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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年广东体育职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.在对两个变量x,y进行线性回归分析时,有下列步骤:
①对所求出的回归直线方程作出解释;
②收集数据(xi,yi),i=1,2,…,n;
③求线性回归方程;
④求相关系数;
⑤根据所搜集的数据绘制散点图.
如果根据可形性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论,则在下列操作顺序中正确的是()
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①答案:D2.BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,PD⊥BC于点D,则图中共有直角三角形的个数是()A.8B.7C.6D.5答案:∵AP⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC,又PD⊥BC于D,连接AD,PD∩PA=A,∴BC⊥平面PAD,AD?平面PAD,∴BC⊥AD;又BC是Rt△ABC的斜边,∴∠BAC为直角,∴图中的直角三角形有:△ABC,△PAC,△PAB,△PAD,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB.故为:8.3.已知双曲线的两条准线将两焦点间的线段三等分,则双曲线的离心率是______.答案:由题意可得2c×13=2a2c,∴3a2=c2,∴e=ca=3,故为:3.4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0),过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D,交y轴于点Q,交直线l:y=p2于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.
(1)求证:△AFQ为等腰三角形,并求抛物线C的方程;
(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上,过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P,交直线l于点N,求△PMN面积的最小值,并求取到最小值时的x1值.答案:(1)设A(x1,x122p),则A处的切线方程为l1:y=x1px-x122p,可得:D(x12,0),Q(0,-x212p)∴|FQ|=p2+x212p=|AF|;∴△AFQ为等腰三角形.由点A,Q,D的坐标可知:D为线段AQ的中点,∴|AF|=4,得:p2+x212p=4x21+p2=16∴p=2,C:x2=4y.(2)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为y=x22x-x224联立y=x22x-x224y=x12x-x214得到点P(x1+x22,x1x24),联立y=x12x-x214y=1得到点M(x12+2x1,1).同理N(x22+2x2,1),设h为点P到MN的距离,则S△=12|MN|•h=12×(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2
①设AB的方程为y=kx+b,则b>0,由y=kx+bx2=4y得到x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4kx1x2=-4b代入①得:S△=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb,要使面积最小,则应k=0,得到S△=(1+b)2bb②令b=t,得S△(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t,则S′△(t)=(3t2-1)(t2+1)t2,所以当t∈(0,33)时,S(t)单调递减;当t∈(33,+∞)时,S(t)单调递增,所以当t=33时,S取到最小值为1639,此时b=t2=13,k=0,所以y1=13,解得x1=233.故△PMN面积取得最小值时的x1值为233.5.曲线x=sin2ty=sint(t为参数)的普通方程为______.答案:因为曲线x=sin2ty=sint(t为参数)∴sint=y,代入x=sin2t,可得x=y2,其中-1≤y≤1.故为:x=y2,(-1≤y≤1).6.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是()A.6B.8C.10D.12答案:由双曲线的知识可知:C1x216-y29=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|+|PF2|=8而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,∴|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,∴|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|+|PF2|+2=8+2=10,故选C7.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是______.
B.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是______.
C.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=22,BE=1,BF=2,若CE与圆相切,则线段CE的长为______.答案:A.∵|x-5|+|x+3|≥10,∴当x≥5时,x-5+x+3≥10,∴x≥6;当x≤-3时,有5-x+(-x-3)≥10,∴x≤-4;当-4<x<5时,有5-x+x+3≥8,不成立;故不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是{x|x≤-4或x≥6};B.由ρ=-2sinθ得:ρ2=-2ρsinθ,即x2+y2=-2y,∴x2+(y+1)2=1,∴该圆的圆心的直角坐标为(-1,0),∴其极坐标是(1,3π2);C.∵DF=CF=22,BE=1,BF=2,依题意,由相交线定理得:AF•FB=DF•FC,∴AF×2=22×22,∴AF=4;又∵CE与圆相切,∴|CE|2=|EB|•|EA|=1×(1+2+4)=7,∴|CE|=7.故为:A.{x|x≤-4或x≥6};B.(1,3π2);C.7.8.已知向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行3km”,则向量a+b表示()A.向东北方向航行2kmB.向北偏东30°方向航行2kmC.向北偏东60°方向航行2kmD.向东北方向航行(1+3)km答案:如图,作OA=a,OB=b.则OC=a+b,所以|OC|=3+1=2,且sin∠BOC=12,所以∠BOC=30°.因此
a+b表示向北偏东30°方向航行2km.故选B.9.甲,乙两个工人在同样的条件下生产,日产量相等,每天出废品的情况如下表所列,则有结论:()
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些
B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些
C.两人的产品质量一样好
D.无法判断谁的质量好一些答案:B10.α为第一象限角是sinαcosα>0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:若α为第一象限角,则sinα>0,cosα>0,所以sinαcosα>0,成立.若sinαcosα>0,则①sinα>0,cosα>0,此时α为第一象限角.或②sinα<0,cosα<0,此时α为第三象限角.所以α为第一象限角是sinαcosα>0的充分不必要条件.故选A.11.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110为了判断爱好该项运动是否与性别有关,由表中的数据此算得k2≈7.8,因为P(k2≥6.635)≈0.01,所以判定爱好该项运动与性别有关,那么这种判断出错的可能性为______.答案:由题意知本题所给的观测值,k2≈7.8∵7.8>6.635,又∵P(k2≥6.635)≈0.01,∴这个结论有0.01=1%的机会说错,故为:1%12.若e1、e2、e3是三个不共面向量,则向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?请说明理由.答案:解:设c=1a+2b,则即∵a、b不共线,向量a、b、c共面.13.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案:圆心在x+y=0上,圆心的纵横坐标值相反,显然能排除C、D;验证:A中圆心(-1,1)到两直线x-y=0的距离是|2|2=2;圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离是62=32≠2.故A错误.故选B.14.A、B、C是我军三个炮兵阵地,A在B的正东方向相距6千米,C在B的北30°西方向,相距4千米,P为敌炮阵地.某时刻,A发现敌炮阵地的某信号,由于B、C比A距P更远,因此,4秒后,B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1千米).若从A炮击敌阵地P,求炮击的方位角.答案:以线段AB的中点为原点,正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系,则A(3,0)
B(-3,0)
C(-5,23)依题意|PB|-|PA|=4∴P在以A、B为焦点的双曲线的右支上.这里a=2,c=3,b2=5.其方程为
x24-y25=1
(x>0)…(3分)又|PB|=|PC|,∴P又在线段BC的垂直平分线上x-3y+7=0…(5分)由方程组x-3y+7=05x2-4y2=20解得
x=8(负值舍去)y=53即
P(8,53)…(8分)由于kAP=3,可知P在A北30°东方向.…(10分)15.已知x、y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7从散点图分析,y与x线性相关,且回归方程为y=0.95x+a,则a=______.答案:点(.x,.y)在回归直线上,计算得.x=2,.y=4.5;代入得a=2.6;故为2.6.16.直线x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点,则k的值是()
A.
B.-
C.2
D.-2答案:B17.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查,经过计算K2≈0.99,根据这一数据分析,下列说法正确的是()
A.有99%的人认为该栏目优秀
B.有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系
C.有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系
D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系答案:D18.若a,b∈{2,3,4,5,7},则可以构成不同的椭圆的个数为()
A.10
B.20
C.5
D.15答案:B19.向量a=i+
2j在向量b=3i+4j上的投影是______.答案:根据投影的定义可得:a在b方向上的投影为:|a|cos<a,b>=a?b|b|=1×3+2×452=115.故为:115.20.向量化简后等于()
A.
B.
C.
D.答案:C21.根据给出的程序语言,画出程序框图,并计算程序运行后的结果.
答案:程序框图:模拟程序运行:当j=1时,n=1,当j=2时,n=1,当j=3时,n=1,当j=4时,n=2,…当j=8时,n=2,…当j=11时,n=2,当j=12时,此时不满足循环条件,退出循环程序运行后的结果是:2.22.已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)三点,n=(1,1,1),则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是()A.垂直B.不垂直C.平行D.以上都有可能答案:由题意,AB=(-1,1,0),BC=(0,-1,1)∵n•AB=0,n•BC=0∴以n为方向向量的直线l与平面ABC垂直故选A.23.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f'(0)=0,所以,x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中()
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.结论正确答案:A24.直线L1:x-y=0与直线L2:x+y-10=0的交点坐标是()
A.(5,5)
B.(5,-5)
C.(-1,1)
D.(1,1)答案:A25.一条直线上顺次有A、B、C三点,且|AB|=2,|BC|=3,则C分有向线段AB的比为()
A.-
B.-
C.-
D.-答案:A26.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为()
A.3
B.-2
C.2
D.不存在答案:B27.如图,圆与圆内切于点,其半径分别为与,圆的弦交圆于点(不在上),求证:为定值。
答案:见解析解析:考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质,容易题。证明:由弦切角定理可得28.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正确的是()A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|答案:∵z1=5+3i,z2=5+4i,∴z1与z2为虚数,故不能比较大小,可排除A,B;又|z1|=34,|z2|=52+42=41,∴|z1|<|z2|,可排除C.故选D.29.复数32i+11-i的虚部是______.答案:复数32i+11-i=32i+1+i(1-i)(1+i)=32i+1+i2=12+2i∴复数的虚部是2,故为:230.圆柱的底面积为S,侧面展开图为正方形,那么这个圆柱的侧面积为()A.πSB.2πSC.3πSD.4πS答案:设圆柱的底面半径是R,母线长是l,∵圆柱的底面积为S,侧面展开图为正方形,∴πR2=S,且l=2πR,∴圆柱的侧面积为2πRl=4πS.故选D.31.已知A(-4,6,-1),B(4,3,2),则下列各向量中是平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量的是()A.(0,1,6)B.(-1,2,-1)C.(-15,4,36)D.(15,4,-36)答案:设平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量是u=(x,y,z)则u•OA=0u•OB=0,即-4x+6y-z=04x+3y+2z=0,令x=-1,解得x=-1y=2z=-1,故u=(-1,2,-1),故选B.32.已知|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,则|a+b|=______.答案:∵已知|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,∴a2=1,b2=4,a?b=1×2×cos60°=1,.∴|.a+b|2=a2+b2+2a?b=1+4+2=7,∴|.a+b|
=7,故为7.33.为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为40的样考虑用系统抽样,则分段的间隔k为______答案:由题意知本题是一个系统抽样,总体中个体数是1200,样本容量是40,根据系统抽样的步骤,得到分段的间隔K=120040=30,故为:30.34.关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负数根的绝对值比正数根大,那么实数m的取值范围是()
A.-3<m<0
B.0<m<3
C.m<-3或m>0
D.m<0或m>3答案:A35.已知点A(1,0,-3)和向量AB=(-1,-2,0),则点B的坐标为______.答案:设B(x,y,z),根据向量的坐标运算,AB=(x,y,z)
-
(1,0,-3)=(x-1,y,z+3)=(-1,-2,0)∴x=0,y=-2,z=-3.故为:(0,-2,-3).36.己知集合A={sinα,cosα},则α的取值范围是______.答案:由元素的互异性可得sinα≠cosα,∴α≠kπ+π4,k∈z.故α的取值范围是{α|α≠kπ+π4,k∈z},故为{α|α≠kπ+π4,k∈z}.37.将两粒均匀的骰子各抛掷一次,观察向上的点数,计算:
(1)共有多少种不同的结果?并试着列举出来.
(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率;
(3)两粒骰子点数之和为4或5的概率.答案:(1)每一粒均匀的骰子抛掷一次,都有6种结果,根据分步计数原理,所有可能结果共有6×6=36种.
…(4分)(2)两粒骰子点数之和等于3的倍数的有以下12种:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(6,6),共有12个结果,因此,两粒骰子点数之和等于3的倍数的概率是1236=13.
…(8分)(3)两粒骰子点数之和为4或5的有以下7种:(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1),因此,两粒骰子点数之和为4或5的概率为736.
…(12分)38.将函数="2x"+1的图像按向量平移得函数=的图像则
A=(1)B=(1,1)C=()
D(1,1)答案:C解析:分析:本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题.依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象,需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位,向下平移1个单位;故=(-1,-1).解:设=(h,k)则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x-h+1+k∴∴∴=(-1,-1)故答案为:C.39.若指数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4),则f(x)=______,g(x)=______.答案:设f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)=xα将(2,4)代入两个解析式得4=a2,4=2α解得a=2,α=2故为:f(x)=2x,g(x)=x240.(本小题满分10分)如图,D、E分别是AB、AC边上的点,且不与顶点重合,已知为方程的两根
(1)证明四点共圆
(2)若求四点所在圆的半径答案:(1)见解析;(2)解析:解:(Ⅰ)如图,连接DE,依题意在中,,由因为所以,∽,四点C、B、D、E共圆。(Ⅱ)当时,方程的根因而,取CE中点G,BD中点F,分别过G,F做AC,AB的垂线,两垂线交于点H,连接DH,因为四点C、B、D、E共圆,所以,H为圆心,半径为DH.,,所以,,点评:此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。41.附加题(必做题)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)设AD=λAB,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925,求λ的值;
(2)若点D是AB的中点,求二面角D-CB1-B的余弦值.答案:(1)以CA,CB,CC1分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标,因为AC=3,BC=4,AA1=4,所以A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),C1=(0,0,4),所以AC1=(-3,0,4),因为AD=λAB,所以点D(-3λ+3,4λ,0),所以CD=(-3λ+3,4λ,0),因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925,所以|cos<AC1,CD>|=|9λ-9|5(3-3λ)2+16λ2=925,解得λ=12.…(4分)(2)由(1)得B1(0,4,4),因为
D是AB的中点,所以D(32,2,0),所以CD=(32,2,0),CB1=(0,4,4),平面CBB1C1的法向量
n1=(1,0,0),设平面DB1C的一个法向量n2=(x0,y0,z0),则n1,n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角D-CB1-B的大小,由n2•CD=0n2•CB
1=0得32x0+2y0=04y0+4z0=0令x0=4,则y0=-3,z0=3,所以n2=(4,-3,3),∴cos<n1,n2>=n1•n2|n1|•|n2|=434=23417.所以二面角D-B1C-B的余弦值为23417.
…(10分)42.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径的两个端点,B、B′是下底直径的两个端点,已知AA′=14m,CC′=18m,BB′=22m,塔高20m.
(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程;
(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10m3,塔壁厚度不计,π取3.14).答案:(I)如图建立直角坐标系xOy,AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a=12AA′=7.又设B(11,y1),C(9,y2),因为点B、C在双曲线上,所以有11272-y21b2=1,①9272-y22b2=1,②由题意知y2-y1=20.③由①、②、③得y1=-12,y2=8,b=72.故双曲线方程为x249-y298=1;(II)由双曲线方程得x2=12y2+49.设冷却塔的容积为V(m3),则V=π∫y2y1x2dy=π∫8-12(12y2+49)dy=π(16y3+49y)|8-12,∴V≈4.25×103(m3).答:冷却塔的容积为4.25×103(m3).43.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()
A.有两个内角是直角
B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角
D.没有一个内角是直角答案:C44.函数f(x)=11+x2(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]答案:∵函数f(x)=11+x2(x∈R),∴1+x2≥1,所以原函数的值域是(0,1],故选B.45.下面是一个算法的伪代码.如果输出的y的值是10,则输入的x的值是______.答案:由题意的程序,若x≤5,y=10x,否则y=2.5x+5,由于输出的y的值是10,当x≤5时,y=10x=10,得x=1;当x>5时,y=2.5x+5=10,得x=2,不合,舍去.则输入的x的值是1.故为:1.46.两圆相交于点A(1,3)、B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为(
)
A.3
B.2
C.-1
D.0答案:A47.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时,若有99.5%的把握说事件A和B有关系,则具体计算出的数据应该是()
A.K2≥6.635
B.K2<6.635
C.K2≥7.879
D.K2<7.879答案:C48.若a1-i=1-bi,其中a,b都是实数,i是虚数单位,则|a+bi|=______.答案:a1-i=a(1+i)(1-i)(1+i)=a2+a2i=1-bi∴a=2,b=-1∴|a+bi|=a2+b2=5故为:5.49.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为300,则|a+b|等于()A.13B.15C.17D.19答案:∵|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为300,∴a?b=|a||b|cos30°=2×3×32=3则|a+b|=a2+2a?b+b2=13故选A50.如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直线OB于E、D,连接EC、CD.
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)若tan∠CED=12,⊙O的半径为3,求OA的长.答案:(1)如图,连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切线;(2)∵BC是圆O切线,且BE是圆O割线,∴BC2=BD?BE,∵tan∠CED=12,∴CDEC=12.∵△BCD∽△BEC,∴BDBC=CDEC=12,设BD=x,BC=2x.又BC2=BD?BE,∴(2x)2=x?(x+6),解得x1=0,x2=2,∵BD=x>0,∴BD=2,∴OA=OB=BD+OD=3+2=5.(10分).第2卷一.综合题(共50题)1.已知f(x)=3mx2-2(m+n)x+n(m≠0)满足f(0)•f(1)>0,设x1,x2是方程f(x)=0的两根,则|x1-x2|的取值范围为()
A.[,)
B.[,)
C.[,)
D.[,)答案:A2.一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示,则该几何体的侧面积等于()A.3B.6C.23D.2答案:由正视图知:三棱柱是以底面边长为2,高为1的正三棱柱,侧面积为3×2×1=6,故为:B.3.若某简单组合体的三视图(单位:cm)如图所示,说出它的几何结构特征,并求该几何体的表面积。答案:解:该几何体由球和圆台组成。球的半径为1,圆台的上下底面半径分别为1、4,高为4,母线长为5,S球=4πcm2,S台=π(12+42+1×5+4×5)=42πcm2,故S表=S球+S台=46πcm2。4.不等式-x≤1的解集是(
)。答案:{x|0≤x≤2}5.等于()
A.a
B.a2
C.a3
D.a4答案:B6.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为______.答案:过A点做BC的垂线,垂足为M',当M点落在线段BM'(含M'点不含B点)上时∠AMB≥90由∠A=90°,AB=1,BC=2解得BM'=12,则∠AMB≥90°的概率p=122=14.故为:147.已知f(x)=,则不等式xf(x)+x≤2的解集是(
)。答案:{x|x≤1}8.已知平面向量=(3,1),=(x,3),且⊥,则实数x的值为()
A.9
B.1
C.-1
D.-9答案:C9.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案:分别以A、B为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.故选B.10.已知平行四边形ABCD,下列正确的是()
A.
B.
C.
D.答案:B11.某校有老师300人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本,已知从女学生中抽取的人数为80,则n=()
A.171
B.184
C.200
D.392答案:C12.有四条线段,其长度分别为2,3,4,5,现从中任取三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是______.答案:所有的取法共有C34=4种,三条线段构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边,其中能够成三角形的取法有①2、3、4;②2、4、5;③3、4、5,共有3种,故这三条线段为边可以构成三角形的概率是34,故为34.13.某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验,则这种抽样方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.非上述答案答案:本题符合系统抽样的特征:总体中各单位按一定顺序排列,根据样本容量要求确定抽选间隔,然后随机确定起点,每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式.故选B.14.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)=1.06×(0.50×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数,若通话费为10.6元,则通话时间m∈______.答案:∵10.6=1.06(0.50×[m]+1),∴0.5[m]=9,∴[m]=18,∴m∈(17,18].故为:(17,18].15.圆x2+y2-4x=0,在点P(1,)处的切线方程为()
A.x+y-2=0
B.x+y-4=0
C.x-y+4=0
D.x-y+2=0答案:D16.在数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证()
A.n=1成立
B.n=2成立
C.n=3成立
D.n=4成立答案:C17.某班一天上午安排语、数、外、体四门课,其中体育课不能排在第一、第四节,则不同排法的种数为()A.24B.22C.20D.12答案:先排体育课,有2种排法,再排语、数、外三门课,有A33种排法,按乘法原理,不同排法的种数为2×A33=12.故选D.18.双曲线C的焦点在x轴上,离心率e=2,且经过点P(2,3),则双曲线C的标准方程是______.答案:设双曲线C的标准方程x2a2-y2b2=1,∵经过点P(2,3),∴2a2-3b2=1
①,又∵e=2=a2+b2a
②,由①②联立方程组并解得
a2=1,b2=3,双曲线C的标准方程是x2-y23=1,故为:x2-y23=1.19.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而y=logx是对数函数(小前提),所以y=logx是增函数(结论).”上面推理的错误是()
A.大前提错导致结论错
B.小前提错导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提都错导致结论错答案:A20.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A.4B.5C.6D.7答案:根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中各变量值变化如下表:是否继续循环
S
K循环前/0
0第一圈
是
1
1第二圈
是
3
2第三圈
是
11
3第四圈
是
20594第五圈
否∴最终输出结果k=4故为A21.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为______.答案:因为A(0,4)和点B(1,2),所以直线AB的斜率k=2-41-0=-2故为:-222.向面积为S的△ABC内任投一点P,则△PBC的面积小于S2的概率为______.答案:记事件A={△PBC的面积小于S2},基本事件空间是三角形ABC的面积,(如图)事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE是三角形的中位线),因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34,所以P(A)=阴影部分的面积三角形ABC的面积=34.故为:34.23.不等式log32x-log3x2-3>0的解集为()
A.(,27)
B.(-∞,-1)∪(27,+∞)
C.(-∞,)∪(27,+∞)
D.(0,)∪(27,+∞)答案:D24.已知某试验范围为[10,90],若用分数法进行4次优选试验,则第二次试点可以是(
)。答案:40或60(不唯一)25.下列赋值语句中正确的是()
A.m+n=3
B.3=i
C.i=i2+1
D.i=j=3答案:C26.(不等式选讲选做题)已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值______.答案:解法一:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+33),∴x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3,x+2y+3z=1,即x=114,y=17,z=314时取等号.即x2+y2+z2的最小值为114.解法二:设向量a=(1,2,3),b=(x,y,z),∵|a?b|≤|a|
|b|,∴1=x+2y+3z≤12+22+32x2+y2+z2,∴x2+y2+z2≥114,当且仅当a与b共线时取等号,即x1=y2=z3,x+2y+3z=1,解得x=114,y=17,z=314时取等号.故为114.27.向量b与a=(2,-1,2)共线,且a•b=-18,则b的坐标为______.答案:因为向量b与a=(2,-1,2)共线,所以设b=ma,因为且a•b=-18,所以ma2=-18,因为|a|=22+1+22=3,所以m=-2.所以b=ma=-2(2,-1,2)=(-4,2,-4).故为:(-4,2,-4).28.在极坐标系中,曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B,则|AB|=______.答案:将其化为直角坐标方程为x2+y2-4y=0,和x=1,代入得:y2-4y+1=0,则|AB|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y1=(4)2-4=23.故为:23.29.已知球的表面积等于16π,圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,圆台的轴截面的底角为π3,则圆台的轴截面的面积是()A.9πB.332C.33D.6答案:设球的半径为R,由题意4πR2=16,R=2,圆台的轴截面的底角为π3,可得圆台母线长为2,上底面半径为1,圆台的高为3,所以圆台的轴截面的面积S=12(2+4)×3=33故选C30.下列命题错误的是(
)A.命题“若,则中至少有一个为零”的否定是:“若,则都不为零”。B.对于命题,使得;则是,均有。C.命题“若,则方程有实根”的逆否命题为:“若方程无实根,则”。D.“”是“”的充分不必要条件。答案:A解析:命题的否定是只否定结论,∴选A.31.有外形相同的球分装三个盒子,每盒10个.其中,第一个盒子中7个球标有字母A、3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中则有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一号盒子中任取一球,若取得标有字母A的球,则在第二号盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,那么试验成功的概率为()
A.0.59
B.0.54
C.0.8
D.0.15答案:A32.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)•(2b)=-2,则x=______.答案:c-a=(0,0,1-x),(c-a)•(2b)
=(2,4,2)•(0,0,1-x)=2(1-x)=-2,解得x=2,故为2.33.下列函数中,定义域为(0,+∞)的是()A.y=1xB.y=xC.y=1x2D.y=12x答案:由于函数y=1x的定义域为(0,+∞),函数y=x的定义域为[0,+∞),函数y=1x2的定义域为{x|x≠0},函数y=12x的定义域为R,故只有A中的函数满足定义域为(0,+∞),故选A.34.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是()
A.(1)的假设错误,(2)的假设正确
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确,(2)的假设错误
D.(1)与(2)的假设都错误答案:A35.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()
A.8
B.24
C.48
D.120答案:C36.P是直线3x+y+1=0上一点,P到点Q(0,2)距离的最小值是______.答案:过点Q作直线的垂线段,当P是垂足时,线段PQ最短,故最小距离是点Q(0,2)到直线3x+y+1=0的距离d,d=|0+2+1|3+1=32=1.5.∴P到点Q(0,2)距离的最小值是1.5;故为1.5.37.表示随机事件发生的可能性大小的数叫做该事件的______.答案:根据概率的定义:表示随机事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率;一个随机事件发生的可能性很大,那么P的值接近1又不等于1,故为:概率.38.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为()
A.6
B.8
C.10
D.15答案:C39.直线y=x-1的倾斜角是()
A.30°
B.120°
C.60°
D.150°答案:A40.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0的圆心在点C,点A(3,5),求:
(1)过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.答案:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.当切线的斜率不存在时,对直线x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件;当k存在时,设直线y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,∴|-k+2|k2+1=1,得k=34.∴得直线方程x=3或y=34x+114.(2)|AO|=9+25=34,l:5x-3y=0,d=134,S=12d|AO|=12.41.用样本估计总体,下列说法正确的是()A.样本的结果就是总体的结果B.样本容量越大,估计就越精确C.样本容量越小,估计就越精确D.样本的方差可以近似地反映总体的平均状态答案:用样本估计总体时,样本容量越大,估计就越精确,样本的平均值可以近似地反映总体的平均状态,样本的标准差可以近似地反映总体的波动状态,数据的方差越大,说明数据越不稳定,样本的结果可以粗略的估计总体的结果,但不就是总体的结果.故选B.42.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案:抛物线y2=8x的准线为x=-2,∵点P到y轴的距离是4,∴到准线的距离是4+2=6,根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B43.不等式的解集是
(
)A.B.C.D.答案:B解析:当时,不等式成立;当时,不等式可化为,解得综上,原不等式解集为故选B44.圆x2+y2=1在矩阵A={}对应的变换下,得到的曲线的方程是()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1答案:C45.已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.
(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;
(Ⅱ)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.答案:(Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A,C在椭圆上,所以△=-12n2+64>0,解得-433<n<433.设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=3n2,x1x2=3n2-44,y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2=n2.所以AC的中点坐标为(3n4,n4).由四边形ABCD为菱形可知,点(3n4,n4)在直线y=x+1上,所以n4=3n4+1,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|.所以菱形ABCD的面积S=32|AC|2.由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162,所以S=34(-3n2+16)(-433<n<433).所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值43.46.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,那么实数m的取值范围是()
A.
B.(-2,0)
C.(-2,1)
D.(0,1)答案:C47.已知双曲线的两渐近线方程为y=±32x,一个焦点坐标为(0,-26),
(1)求此双曲线方程;
(2)写出双曲线的准线方程和准线间的距离.答案:(1)由题意得,c=26,ba=32,26=a2+b2,∴a2=18,b2=8,故该双曲线的标准方程为y218-x28=1.(2)由(1)得,双曲线的准线方程为y=±1826x;准线间的距离为2a2c=2×1826=182613.48.如图为一个求50个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为()
A.i>50
B.i<50
C.i>=50
D.i<=50
答案:A49.已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=.z0•.z,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式:
(Ⅱ)将(x、y)用为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(3,2),试求点P的坐标;
(Ⅲ)若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上,试求k的值.答案:(I)由题设得,|w|=|.z0•.z|=|z0||z|=2|z|,∴|z0|=2,由1+m2=4,且m>0,得m=3,∴z0=1-3i,∵w=.z0•.z,∴x′+y′i=.(1-3i)•.(x+yi))=(1+3i)(x-yi)=x+3y+(3x-y)i,由复数相等得,x′=x+3yy′=3x-y,(Ⅱ)由(I)和题意得,x+3y=33x-y=2,解得x=343y=14
,即P点的坐标为(343,14).
(Ⅲ)∵直线y=kx上的任意点P(x,y),其经变换后的点Q(x+3y,3x-y)仍在该直线上,∴3x-y=k(x+3y),即(3k+1)y=(3-k)x∵当k=0时,y=0,y=3x不是同一条直线,∴k≠0,于是3k+11=3-kk,即3k2+2k-3=0,解得k=33或k=-350.若21-i=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=______.答案:∵21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,∵21-i=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2.故为:2第3卷一.综合题(共50题)1.如图所示,已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线
BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.答案:(1)DP与CC′所成的角为45°(2)DP与平面AA′D′D所成的角为30°解析:如图所示,以D为原点,DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则=(1,0,0),=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设="(m,m,1)"(m>0),由已知〈,〉=60°,由·=||||cos〈,〉,可得2m=.解得m=,所以=(,,1).(1)因为cos〈,〉==,所以〈,〉=45°,即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).因为cos〈,〉==,所以〈,〉=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.2.(不等式选讲选做题)已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则3a+1+3b+1+3c+1的最大值为______.答案:根据柯西不等式,可得(3a+1+3b+1+3c+1)2=(1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1)2≤(12+12+12)[(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2]=3[3(a+b+c)+3]=18当且仅当3a+1=3b+1=3c+1),即a=b=c=13时,(3a+1+3b+1+3c+1)2的最大值为18因此3a+1+3b+1+3c+1的最大值为32.故为:323.设曲线C的方程是,将C沿x轴,y轴正向分别平移单位长度后,得到曲线C1.(1)写出曲线C1的方程;(2)证明曲线C与C1关于点A(,)对称.答案:(1)(2)证明略解析:(1)由已知得,,则平移公式是即代入方程得曲线C1的方程是(2)在曲线C上任取一点,设是关于点A的对称点,则有,,代入曲线C的方程,得关于的方程,即可知点在曲线C1上.反过来,同样可以证明,在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上,因此,曲线C与C1关于点A对称.4.为了检测某种产品的直径(单位mm),抽取了一个容量为100的样本,其频率分布表(不完整)如下:
分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)
(Ⅰ)完成频率分布表;
(Ⅱ)画出频率分布直方图;
(Ⅲ)据上述图表,估计产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几?答案:解(Ⅰ)分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)72240.24[11.25,11.35)84120.12[11.35,11.45)9280.08[11.45,11.55)9860.06[11.55,11.65)10020.02(Ⅲ)0.15+0.18+0.24+0.12=0.69=69%,所以产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性为69%.5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()
A.2+
B.
C.
D.1+答案:A6.若f(x)=exx≤0lnxx>0,则f(f(12))=______.答案:∵f(x)=ex,x≤0lnx,x>0,∴f(f(12))=f(ln12)=eln12=12.故为:12.7.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩,并根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图.为了进一步分析学生的总成绩与各科成绩等方面的关系,要从这10000名学生中,再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查,则总成绩在[400,500)内共抽出()
A.100人
B.90人
C.65人
D.50人
答案:B8.已知集合A={x|log2x<1},B={x|0<x<c,其中c>0},若A=B,则c=______.答案:集合A={x|log2x<1}={x|0<x<2},B={x|0<x<c,其中c>0},若A=B,则c=2,故为2.9.某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元,若一次采购数量达到一定量,还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图,若一次采购85台该平板电脑,则S=______元.答案:分析程序中各变量、各语句,其作用是:表示一次采购共需花费的金额,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数S=200×0.8?x,x>100200×0.9?x,50<x≤100200?x,0<x≤50的值,∵x=85,∴S=200×0.9×85=15300(元),故为:15300.10.设a=(-1,1),b=(x,3),c=(5,y),d=(8,6),且b∥d,(4a+d)⊥c.
(1)求b和c;
(2)求c在a方向上的射影;
(3)求λ1和λ2,使c=λ1a+λ2b.答案:(1)∵b∥d,∴6x-24=0.∴x=4.∴b=(4,3).∵4a+d=(4,10),(4a+d
)⊥c,∴5×4+10y=0.∴y=-2.∴c=(5,-2).(2)cos<a,c>=a•c|a|
|c|=-5-22•29=-75858,∴c在a方向上的投影为|c|cos<a,c>=-722.(3)∵c=λ1a+λ2b,∴5=-λ1+4λ2-2=λ1+3λ2,解得λ1=-237,λ2=37.11.设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则a的范围为______.答案:∵f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,∴2a-1<0,解得a<12.故为:a<12.12.由1、2、3可以组成______个没有重复数字的两位数.答案:没有重复数字的两位数共有3×2=6个故为:613.已知抛物线y=14x2,则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为______.答案:抛物线y=14x2的标准方程为x2=4y的焦点F(0,1),对称轴为y轴所以抛物线y=14x2,则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为y=1故为y=1.14.规定运算.abcd.=ad-bc,则.1i-i2.=______.答案:根据题目的新规定知,.1i-i2.=1×2-(-i)i=2+i2=2-1=1.故为:1.15.如果随机变量ξ~N(0,σ2),且P(-2<ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:A16.设函数f(x)的定义域为D,如果对于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)2=C成立(其中C为常数),则称函数y=f(x)在D上的均值为C,现在给出下列4个函数:①y=x3②y=4sinx③y=lgx④y=2x,则在其定义域上的均值为
2的所有函数是下面的()A.①②B.③④C.①③④D.①③答案:由题意可得,均值为2,则f(x1)+f(x2)2=2即f(x1)+f(x2)=4①:y=x3在定义域R上单调递增,对应任意的x1,则存在唯一x2满足x13+x23=4①正确②:y=4sinx,满足4sinx1+4sinx2=4,令x1=π2,则根据三角函数的周期性可得,满足sinx2=0的x2无穷多个,②错误③y=lgx在(0,+∞)单调递增,对应任意的x1>0,则满足lgx1+lgx2=4的x2唯一存在③正确④y=2x满足2x1+2x2=4,令x1=3时x2不存在④错误故选D.17.已知双曲线x2-y22=1,经过点M(1,1)能否作一条直线l,使直线l与双曲线交于A、B,且M是线段AB的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,说明理由.答案:设过点M(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1(1)当k存在时有y=k(x-1)+1x2
-y22=1得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0
(1)当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<32
又方程(1)的两个不同的根是两交点A、B的横坐标∴x1+x2=2(k-k2)2-k2
又M(1,1)为线段AB的中点∴x1+x22=1
即k-k22-k2=1
k=2
∴k=2,使2-k2≠0但使△<0因此当k=2时,方程(1)无实数解故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.(2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,综上,符合条件的直线l不存在18.如图,点O是正六边形ABCDEF的中心,则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点,与始点不同的另一点为终点的所有向量中,除向量外,与向量共线的向量共有()
A.2个
B.3个
C.6个
D.9个
答案:D19.已知a=(2,-1,1),b=(-1,4,-2),c=(λ,5,1),若向量a,b,c共面,则λ=______.答案:∵a、b、c三向量共面,∴c=xa+yb,x,y∈R,∴(λ,5,1)=(2x,-x,x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,x-2y),∴2x-y=λ,-x+4y=5,x-2y=1,解得x=7,y=3,λ=11;故为;
11.20.已知某几何体的三视图如图,画出它的直观图,求该几何体的表面积和体积.答案:由三视图可知:该几何体是由下面长、宽、高分别为4、4、2的长方体,上面为高是2、底面是边长分别为4、4的矩形的四棱锥,而组成的几何体.它的直观图如图.∴S表面积=4×2×4+4×4+4×12×4×22=48+162.V体积=4×4×2+13×4×4×2=1283.21.已知=(1,2),=(x,1),当(+2)⊥(2-)时,实数x的值为(
)
A.6
B.2
C.-2
D.或-2答案:D22.已知函数f(x)=2x+a的图象不过第三象限,则常数a的取值范围是
______.答案:函数f(x)=2x+a的图象可根据指数函数f(x)=2x的图象向上(a>0)或者向下(a<0)平移|a|个单位得到,若函数f(x)=2x+a的图象不过第三象限,则只能向上平移或者不平移,因此,a的取值范围是a≥0.故为:a≥0.23.用秦九韶算法求多项式
在的值.答案:.解析:可根据秦九韶算法原理,将所给多项式改写,然后由内到外逐次计算即可.
而,所以有,,,,,.即.【名师指引】利用秦九韶算法计算多项式值关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内到外逐次计算,由于后项计算需用到前项的结果,故应认真、细心,确保中间结果的准确性.24.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.答案:由于台体的体积V=13(S+SS′+S′)h,则h=3VS+SS′+S′=3×1900003600+2400+1600=75cm.故它的深度为75cm.25.参数方程为t为参数)表示的曲线是()
A.一条直线
B.两条直线
C.一条射线
D.两条射线答案:D26.已知直线l:x=2+ty=1-at(t为参数),与椭圆x2+4y2=16交于A、B两点.
(1)若A,B的中点为P(2,1),求|AB|;
(2)若P(2,1)是弦AB的一个三等分点,求直线l的直角坐标方程.答案:(1)直线l:x=2+ty=1-at代入椭圆方程,整理得(4a2+1)t2-4(2a-1)t-8=0设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-84a2+1,∵A,B的中点为P(2,1),∴t1+t2=0解之得a=12,∴t1t2=-4,∵|AP|=12+(-12)2|t1|=52|t1|,|BP|=52|t2|,∴|AB|=52(|t1|+|t1|)=52×(t1+t2)2-4t1t2=25,(2)P(2,1)是弦AB的一个三等分点,∴|AP|=12|PB|,∴1+a2|t1|=21+a2|t2|,⇒t1=-2t2,∴t1+t2=-t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-2t
22=-84a2+1,∴t
22=44a2+1,∴16(2a-1)2(4a2+1)2=44a2+1,解得a=4±76,∴直线l的直角坐标方程y-1=4±76(x-2).27.|a|=4,a与b的夹角为30°,则a在b方向上的投影为______.答案:a在b方向上的投影为|a|cos30°=4×32=23故为:2328.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0答案:A29.求证:定义在实数集上的单调减函数y=f(x)的图象与x轴至多只有一个公共点.答案:证明:假设函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点…(2分)设交点的横坐标分别为x1,x2,且x1<x2.因为函数y=f(x)在实数集上单调递减所以f(x1)>f(x2),…(6分)这与f(x1)=f(x2)=0矛盾.所以假设不成立.
…(12分)故原命题成立.…(14分)30.对于空间四点A、B、C、D,命题p:AB=xAC+yAD,且x+y=1;命题q:A、B、C、D四点共面,则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:根据命题p:AB=xAC+yAD,且x+y=1,可得AB
、AC
、AD
共面,从而可得命题q:A、B、C、D四点共面成立,故命题p是命题q的充分条件.根据命题q:A、B、C、D四点共面,可得A、B、C、D四点有可能在同一条直线上,若AB=xAC+yAD,则x+y不一定等于1,故命题p不是命题q的必要条件.综上,可得命题p是命题q的充分不必要条件.故选:A.31.如图是集合的知识结构图,如果要加入“全集”,则应该放在()
A.“集合的概念”的下位
B.“集合的表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位答案:D32.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是()
A.P>Q
B.P=Q
C.P<Q
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