åå=å+iiiiiiyxxBxAyxBnA2解得：

ïïþïïýü-å--å=å-ååå-å=yXxYyXxxxnyxyxnBiiiiiiiii2222-=å-ååå-åå=XBYxxnxxyxAiiiiiii22)()())(()(式中，n为样本数据点数，、分别为变量X、Y的样本均值，且=xi/n;=yi/nX_Y_X_Y_注意，均值点（、）落在回归直线上。Y_X_27三、相关系数及相关关系的检验相关系数r定义为：若令：有：LLxyxx=/r==LLLxyxxyy/BLLxxyy[/]/12å-ååå-å=xxnyxyxnBiiiiii22)(28偏差平方和为：QABxyYBXBxyiiii=+-=-+-åå()[()]__22å__=---[()()]YyBXxii2____=----+-å[()()()()]YyBXxYyBXxiiii2222___=---+-ååå()()()YyBXxBXxiii222222=---=-åå()()__YyBXxLBLiiyyxx2222上式二端除以Lyy,即得：注意:Lyy>Q>0,故相关系数r£129XY0r~1完全相关XY0r~-1完全相关XY0r~0完全不相关当时，有Q0，数据点基本在回归直线上，变量X、Y相关密切；®1r,Q,数据点越分散，相关越差；若0，X、Y完全不相关。相关系数r与B同号，r>0,则B>0，正相关；

r<0，B<0，负相关。rr相关系数的几何意义:XY00<r<1正相关XY0-1<r<0负相关30回归方程能否反映随机变量间的相关关系？是相关系数起码值，可查表。与样本容量n有关，n越大，越小。

与置信水平有关，=1-越大，越大。

是显著性水平，或纳伪概率。rarara相关性检验条件为：rra表3-4相关系数的起码值

n-20.050.01n-20.050.01n-20.050.0110.9971.00050.7540.874100.5760.708200.4230.537300.3490.449400.3040.393ra31四、利用回归方程进行统计推断对应于任一x0，y0正态分布，n大时，分布参数可估计为：

==A+Bx

=s=[Q/(n-2)]1/2=[(Lyy-B2Lxx)/(n-2)]1/2y~YX0x0y0~y~=A+Bx利用回归方程进行统计推断y~y0=+3sy~y0=-3s直线y=+ups所对应的概率为p=Pr(Yy)。如，up=3时，p=99.87%，故y落在y=+3s之下的概率为99.87%，上限。y~y~up=-3时，p=0.13%，y=-3s为0.13%的下限。y在y=+3s间的概率为p=99.74%。up=0时，p=50%，故y==A+Bx对应概率50%y~y~y~32获取样本数据(xi,yi)共n对下面通过一例题，进一步了解其分析步骤。五、

二元线性回归分析的基本方法：作散点图回归方程的形式y=A+Bx~最小二乘法确定回归系数A、B相关系数r相关性检验

rra用回归方程进行预测和统计推断333.5S-N曲线和P-S-N曲线的拟合实验得到：Ly12铝合金板材，在Smax为199、166、141.2、120.2Mpa四种应力水平下的疲劳试验结果x=lgN，循环应力比R=0.1S-N曲线和P-S-N曲线拟合计算实例试用最小二乘法拟合S-N曲线和P-S-N曲线。34序号 Smax(MPa)破坏率存活率

i199166141.2120.2Pi=i/n+1Ri=1-pi14.9145.0935.3255.7210.09090.909124.9145.1275.3605.8510.18180.818234.9295.1305.4355.8590.27270.727344.9645.1405.4415.9380.36360.636454.9645.1465.4706.0120.45450.545564.9825.1675.4716.0150.54550.454574.9825.1885.5016.0820.63640.363684.9965.2045.5496.1360.72730.272795.0295.2205.5826.1380.81820.1818105.0635.2485.6126.1650.90910.0909354.55.05.56.06.5X=lgN99.999907050301010.1Ps100对数疲劳寿命分布表中数据在正态概率纸上描点结果如图。四种应力水平下的xps数据，均呈线性，即x=lgN,服从正态分布。Smax=199Smax=166Smax=141.2Smax=120.236各应力水平下的xup拟合结果Si

x=A+Bup=lgN i(MPa)AB r lgSPs=50%Ps=99.9%up=0up=-3.091199.04.97370.05660.9752.29894.97374.7988 2166.05.16630.05710.9882.22015.16634.9899 3141.25.47460.10840.9892.14985.47465.1396 4120.25.99170.17220.9732.07995.99175.4596回归方程估计的存活率ps为50%和99.9%时的x。

ra=0.765a=0.0137由前表所列ps为50%和99.9%时的二组lgSlgN数据，给出了给定存活率ps下的S-N关系。p-S-N曲线：存活率为ps的S-N曲线,如曲线2，是p