数字信号第一章

第一章时域离散信号和系统1.1离散时间信号——序列1.2线性移不变系统1.3线性常系数差分方程1.4连续时间信号的采样一.序列1.信号及其分类(1).信号信号是传递信息的函数,它可表示成一个或几个独立变量的函数。如，f(x);f(t);f(x,y)等。(2).连续时间信号与模拟信号在连续时间范围内定义的信号,幅值为连续的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。1-1离散时间信号-序列(3).离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-1012对信号我们主要讨论数字信号的变换DFT——离散序列的傅里叶变换；FFT——快速傅里叶变换；ZT——序列的Z变换；DFS——周期序列的傅里叶级数；DTFT——序列的傅里叶变换；DCT——离散余弦变换；FCT——快速离散余弦变换；2.序列

离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔是均匀的，所以可用x(n)表示序列﹛x(n)﹜。x(n)具有两重意义：既代表一个序列，又代表序列中第个数值。需要特别说明，这里的x(n)仅对n为整数时才有定义,对于非整数的n，x(n)没有意义，把它理解为零也不正确。

例:就默认序列是从n=0开始。式中小箭头表示n=0时所对应的样值，若无小箭头或x2(n)={3522}x1(n)={11/21/41/8}n0

=(1/2)nx2(n)=3522n=0n=1n=2n=

1值的大小，有时为了描述序列的一般规律（变化趋势），01234之间的关系。序列也常用谱线状的图形表示，以线段的长短表示序列也将端点用虚线（包络线）联起来，以方便观察序列值x(n)n二.几种常用序列1.单位样值序列(单位冲激)

(n)n101234┅2.单位阶跃序列...0123-1nu(n)3.矩形序列...012N-1-1n314.实指数序列5.复指数序列6.正弦型序列

其中，ω0为数字频率。对模拟正、余弦信号采样可以得到正、余弦序列。T为采样周期

x(n)=x(nT)=sin(n0T)

=

sin(n0)例x(t)=sin(0t)其中0

=

0T为数字域频率

数字域频率是模拟域频率对采样频率取归一化值，即：推广到一般：正、余弦序列的一般表示为=

T=/fs注:例：（1）x(n)=cos(n0)，若0

=/5，

2N=/5=10（2）sin(n0)，若0

=8/3，N=3令n=0，1，2，3，4，（3）sin(n0)，若0

=1/4，2/0

=/2sin(n0)=[0,0.2474,0.47943,0.68184,0.84147,0.94898,]7.用单位抽样序列表示任意序列8.序列的能量

x(n)的能量定义为

1.序列相加2.序列相乘标量乘以序列对应项相加形成新的序列序列的每一项乘以标量对应项相乘形成新的序列y(n)=x1(n)+x2(n)y(n)=x1(n)x2(n)ax(n)=a{x(n)}二.序列的运算与变换

3、移序或移位y(n)是原序列x(n)每项左移m位形成的序列。y(n)=x(nm)y(n)是原序列x(n)每项右移m位形成的序列。y(n)=x(n+m)m>04、折叠x(n+m)逐项右移（时延）m位x(nm)逐项左移（时延）

m位{y(n)}=x(n)y(n)是将x(n)以纵轴为对称轴翻转形成的序列。折叠位移序列y(n)=x(n±m)5.尺度变换（1）抽取：x(n)x(mn),

m为正整数。例如，

m=2，

x(2n)，相当于每两个点取一点形成的；即时间轴压缩了2倍。以此类推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n（2）插值：x(n)x(n/m),m为正整数。例如，

m=2，

x(n/2)，相当于两个点之间插一个点形成的，即时间轴扩展了2倍；以此类推。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。6.累加和某一序列为x(n),则x(n)的累加序列

y(n)定义为

即表示n以前的所有x(n)的和。7.差分前向差分（先左移后相减）：后向差分（先右移后相减）：？差分的运算：8.卷积和（1）卷积的定义及计算方法：设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为卷积和计算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。要记住：等比级数前n项和公式。例：求：解：1.翻褶.以m=0为对称轴，折迭h(m)

得到h(-m)，对应序号相乘，相加得y(0)；2.位移一个单元，对应序号相乘，相加得y(1)；3.重复步骤2，得y(2)，y(3)，y(4),y(5),如下所示。

x(m)01231/213/2m012m1h(m)在亚变量坐标m上作出x(m),h(m)01231/213/2m0mh(-m)=h(0-m)-2-1x(m)01231/213/2m0mh(1-m)-11得y(0)得y(1)x(m)翻褶位移1对应相乘，逐个相加。-1012345y(n)n1/23/235/23/2（2）卷积的性质1）交换律x1(n)x2(n)=

x1(m)x2(nm)m==x2(m)x1(nm)=x2(n)x1(n)

m=2）分配律x1(n)[x2(n)+x3(n)]=x1(n)x2(n)+x1(n)x3(n)3）结合律x1(n)x2(n)x3(n)=x1(n)[x2(n)x3(n)]=[x1(n)x2(n)]x3(n)=x2(n)[x1(n)x3(n)]4)任意序列与(n)卷积5）任意序列与u(n)卷积(n)x

(n)=x(n)(nm)x

(n)=x(nm)u(n)x

(n)=

x(k)k=n4）卷积的移序y(n+m)=x1(n+m)x2(n)=x1(n)x2(n+m)

y(nm)=x1(nm)x2(n)=x1(n)x2(nm)

y(n+m1+m2)=x1(n+m1)x2(n+m2)

y(nm1m2)=x1(nm1)x2(n

m2)

1-2线性移不变系统系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即x(n)离散时间系统

T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]

设系统具有：

那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。

一.线性系统二.移不变系统

如T[x(n)]=y(n),则T[x(n-m)]=y(n-m),满足这样性质的系统称作移不变系统。即系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间改变，或者说系统对于输入信号的响应与输入信号加入系统的时间无关。

*移（时）不变例：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不变系统.解：因为T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以

T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又

y(n-m)=3x(n-m)+4

所以

T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是移不变系统.

例:判断下列系统是否为线性非移变系统是非线性系统；是非移变系统。=y(nn0)(1)

y(n)=T[x(n)]=ex(n)(2)

y(n)=T[x(n)]=nx(n)=

[y(n)]a解(1)

T[ax(n)]=eax(n)=[ex(n)]aay(n)T[x(nn0)]=ex(nn0)y1(n)=T[x1(n)]=nx1(n)

=anx1(n)+bnx2(n)=ay1(n)+by2(n)y2(n)=T[x2(n)]=nx2(n)

=n[ax1(n)+bx2(n)]T[ax1(n)+bx2(n)]是线性系统；T[x(nn0)]=nx(nn0)

y(nn0)是移变系统。=(nn0)x(nn0)(2)令三.单位抽样响应与卷积和1.线性移不变系统具有移不变特性的线性系统。2.单位抽样响应h(n)

当线性移不变系统的输入为δ(n)，

其输出h(n)称为单位抽样响应，即

h(n)=T[δ(n)](n)h(n)T[δ(n)]线性移不变系统

h(n)x(n)y(n)3.卷积和

y(n)=x(n)*h(n)四.线性移不变系统的性质1.交换律

2.结合律3.对加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)[例]：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为

h1(n)=δ(n)-δ(n-4);h2(n)=anu(n),|a|<1,当输入x(n)=u(n)

时，求输出。[解]：h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)w(n)=x(n)*h1(n)=∑x(m)h1(n-m)=∑u(m)h1(n-m)=∑u(m)[δ(n-m)-δ(n-m-4)]=u(n)-u(n-4)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)y(n)=w(n)*h2(n)=[δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)]*h2(n)=h2(n)+h2(n-1)+h2(n-2)+h2(n-3)=anu(n)+an-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)五.因果系统某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。*系统输出变化不会发生在输入变化之前；*实际系统一般是因果系统；*y(n)=x(-n)是非因果系统,因n<0的输出决定n>0的输入;线性移不变因果系统的充要条件为

h(n)=0，n<0。六.稳定系统有界输入产生有界输出的系统。线性移不变稳定系统的充要条件是1-3常系数线性差分方程

一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：

或*常系数：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM

均是常数（不含n）.*阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差，如N=N-0.*线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。一.差分方程的建立

LTI离散系统的基本运算有延时（移序），乘法，加法，且系统的激励和响应是时间的离散值，因此系统的数学模型需采用差分方程来描述。1.加法器x1(n)y(n)x2(n)+2.乘法器ax(n)y(n)3.单位(时间)延迟器x(n)y(n)二.差分方程的解法解差分方程的方法有三种，它们是递推法（迭代法）、经典法和变换域法。其中只有递推法适合用计算机求解。1.时域经典法（当系统阶数较高或激励较复杂时，适用经典法。

）差分方程特征方程：齐次解：非重根时的齐次解L次重根时的齐次解共轭根时的齐次解特解：自由项为的多项式

则特解为自由项含有且不是齐次根，则特解自由项含有且是单次齐次根，

则特解自由项含有且是K次重齐次根 则特解特解：自由项为正弦或余弦表达式

则特解为是差分方程的特征方程的m次重根时，

则特解是完全解=齐次解+特解代入边界条件求出待定系数，于是得到完全解的闭式。齐次解特解的形式代入差分方程特解完全解=齐次解+特解代入边界条件求出待定系数，得到完全解的闭式2.用迭代法求解差分方程例1.设因果系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，输入信号x(n)=δ(n)，求输出信号y(n)。当差分方程阶次较低时常用此法解该系统差分方程是一个一阶差分方程，需要一个初始条件。下面假设两种初始条件，顺便分析初始条件对输出的影响。

(1)设初始条件：

y(-1)=0y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0y(0)=ay(-1)+δ(0)=1n=1y(1)=ay(0)+δ(1)=an=2y(2)=ay(1)+δ(2)=a2…n=ny(n)=an(2)设初始条件:y(-1)=1n=0y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)an=2y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2…n=ny(n)=(1+a)an最后得到:y(n)=(1+a)anu(n)

例２.设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，输入信号x(n)=δ(n)。已知当n>0时，y(n)=0，求输出信号y(n)。 解因为例题中已假设n>0时,y(n)=0，只能向n<0方向递推，先把差分方程写成下面形式:y(n-1)=a-1［y(n)-δ(n)］n=1y(0)=a-1［y(1)-δ(1)］=0n=0y(-1)=a-1［y(0)-δ(0)］=-a-1n=-1y(-2)=a-1［y(-1)-δ(-1)］=-a-2…

按照上面递推规律，归纳得到y(n-1)=-an-1，再用n代替式中的n-1，将最后的结果写成

y(n)=-anu(-n-1)观察上式，由于初始条件限制，确实得到的是一个非因果的输出信号。 例３.设因果系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，0<a<1，y(-1)=1，试分析该系统是否是线性、时不变系统。

解为了分析系统是否具有线性、时不变性质，在上面假设的初始条件下，先分别求出系统对于以下三种不同输入信号的输出，然后再分析判断。

(1)x(n)=δ(n),系统的输出用y1(n)表示。 y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)

该情况在例1中已求出，系统的输出为

y1(n)=(1+a)anu(n)

(2)x(n)=δ(n-1),系统的输出用y2(n)表示。y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)n=0y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=an=1y2(1)=ay2(0)+δ(0)=1+a2n=2y2(2)=ay2(1)+δ(1)=(1+a2)a…ny2(n)=(1+a2)an-1最后得到：y2(n)=(1+a2)an-1

u(n-1)+aδ(n)

(3)x(n)=δ(n)+δ(n-1),系统的输出用y3(n)表示。

y3(n)=ay3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)

n=0y3(0)=ay3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+a

n=1y3(1)=ay3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2

n=2y3(2)=ay3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+a2)a …

ny3(n)=(1+a+a2)an-1

最后得到： y3(n)=(1+a+a2)an-1u(n-1)+(1+a)δ(n) 由(1)和(2)得到：

y1(n)=T［δ(n)］

y2(n)=T［δ(n-1)］

y1(n)=(1+a)anu(n)

y2(n)=(1+a2)an-1u(n-1)+aδ(n)

观察y1(n)和y2(n)，它们的输入信号类型相同，只是y2(n)的输入信号比y1(n)输入信号延时一个单位;如果是时不变系统，y2(n)比y1(n)只是延时一个单位，但是

y2(n)≠y1(n-1)因此可断言这是一个时变系统。情况(3)的输入信号是情况(1)和情况(2)输入信号的相加信号，如果是线性系统，应具有线性叠加性质，但是y3(n)=T［δ(n)+δ(n-1)］y3(n)≠y1(n)+y2(n)y3(n)≠T［δ(n)］+T［δ(n-1)］

因此该系统也不是线性系统。但是如果将该例的初始条件改为y(-1)=0，这时对应于上面的三种情况的输出信号为y1(n)=anu(n)y2(n)=an-1u(n-1)y3(n)=(1+a)an-1u(n-1)+δ(n)=an-1u(n-1)+anu(n-1)+δ(n)=an-1u(n-1)+anu(n)例:已知常系数线性差分方程为

y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样响应h(n).解：因果系统有h(n)=0,n<0;方程可写作:

y(n)=ay(n-1)+x(n)

1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。注意：

对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。研究内容：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）由离散信号恢复连续信号的条件

采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。

1-4连续时间信号的抽样一、时域采样离散样值，如下图所示。采样就是利用“采样器”，从连续信号中“抽取”信号的时域采样是用数字技术处理连续信号的重要环节。xs(t)x(t)采样器0xs(t)t0x(t)t1.采样过程离散的样值函数通常称为“采样”信号。“采样”也称表示。采样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还须经量化编码转变为数字信号。所以数字信号是时间离散化，样值量化并被编码的信号。“取样”、“抽样”。采样信号是离散信号，一般用xs(t)b最简单的采样器如上图所示，是一个电子开关。电子开关的作用，可以用一个如上图b所示的乘法器开关接通，信号通过，开关断开，信号被短路。而这个等效。乘法器输出为零，等效为开关断开，信号通不过去，图中的p(t)是周期性开关函数。当p(t)为零时，xs(t)x(t)axs(t)x(t)p(t)p(t)0时信号通过。

实际抽样：tp(t)0tTp(t)为脉冲序列…理想抽样：tt…（冲激序列）周期开关函数p(t)的傅氏级数为对上式取傅氏变换，得到周期开关函数p(t)的频谱此时频谱应为二者的卷积，即因为xs(t)是x(t)与p(t)的乘积，由频域卷积定理可知，p(t)=Pnejnstn=P()=F[p(t)]=F[

Pnejnst]n==

PnF[ejnst]n==2

Pn(ns)n=将得到Pn为加权系数。xs(t)Xs()

=2X()P()1Xs()

=2X()12

Pn(ns)n==

PnX(ns)n=上式表明，时域采样信号频谱

Xs()，是原信号频谱X

()以采样角频率

s为间隔的周期重复，其中在理想取样情况下，不难推出序列的频谱函数。=

(tnT)n=p(t)

=T(t)式中，

T=2/s是取样周期Xs(j)xs(t)

=x(t)

T(t)s为取样角频率

=

x(nT)

(tnT)n=xs(t)Xs

()所以可得Pn=(t)ejnstdt=T/2T1T/2=

PnX(ns)n==

X(ns)n=T1[

+X(+s)+X()+X(s)+]

T1=n=0

n=1

n=1T1是常数1/T

。上式表示，理想采样的频谱

Xs()，是原信号频谱X()的加权周期重复，其中周期为

s，加权系数[

+X(+s)+X()+X(s)+]

T1Xs

()=理想采样信号与频谱如图所示。01X()mm0x(t)t…(1)0…p(t)T2Tt…0xs(t)2TTt……Xs()ssmm1/T……P()sss如果从调制的角度分析可以认为X()是基带频谱，谱Xs()是由基带频谱与各次谐波调制频谱组成的。而X(±s)是一次谐波调制频谱，X(±2s)是二次谐波调制频谱，以此类推。这样，理想采样的频m1m1mmXs()m<s

/2m<s/2<m1

X(j)0……ssmm2s

1/Ts

20m=s/2ssmm2s

1/Ts

2Xs()0X(j)有混叠的重复。s/2<m1

x(t)为一限带信号，最高频率m

s/2，则Xs(j)是X(j)没有混叠的重复，若最高频率m>

s/2，则是Xs()0ss2ss

2m1m1

1/T2.取样定理定。对于一个带限信号，其取样频率必须大于信号最高频率的两倍，这就是奈奎斯特取样频率。或m

s/2s2mT=1/fs

1/2fm一个频谱受限的信号x(t)，其最高频率为fm，可以用不大于T=1/(2fm)的时间间隔进行抽样的抽样值唯一地确

实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率max更大些，如Ωs>(3~5)max。同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。例:确定信号x(t)=Sa(50t)的奈奎斯特频率。解x(t)=Sa(50t)

，利用傅里叶变换的对称性可得式中g100

()是中心在原点，宽度为100，幅度为1的门函数。即X(j)是最高角频率为m=50rad/s的

501/50

>500X(j)=g100

()501=的奈奎斯特频率fs=50Hz。矩形频谱函数，信号的最高频率fm=25Hz，所以x(t)二、原信号的恢复（插值）对采样我们所讨论的是采样信号与被采样信号频谱之间的插值所要讨论的问题是与之相逆的问题，即是已知在号的频谱是被采样信号频谱没有重叠的周期重复。信息。从频谱分析可见，当满足奈奎斯特频率时，采样信关系。由此可知采样信号是否不失真地包含被采样信号的系。即如何从xs(t)恢复x(t)。

基带内Xs(j)等于X(j)，讨论它们时域信号对应的关中恢复原信号,其中低通的截止频率应满足：通过一个基带滤波器（低通），可以提取x(t)H()是理想低通滤波器,可以从满足采样定理的xs(t)

CT式中H(j)=0

>CXs()

H()

=X()m≤c≤sm

图

由理想低通恢复原信号的过程xs(t)x(t)

h(t)0xs(t)t0x(t)tT0H()cc0X()mm0……Xs()mm采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：

也就恢复了模拟信号：

实际上，理想低通滤