数学建模入门 适合参加数学建模的同学初步认识建模过程并学习

第1章数学建模入门数学建模的概念；数学建模的案例分析；主要内容几个数学建模问题。数学模型的概念；2023/2/51信息工程大学韩中庚参考书籍2023/2/52信息工程大学韩中庚1、数学模型

原型archetype(原始的模型)

①是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象.

②特指文学艺术作品中塑造人物形象所依据的现实生活中的人.③指在解决问题时，对于新假设的提出有启发作用的那些事物.

(1)原型与模型2023/2/53信息工程大学韩中庚

模型是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼构造的原型替代物,是对所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式.也可指根据实验、图样放大或缩小而制作的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子.2023/2/54信息工程大学韩中庚模型不是原型，既简单于原型，又高于原型.模型的分类2023/2/55信息工程大学韩中庚2、什么是数学模型？

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具得到的一个对问题近似刻划的数学结构，以便于人们更深刻地认识所研究的对象.

简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述)，即用数学式子(如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等)来描述(表述、模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面存在的规律.2023/2/56信息工程大学韩中庚数学模型的分类(1)按所用的数学知识分类：

初等模型、几何模型、微积分模型、微分方程模型、图论模型、概率统计模型、规划论模型等.(2)按所解决的问题的领域分类：物理模型：自然科学领域内的问题.非物理模型：经济模型、交通模型、人口模型、生态模型、环境模型、医学模型、社会学模型等.(3)按所建模目的分类：描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等.(4)按所模型的表现特性分类：确定模型、随机模型；静态模型、动态模型；离散模型、连续模型。2023/2/57信息工程大学韩中庚一般模型与数学模型有什么异同？共同点：都是原型的替代物；都是原型的抽象与简化；都不同于原型。不同点：一般模型是对事物外在形态的近似与替代；数学模型是对事物发展规律的近似与替代。2023/2/58信息工程大学韩中庚1）研究内容：数学研究共性和一般规律；数学模型研究个性和特殊规律。2)研究方法：数学主要是演绎推理；

数学模型是归纳演绎。3)研究结果：

数学只要推理正确，结果就一定正确；数学模型的研究结果必须接受实际的检验。92023年2月5日数学模型与数学有什么不同2023/2/59信息工程大学韩中庚怎样的数学模型是一个好的数学模型：要有实际背景；假设合理；推理正确；方法简单；论述深刻。思考：你接触过哪些用数学模型解决实际问题的例子？评价数学模型2023/2/510信息工程大学韩中庚“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”2、数学建模1、引例“是无声手枪或别的无声的枪吗？”“不是。”“枪声有多大？”“80－100分贝。”“那就是说会震的耳朵疼？”“是。”“在这个城市里打鸟犯不犯法？”“不犯。”“您确定那只鸟真的被打死啦？”“确定。”2023/2/511信息工程大学韩中庚“没有。”“OK，树上的鸟里有没有聋子？”“有没有关在笼子里的？”“没有。”“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”“没有。”“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“没有。”“算不算怀孕肚子里的小鸟？”“不算。”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”“没有花，就十只。”2023/2/512信息工程大学韩中庚“有没有傻的不怕死的？”“都怕死。”“会不会一枪打死两只？”“不会。”“所有的鸟都可以自由活动吗？”“完全可以。”“如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩.”这就是数学建模，从不同的角度思考一个问题，想尽所有的可能，正所谓智者千虑，绝无一失，这，才是数学建模的最高境界.2023/2/513信息工程大学韩中庚2、什么是数学建模2023/2/514信息工程大学韩中庚实际工程问题工程师数学数学问题数学家MathematicalModeling

数学建模:应用数学知识解决实际问题的第一步；数学建模:通常有本质性的困难和原始性的创新。2023/2/515信息工程大学韩中庚数学建模流程图如下：实际问题抽象、简化问题，明确变量和参数根据某种定律建立变量和参数间的数学关系（数学问题）解析或近似地求解该数学问题解释验证应用实际数学建模过程为：实际问题模型分析模型假设模型建立模型求解解的分析模型检验论文写作应用实际2023/2/516信息工程大学韩中庚实践有力地证明：

(1)数学建模活动是创新人才培养的充分条件.(2)数学建模素质是多功能型的复合材料.

(3)数学建模人才是21世纪人才市场的“抢手货”.

(4)

数学建模效能巨增、优势突现，必将大有作为.

(5)

数学建模能力是一种超强的综合能力.3、数学建模与综合素质与能力培养2023/2/517信息工程大学韩中庚1.丰富灵活的想象能力;2.发散思维的联想能力;3.一眼看穿的洞察能力;4.抽象思维的简化能力;5.与时俱进的开拓能力;6.活学活用的创造能力;

数学建模能力—一种超强的综合素质和能力7.会抓重点的判断能力;8.灵活运用的综合能力;9.使用计算机的动手能力;10.信息资料的查阅能力;11.科技论文的写作能力;12.团结协作的攻关能力.

2023/2/518信息工程大学韩中庚(6)数学建模竞赛成绩是一个可比性指标.(7)数学建模教学活动和竞赛工作能够促进教学质量和教学水平的提高，扩大学校的知名度.

(8)学生参加数学建模活动及数学建模竞赛是人生的一次挑战，用事实来证明自己的实力和价值，更有利于自身的综合能力和素质的提高，增强自身的竞争力.

正可谓：“一次参与终身受益.”2023/2/519信息工程大学韩中庚

(9)大学几年所学的理论和知识,只有通过数学建模才能感受到它们的应用价值.

(10)

数学建模为我国的数学教育事业带来了春风,让所有的“数学人”看到了希望,让我们“数模人”实现了梦想.

2023/2/520信息工程大学韩中庚

在这竞争的时代和改革的大潮中，作为一名现代的大学生：

你的未来在哪里，何去何从?

你的发展空间在哪里，何作何为？你的特长和优势在哪里，何能何力？这是值得每一个大学生思考的问题！哇噻!这么伟大的问题,没想过，我的未来是个梦！据调查７万名本科毕业生：学和用一致的占15％；基本一致的占15%;其他的占70%.2023/2/521信息工程大学韩中庚

数学建模为你们带来了契机，给你们带来广阔的发展空间。

扩充知识面、学习新理论和新方法；增强自身的能力、水平和综合素质；增强自身的综合实力、优势和竞争力；修炼成常人所没有的特长

----“数学建模能力”.我晕！真的有这么悬乎吗？忽悠我们呀！2023/2/522信息工程大学韩中庚兴趣决定思想，思想主导意识，意识指导行动，行动产生结果.数学建模途中条条路坎坷，我爱好我选择，勇往直前决不退缩！选择数学建模作为人生价值支撑点,去实现你的梦想！

“人生能有几回搏”！这么说我的未来不是梦了！怎么才能让我的梦想成真？2023/2/523信息工程大学韩中庚常用数学建模方法有哪些？参加数学建模需要具备哪些知识和能力？现在我们应该做些什么？成功参加竞赛的条件是什么？我的学习成绩不太好，可以参加建模吗？当然可以，只要你有信心、有能力、肯下功夫，一定能成功！4、数学建模的方法2023/2/524信息工程大学韩中庚数学建模常用的方法：解析几何、代数方程、微积分、微分方程、差分方程、概率统计、层次分析、插值与拟合、综合评价、优化方法、数据处理与计算等。另外，了解一些排队论、对策论、决策论、模糊评判等方面的知识。(1)数学建模所需要的方法和知识

数学建模应具备的数学知识：

高等数学、微分方程、运筹学、线性代数、概率统计、数值计算等。2023/2/525信息工程大学韩中庚（2）参加数学建模需要什么?

首先,要有兴趣，兴趣是第一位的；其次,要有信心、决心、爱心、苦心和一颗平常心；然后,要有广泛的知识面、灵活的头脑、良好合作精神、一定的计算技能、妙趣横生的文字表达能力等等.2023/2/526信息工程大学韩中庚（3）现在我们应该做些什么？扩展知识面，打牢基础，注意要“广、浅、新”.组织兴趣小组，集体讨论，相互促进，共同提高，培养团队精神.

熟练计算机的操作，掌握一门语言，或一种工具软件的使用，最主要是matlab和lingo.

选读优秀论文，练习论文写作，提高写作能力.2023/2/527信息工程大学韩中庚Mathematicalmodelingcannotbelearnedbyreadingbooksorlisteningtolectures,butonlybydoing!----Practice!－－－COMAP：SolomonA.Garfunkel（4）如何做好数学建模？2023/2/528信息工程大学韩中庚美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数

2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。案例1：汽车刹车距离问题5、数学建模的案例分析2023/2/529信息工程大学韩中庚问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米)>>车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候……最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动.车速常数反应距离制动距离常数2023/2/530信息工程大学韩中庚假设与建模

1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;Fd2=mv2/2F

mt1为反应时间且F与车的质量m成正比2023/2/531信息工程大学韩中庚

反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计

利用交通部门提供的一组实际数据拟合k模型最小二乘法k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时)(英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.32023/2/532信息工程大学韩中庚“2秒准则”应修正为“t秒准则”模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t（秒）12342023/2/533信息工程大学韩中庚

现有一栋住宅楼，每套只需自备七万元，其余由公司代付，可分期还款，分十年还清，每月只需付

800元，

现在的问题：

这套房子究竟值多少钱，即如果一次付款要付多少钱？如果没有能力一次付款，实际上，相当于借多少钱？为什么要每月付800元？问题2：售房广告问题2023/2/534信息工程大学韩中庚(1)一般问题的讨论2023/2/535信息工程大学韩中庚问题2：售房广告问题2023/2/536信息工程大学韩中庚(2)就广告问题的讨论2023/2/537信息工程大学韩中庚

(2)就广告问题的讨论

2023/2/538信息工程大学韩中庚(3)进一步研究的问题2023/2/539信息工程大学韩中庚

(3)进一步研究的问题2023/2/540信息工程大学韩中庚

(3)进一步研究的问题思考题：如果对固定的月利R，张老师想某时候一次付清借款需还多少钱？2023/2/541信息工程大学韩中庚背景

北京时间8月6日消息，2012年伦敦奥运会帆船帆板比赛继续进行，中国队的徐莉佳勇夺金牌.在女子激光雷迪尔级的奖牌赛中，徐莉佳一路领先以30分19秒率先撞线，她以35分的净得分夺取该项目金牌.这是中国队首次夺取雷迪尔级的金牌，也是中国代表团在本届奥运会的第31枚金牌.

案例3：启帆远航2023/2/542信息工程大学韩中庚帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向.简化问题AB

风向北航向帆船海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，帆以及帆的朝向2023/2/543信息工程大学韩中庚模型分析

风(通过帆)对船的推力w

风对船体部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假设

w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且

s1远大于

s2，f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力2023/2/544信息工程大学韩中庚w1=wsin(-)f1=w1sin=wsinsin(-)p1=pcos模型假设

wpw1w2f1f2p2p1

w2与帆面平行，可忽略

f2,p2垂直于船身，可由舵抵消模型建立w=ks1,p=ks2船在正东方向速度分量v1=vcos

航向速度v与力f=f1-p1成正比v=k1(f1-p1)v1v2023/2/545信息工程大学韩中庚2)令=/2,

v1=k1[w(1-cos)/2

-pcos]cos求使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)

当固定时求使f1最大f1=w[cos(-2)-cos]/2=/2时f1=w(1-cos)/2最大=k1(f1-p1)cosf1=w1sin=wsinsin(-)p1=pcos求,,使v1最大模型建立v1=vcos

wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解2023/2/546信息工程大学韩中庚60º<<75º

1<t<2v1最大备注

只讨论起航时的航向，是静态模型航行过程中终点B将不在正东方

记t=1+2s2/s1,k2=k1w/2

=(

k1w/2)[1-(1+2p/w)cos]cos

w=ks1,p=ks21/4<cos<1/2模型求解v1=k1[w(1-cos)/2

-pcos]coss1>>

s22023/2/547信息工程大学韩中庚(1)问题的提出

美国的里奥兰翘(RioRancho)镇迄今还没有自己的应急设施。1986年该镇得到了建立两个应急设施拔款，每个应设施都把救护站、消防队和警察局合在一起。问题3：确定应急设施的位置分析2023/2/548信息工程大学韩中庚

如右图指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数，在北边的Ｌ形区域是一障碍，而在南边的长方形区域内是一个有浅水塘的公园。应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花15秒，而通过一条东西向的街道平均花20秒。你的任务是确定这两个应急设施的位置，使得总响应时间最少。2023/2/549信息工程大学韩中庚两个要求：2023/2/550信息工程大学韩中庚1)两个障碍区域中均不需要应急服务；2)每年的应急事件数目比较小，则在同一街区不会同时发生两个事件；3)忽略车辆拐弯和过十字路口的时间，仅考虑沿街道行驶的时间；4)两个设施的功能相同，当需要时，指挥中心总是从离事件发生地最近的一个派出应急车辆；5)1985年的各街区的应急事件数是真实的，未来的需求分布不会与此相差太远；6)当连接两点不同路径所用时间相同时可任选其一.(２)模型的假设2023/2/551信息工程大学韩中庚(3)模型的设计与求解模型Ⅰ

要求：在没有障碍的街区应急事件均发生在街区中心，而应急设施的位置设在某街区的街角上。应急车辆做出响应的时间最短是指到达事件发生点的时间;

这样可能的两个应急设施的位置点数只有有限个，只需要检验每一对位置点对所有街区发生事件做出的响应时间，选择平均每一次事件响应时间最小的那两个点。2023/2/552信息工程大学韩中庚

建立坐标系，如图所示.1)一个位置点对某一街区发生事件的响应时间=位置点到街区的街道数×车辆行驶一条街道的时间×该街区发生事件的次数；2)一个位置点对全镇所有应急事件响应时间的总和＝该位置点对所有街区应急事件响应时间的总和；（3）模型的设计与求解模型Ⅰ：

东xy北

o3)一个位置点对全镇任一次应急事件的平均响应时间＝总响应时间/事件的总数；2023/2/553信息工程大学韩中庚4)取使平均响应时间最小的那个对应的位置点为应急设施的位置。（3）模型的设计与求解2023/2/554信息工程大学韩中庚

经编程计算(作练习)：两个应急设施的位置分别为(3,4)和(3,8)，且从这两个设施到任意一个街区最邻近的街角上的平均响应时间为29.5秒。模型Ⅱ要求：

每个街区的应急事件都发生在该街区四周的街道上，而且均匀分布，两个设施还是设在街角上。2023/2/555信息工程大学韩中庚注意:

可能的事件发生点在街道上均匀分布，在每一条街道上的事件发生点不必逐点的考虑，可认为每一条街道上发生的事件都集中在一点上(重心)，该点应该是从这一点到街角的距离等于到实际事件发生点的平均距离，即是在街道的中心.2023/2/556信息工程大学韩中庚注意：因应急车辆不需要到街区中心，也不需要过街道，不需要减17.5和加0.5。（3）模型的设计与求解2023/2/557信息工程大学韩中庚经编程计算：两个设施的最合适的位置是(3,4)和(3,8)，平均响应时间为47.0秒。（作练习）（3）模型的设计与求解2023/2/558信息工程大学韩中庚(4)模型的结果分析

1)因题目仅给出了1985一年的数据，不可能做更多的计算，或者作图等，如果数据覆盖几年的话会更好。模型对于障碍没有充分地考虑，如果给出环绕障碍物弯曲的有关数据，可以做得更好，但模型会复杂.

2)模型全部忽略了车辆转弯的时间，这种假设不会有太大的影响.模型Ⅰ的任何路线至多有一个转弯，模型Ⅱ只有两条路线有两个转弯，其它至多有一个.

3)模型假设了设施的应急车辆只被派往正常范围内的应急事件点，即便是被派往正常范围以外，影响也不太大.

4)假设应急设施设在街道交叉口处，可对任何方向的应急事件灵活地做出响应，指挥中心可以随机应变地调动车辆,更容易转弯、调头等.2023/2/559信息工程大学韩中庚问题1：“儿童人寿保险问题”一中保广告

对于０至17岁的儿童都可以参加人寿保险，投保金额可以趸交也可以按年交，每份保险金额为1000元，保险公司要求各年龄儿童需交投保金额如下表：保险公司应对被保险人的保险项目和金额为：6、几个数学建模的问题2023/2/560信息工程大学韩中庚教育保险金：被保险人到18、19、20、21周岁时每年可领取一份保险金（1000元）。创业保险金：被保险人到22周岁时可领取保险金额的4.7倍的创业保险金。结婚保险金：被保险人到25周岁时可领取保险金额的5.7倍的结婚保险金。养老保险金：被保险人到60周岁时可领取保险金额的60倍的养老保险金。问题1：“儿童人寿保险问题”一中保广告6、几个数学建模的问题2023/2/561信息工程大学韩中庚如果被保险人能够活到60岁时，则

（1）如果按现行的存款年利率4.5％计算，投保是否合算？（2）如果按现行的贷款年利率8％计算，保险公司从中获利多少？问题1：“儿童人寿保险问题”一中保广告6、几个数学建模的问题2023/2/562信息工程大学韩中庚对于手机资费问题一直是人们关心的热点问题,多少年来手机资费始终没有实质性变化．但是，2007年1月以来先后有广东、上海、北京等地的移动和联通两大