高中数学北师大版1第一章常用逻辑用语 第1章

第一章§1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列语句：①3>2；②π是有理数吗？③sin30°＝eq\f(1,2)；④x2－1＝0有一个根是x＝－1；⑤x>2.其中是命题的是()A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤解析：②是一般疑问句不是命题；⑤无法判断真假，不是命题．答案：B2．下列命题中真命题的个数为()①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：①错．②错，若xy＝0则x，y至少一个为0，而未必|x|＋|y|＝0.③对，同向不等式，两边加上同一个常数．不等号不变．④错．答案：A3．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．4 B．3C．2 D．1解析：原命题与逆否命题为真，逆命题：“△ABC为等腰三角形，则AB＝AC”是假命题，因为还可以是AB＝BC，所以否命题也是假命题．答案：C4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中是真命题的是()A．①② B．②③C．①③ D．③④解析：①逆命题：若x、y互为倒数，则xy＝1是真命题．②否命题：不相似的三角形周长不相等是假命题．③方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b＞0是真命题．④若A⊉B，则A∪B≠B是假命题．答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出下列命题①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实根；③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；④若p＞0，则p2＞p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①c＝0时，a不一定等于b，假命题．②此方程无实根，假命题．③结论成立，真命题．④0＜p≤1时结论不成立，假命题．⑤不成立，假命题．答案：③①②④⑤6．将“偶函数的图像关于y轴对称”，写成“若p，则q”的形式，则p：________，q：________.解析：弄清命题的条件和结论．答案：一个函数是偶函数其图像关于y轴对称三、解答题(每小题10分，共20分)7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m＜eq\f(1,4)时，方程mx2－x＋1＝0有实根；(2)实数的平方是非负实数；(3)互相垂直的两直线斜率乘积等于－1.解析：(1)若m＜eq\f(1,4)，则方程mx2－x＋1＝0有实根，真命题．因为方程mx2－x＋1＝0有无实根取决于判别式Δ＝1－4m，当m＜eq\f(1,4)时，Δ＞0，故当m＜eq\f(1,4)时，方程mx2－x＋1＝0有实根为真命题；(2)若x∈R，则x2≥0，真命题．(3)若两条直线互相垂直，则这两条直线的斜率乘积等于－1.假命题．当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时两条直线垂直，而斜率乘积不等于－1.8．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝1，则a＝1且b＝1.解析：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为真命题．否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命题．(2)逆命题：若a＝1且b＝1，则ab＝1，真命题．否命题：若ab≠1，则a≠1或b≠1，真命题．逆否命题：若a≠1或b≠1，则ab≠1，假命题．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)在公比为q的等比数列{an}中前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列．(1)写出上述命题的逆命题；(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？解析：(1)逆命题：在公比为q的等比数列{an}中前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．(2)由{an}为等比数列知an≠0，q≠0，由am，am＋2，am＋1成等差数列得2am＋2＝am＋am＋1，即2am·q2＝am＋am·q.整理得2q2－q－1＝0解得q＝－eq\f(1,2)或q＝1.当q＝1时an＝a1(n＝1,2，…)则Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＝ma1，Sm＋1＝(m＋1)a1，又2(m＋2)a1≠ma1＋(m＋1)a1，即2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，所以Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．故当q＝1时原命题的逆命题为假命题．当q＝－eq\f(1,2)时，2Sm＋2＝2·eq\f(a11－qm＋2,1－q)＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))m)),3)，Sm＋1＝eq\f(a11－qm＋1,1－q)＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))m)),3)，又Sm＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))m)),3)，∴Sm＋Sm＋1＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\