控制工程课件第3章时域分析法(新)

第三章控制系统的时域分析法§3.1

典型输入信号§3.2一阶系统的时间响应§3.3二阶系统的时间响应§3.4二阶系统的性能指标§3.5误差分析和计算§3.6稳定性分析

本章主要内容重点：二阶系统的时域响应及其性能指标。难点：二阶系统时域响应的数学表达式。§3.1典型输入信号

在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。

时域分析的目的

在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便

一、典型输入信号§3.1典型输入信号二、对典型输入信号的要求能够反映系统工作在最不利的情形；形式简单，便于解析分析；实际中可以实现或近似实现。

常用的典型输入信号的数学表达Asint

正弦信号

1(t)，t=0单位脉冲信号

单位加速度信号

t，

t0单位速度(斜坡)信号

1(t)，t0单位阶跃信号

复数域表达式

时域表达式

名

称

§3.1典型输入信号§3.2

一阶系统的时间响应一阶系统：一、一阶系统的单位阶跃响应凡是能够用一阶微分方程描述的系统。典型形式：输入信号：输出：极点（特征根）：1斜率=1/T0xo(t)t1T0.632A63.2%B2T86.5%3T95%4T98.2%5T99.3%99.8%6T§3.2一阶系统的时间响应1T4T10xo(t)t63.2%98.2%☆一阶系统单位阶跃响应的特点（1）响应分为两部分

（2）无稳态误差稳态响应瞬态响应表示t时，系统的输出状态。稳态响应表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）

瞬态响应§3.2一阶系统的时间响应（3）xo(0)=0，xo()=1，且无振荡。1T4T10xo(t)t63.2%98.2%☆一阶系统单位阶跃响应的特点（4）xo(T)=1-e-1=0.632

xo(3T)=1-e-3=0.95

xo(4T)=1-e-4=0.982通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为系统瞬态（动态）响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。时间常数T反映了系统响应的快慢。§3.2一阶系统的时间响应二、一阶系统的单位速度响应§3.2一阶系统的时间响应☆一阶系统单位速度响应的特点（1）

经过足够长的时间(稳态时，如：t4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：t–T，即输出相对于输入滞后时间T；

（2）系统响应误差为：§3.2一阶系统的时间响应三、一阶系统的单位脉冲响应0§3.2一阶系统的时间响应☆一阶系统单位脉冲响应的特点

瞬态响应：(1/T)e–t/T；稳态响应：0；

xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽

度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉

冲代替理想脉冲信号。

§3.2一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应1.单位阶跃响应2.单位速度响应3.单位脉冲响应注意观察输入信号及相应输出之间的联系！§3.2一阶系统的时间响应线性定常系统时间响应的性质

系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。

注意到：即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入－输出间的积分、微分性质对任何线性定常系统均成立。§3.2一阶系统的时间响应例：温度计的传递函数为,现在用该温度计测量一容器内水的温度，发现需要1min的时间才能指示出实际水温的98%的数值，求此温度计的时间常数T。如果给容器加热，使水温以100C/min的温度变化，此温度计的稳态指示误差是多少？解：（1）时间常数T近似解法：对于一阶系统，当t4T时，温度可升高实际温度的98%，即：4T=1min（2）稳态误差此时，解：（1）时间常数T精确解法：（2）稳态误差此时，例：已知系统的传递函数为：试求系统的的单位阶跃响应和单位脉冲响应。解：（1）系统单位阶跃输入时，（2）当单位脉冲输入时，§3.3二阶系统的时间响应二阶系统：其中：T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。

称为阻尼比；n＝1/T

为系统的无阻尼固有频率。一、二阶系统的特征方程：极点（特征根）：（凡是能够用二阶微分方程描述的系统）1.欠阻尼二阶系统（振荡环节）：

0<<1具有一对共轭复数极点：2.临界阻尼二阶系统：

＝1具有两个相等的负实数极点：3.过阻尼二阶系统：

>1具有两个不相等的负实数极点：§3.3二阶系统的时间响应4.零阻尼二阶系统：＝0具有一对共轭虚极点：5.负阻尼二阶系统：<0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。§3.3二阶系统的时间响应1.欠阻尼（0<<1）状态输入信号：单位阶跃1(t),其拉氏变换为：由传递函数的定义可得到二阶系统的输出为：二、二阶系统的单位阶跃响应§3.3二阶系统的时间响应式中，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应

§3.3二阶系统的时间响应欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线=0.2=0.4=0.6=0.85101500.20.40.60.811.21.41.61.82xo(t)t§3.3二阶系统的时间响应欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点

xo()=1，无稳态误差；

瞬态分量为振幅等于的正弦振荡。

振荡幅值随

减小而加大。其振幅衰减的快慢由和n决定。阻尼振荡频率为：§3.3二阶系统的时间响应10txo(t)

特点●单调上升，无振荡、无超调；

●

xo()=1，无稳态误差。2.临界阻尼（

=1）状态具有两个相等的负实数极点：§3.3二阶系统的时间响应3.过阻尼（>1）状态§3.3二阶系统的时间响应3.过阻尼（>1）状态

特点单调上升，无振荡，过渡过程时间长。

xo()=1，无稳态误差。该分量影响大当大于1.25时，可忽略。§3.3二阶系统的时间响应4.无阻尼（=0）状态210txo(t)特点频率为n的等幅振荡。§3.3二阶系统的时间响应几点结论1.二阶系统的阻尼比

决定了其振荡特性：▲

<0时，阶跃响应发散，系统不稳定；▲

1时，无振荡、无超调，过渡过程长；▲0<<1时，有振荡，

愈小，振荡愈严重，但响应愈快。▲

=0时，出现等幅振荡。

工程应用中，除了有些场合不允许产生振荡（如指示和记录仪表系统等）外，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择0.4～0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。

一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。§3.3二阶系统的时间响应§3.3二阶系统的时间响应三、二阶系统的单位脉冲响应输入信号：二阶系统传递函数：二阶系统的输出为：

>1：§3.3二阶系统的时间响应0txo(t)

>1

=1

<1

=1：

0<<1：

=0：

>1：四、二阶系统的单位速度响应

>1：

=1：

0<<1：

=0：§3.3二阶系统的时间响应高阶系统的时间响应

高阶系统的单位阶跃响应

考虑系统：参考内容假设系统极点互不相同。其中，a,aj为Xo(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；bk、ck是与Xo(s)在极点处的留数有关的常数。通过拉氏反变换，其输出为：

高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。为了在工程上处理方便，某些高阶系统通过合理简化，可以用低阶系统近似。（1）由于系统极点的负实部离虚轴越远，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得越快，反之则越慢，离虚轴越近的极点称为主导极点。离虚轴远的极点（5倍）可忽略。（2）偶极子可对消。§3.4二阶系统的性能指标

一、控制系统的时域性能指标

控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。

系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：〇上升时间tr〇峰值时间tp〇调整时间ts〇最大超调量Mp〇振荡次数N

1.上升时间tr

响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。二、欠阻尼二阶系统的时域性能指标的计算

根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。§3.4二阶系统的性能指标显然，一定时，n越大，tr越小；

n一定时，

越大，tr

越大。tx0(t)tr1§3.4二阶系统的性能指标2.峰值时间tp响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。§3.4二阶系统的性能指标2.峰值时间tp可见，峰值时间等于有阻尼振荡周期的一半。一定，n越大，tp越小；n一定，越大，tp

越大。§3.4二阶系统的性能指标3.最大超调量

Mp定义：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。§3.4二阶系统的性能指标3.

最大超调量Mp显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。越大，Mp越小，系统的平稳性越好，当=0.4~0.8时，可以求得相应的Mp

=25.4%~1.5%。通常用百分数表示:§3.4二阶系统的性能指标00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100二阶系统Mp—

图§3.4二阶系统的性能指标4.调整时间ts对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量1的指数曲线：响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。单位阶跃响应：

当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。§3.4二阶系统的性能指标当一定时，n越大，ts越小，系统响应越快。当0<<0.7时，可得：由上式求得的ts包通常偏保守。因此利用：§3.4二阶系统的性能指标t5.振荡次数

N

N仅与有关。与Mp一样直接说明了系统的阻尼特性。越大，N越小，系统平稳性越好。x0(t)ts±⊿%响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。§3.4二阶系统的性能指标

二阶系统的动态性能由n和决定。结论

通常根据允许的最大超调量来确定。一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整n以获得合适的瞬态响应时间。

一定，n越大，系统响应快速性越好，

tr、tp、ts越小。

增加可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp、ts增加；

tr、tp、ts反映系统响应快速性Mp、N

反映系统响应平稳性§3.4二阶系统的性能指标一、控制系统的偏差与误差考虑图示反馈控制系统H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)

偏差信号(s)(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信号(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差，即：§3.5误差分析和计算

误差信号E(s)

误差信号E(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)

控制系统的期望输出Xor(s)为偏差信号(s)＝0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出：

Xo(s)＝Xor(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)§3.5误差分析与计算

偏差信号(s)与误差信号E(s)的关系Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)H(s)§3.5误差分析与计算二、稳态误差及其计算稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t）下的差值，即误差信号e(t)的稳态分量：

当sE(s)的极点均位于s平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：§3.5误差分析与计算

显然，系统稳态误差决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的性质及系统的结构和参数。偏差传递函数

G(s)H(s)—G(s)H(s)—1§3.5误差分析与计算例1某系统方框图如图所示，当系统输入的控制信号为：

求系统的稳态误差。

§3.5误差分析与计算三、稳态误差系数1.稳态误差系数的概念（1）稳态位置误差系数单位阶跃输入时系统的稳态误差系数称为稳态位置误差系数。令：对于单位反馈系统，§3.5误差分析与计算（2）稳态速度误差系数单位速度输入时系统的稳态误差称为稳态速度误差系数。其中，对于单位反馈系统，易知：§3.5误差分析与计算（3）稳态加速度误差系数单位加速度输入时系统的稳态误差称为稳态加速度误差系数。其中，结论：当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。

对于单位反馈系统，易知：§3.5误差分析与计算2.系统类型将系统的开环传递函数写成如下形式：

根据系统开环传递函数中积分环节的多少来定义系统的类型，当r=0,1,2,…时，系统分别称为0型、I型、Ⅱ型、……系统。0型系统：I型系统：Ⅱ型系统：§3.5误差分析与计算3.

不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差(1)0型系统单位负反馈0型系统只能跟踪阶跃信号，且有稳态误差。§3.5误差分析与计算(2)I型系统单位负反馈I型系统准确地能跟踪阶跃信号，也能跟踪速度信号，但有稳态误差。不能跟踪加速度信号。§3.5误差分析与计算(3)Ⅱ型系统单位负反馈Ⅱ型系统准确地能跟踪阶跃信号、速度信号，也能跟踪加速度信号，但有稳态误差。§3.5误差分析与计算表1、系统的稳态误差系数及稳态误差00K2II型00K1I型00K00型单位加速度输入单位速度输入单位阶跃输入KaKvKp稳态误差稳态误差系数系统类型注意k0、k1、k2为系统的开环增益。§3.5误差分析与计算几点结论不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。

系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。在阶跃输入作用下，0型系统的稳态误差为定值，常称为有差系统；I型系统的稳态误差为0，常称为一阶无差系统；在速度输入作用下，II型系统的稳态误差为0，常称为二阶无差系统。§3.5误差分析与计算习惯上，称输出量为“位置”，输出量的变化率为“速度”。在此位置和速度是广义的概念。尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。如：总的稳态偏差：§3.5误差分析与计算(a)(b)解：如果系统的输入是阶跃函数、速度函数、加速度函数三种输入的组合，即：可根据线性叠加原理，系统的稳态误差为：(1)系统(a)的开环传递函数的时间常数表达式为：§3.5误差分析与计算(2)系统(b)的开环传递函数的时间常数表达式为：§3.5误差分析与计算§3.5误差分析与计算表1、系统的稳态误差系数及稳态误差00K2II型00K1I型00K00型单位加速度输入单位速度输入单位阶跃输入KaKvKp稳态误差稳态误差系数系统类型注意k0、k1、k2为系统的开环增益。§3.5误差分析与计算四、扰动引起的稳态误差和系统总误差扰动输入作用下的偏差传递函数1.控制输入作用下，系统的误差：2.扰动输入作用下，系统的误差：3.系统的总误差：§3.5误差分析与计算1.稳定性定义一、稳定性的概念自动控制系统在实际运行中，总会受到外界或内部扰动（例如负载的变化、电压的波动、参数的变化等），系统就会偏离原有的平衡工作状态，其输出量也会偏离原稳态值。

稳定性就是指系统在扰动消失后，能否在有限的时间内以足够的精度由扰动产生的偏差状态恢复到原来的平衡状态或达到一个新的平衡状态的能力。§3.6稳定性分析

例如：小球系统如图a)、b)、c)（2）当扰动消失后，随着时间的推移，系统偏离工作状态越来越远，不能够恢复到平衡状态，则称系统为不稳定系统。

不稳定系统无法正常工作，是不可取的系统。（1）当扰动消失后，随着时间的推移，系统能够以足够的精度恢复到原来的平衡状态或达到一个新的平衡状态，则称系统为稳定系统。§3.6稳定性分析（3）临界稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。处于临界稳定或接近临界稳定状态的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。

经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。§3.6稳定性分析二、系统稳定的条件

设线性系统具有一个平衡点。对该平衡点，当：xi(t)=0时，系统的输出信号x0(t)=0。当干扰信号n(t)作用于系统时，其输出信号将偏离工作点。如果取干扰信号消失瞬间为t=0，因此，系统的输出x0(t)即为控制系统在初始偏差影响下的过渡过程。若系统稳定，则输出信号x0(t)就会随着时间的推移，x0(t)→0，即：系统恢复到原来平衡工作点；若系统不稳定，则输出信号x0(t)≠0，系统不能恢复到原来平衡点。稳定性可由实验确定，也可用描述系统的数学模型——如微分方程或传递函数进行分析。§3.6稳定性分析

思路

根据系统稳定性的定义，可用脉冲信号作为干扰输入信号，考察系统的脉冲响应。显然，系统的响应决定于系统闭环传递函数的极点——系统稳定性决定于系统的固有特性。§3.6稳定性分析

稳定的条件

考虑系统其特征方程为：1.对于特征方程的单实根-pi

，相应瞬态输出为：§3.6稳定性分析当-pi<0时，该输出分量指数单调衰减。当-pi>0时，该输出分量指数单调递增。当-pi=0时，该输出分量为常数。1.对于特征方程的单实根-pi

，当-<0时，该分量为指数衰减的振荡过程。当->0时，该分量为指数发散的振荡过程。当-=0时，该分量为等幅振荡。2.对于特征方程有复根，相应瞬态输出为：§3.6稳定性分析3.对于r

重实根-pr，相应的时域分量为：当

-pr<0时，该输出分量指数单调衰减。当-pr>

0时，该输出分量指数单调递增。当-pr=0时，该输出分量多项式递增。综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面——[s]平面的左半平面。稳定性与零点无关。§3.6稳定性分析三、劳斯（Routh）稳定性判据1.系统稳定的必要条件系统的特征方程为：显然，要判断系统是否稳定，如果根据上述定义及分析方法，则需把系统的特征方程的根求解出来，再根据根的情况来进行判断。如果不直接求解特征方程，就能判定系统的稳定性，那么在工程上就有现实意义。为此形成了一系列稳定性判据，其中最重要的是（1884年）劳斯(Routh)判据。§3.6稳定性分析由根与系数的关系可知：若使全部特征根-pi均具有负实部，系统必须满足以下条件：需指出的是：若特征方程不满足上述条件，系统一定不稳定;若特征方程满足上述条件时，系统仍然可能是不稳定的，即：满足上述条件是系统稳定的必要条件。§3.6稳定性分析2.系统稳定的充要条件——劳斯稳定判据

其中，ai>0(i=0,1,2,…,n)，且特征方程也不缺项，即满足系统稳定的必要条件。

考虑系统的特征方程：

劳斯稳定判据：劳斯阵列中第一列所有元素的符号均为正号。如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

§3.6稳定性分析劳斯阵列:sn

a0 a2 a4 a6 …sn-1

a1 a3 a5 a7 …sn-2

b1 b2 b3 b4 …sn-3

c1

c2

c3

c4 …sn-4

d1

d2

d3

d4 …s2

e1

e2s1

f1s0

g1劳斯阵列第1列元素如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、…的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

§3.6稳定性分析sn

a0 a2 a4 a6 …sn-1

a1 a3 a5 a7 …sn-2

b1 b2 b3 b4 …sn-3

c1

c2

c3

c4 …sn-4

d1

d2

d3

d4 …s2

e1

e2s1

f1s0

g1………………每一行计算到元素到0为止。§3.6稳定性分析试判断系统的稳定性。解：由方程系数可知，ai>0，满足稳定的必要条件。列出劳斯阵列

例设控制系统的特征方程为：由由劳斯阵列的第一列可看出：第一列元素的符号不全为正，且从+1→-2→+3，改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定。§3.6稳定性分析（1）二阶系统3.低阶系统的稳定性条件§3.6稳定性分析（2）三阶系统§3.6稳定性分析例：已知单位反馈系统的开环传递函数为：用劳斯判据确定系统能稳定工作时开环增益K的取值范围。解：控制系统为单位反馈系统，故闭环传递函数为：§3.6稳定性分析4.劳斯阵列的特殊情况劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全为零。处理方法：用一个很小的正数

代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令

0，按前述方法进行判别。

如果零(

)上、下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临界稳定状态；如果零(

)上下两项的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。§3.6稳定性分析设控制系统的特征方程为：例1：试判别稳定性。由于第一列中各元素的符号不全为正，所以系统不稳定。P117，3—15，4）解：列劳斯阵列§3.6稳定性分析１１０２２0设控制系统的特征方程为：例2：试判别稳定性。系统为临界稳定。由于第一列中各元素除外均为正，故没有正实部根，s1行为零，说明有虚根存在。§3.6稳定性分析劳斯阵列表某一行全为零劳斯阵列出现全零行，表明系统在s平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大