复变函数复习

复习复数与复变函数3.典型例题2.内容提要1.重点与难点一、重点与难点重点：难点：1.复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射的概念1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射的概念二、内容提要复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法几何表示法

向量表示法三角及指数表示法复球面复平面扩充曲线与区域判别定理极限的计算

1.复数的概念1)两复数的和2)两复数的积3)两复数的商2.复数的代数运算4)共轭复数

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.共轭复数的性质3.复数的其它表示法（1）几何表示法（2）向量表示法复数的模(或绝对值)

模的性质三角不等式复数的辐角辐角的主值

（3）三角表示法利用欧拉公式复数可以表示成称为复数z

的指数表示式.（4）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成4.复数的乘幂与方根1)乘积与商

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.则有

几何意义复数相乘就是把模相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为

两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有2)幂与根(a)n次幂:

(b)棣莫佛公式5.复球面与扩充复平面南极、北极的定义(1)复球面

球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.

球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.

复球面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数无穷大来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.(2)扩充复平面的定义6.曲线与区域（1）邻域（2）内点

如果G内每一点都是它的内点,那么G称为开集.(4)区域

如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(a)D是一个开集；(b)D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.(3)开集(5)边界点、边界

设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P

的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.(7)有界区域和无界区域D的所有边界点组成D的边界.(6)

区域D与它的边界一起构成闭区域.

闭区域

没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).(8)简单曲线(9)光滑曲线

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.

任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.简单闭曲线的性质(10)单连通域与多连通域

复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.

从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.7.复变函数的概念(1)复变函数的定义(2)映射的定义函数极限的定义注意:

8.复变函数的极限

极限计算的定理与实变函数的极限运算法则类似.

极限运算法则（1）连续的定义

9.复变函数的连续性

连续的充要条件连续的性质有理整函数(多项式)有理分式函数

特殊的:在复平面内使分母不为零的点也是连续的.三、典型例题

其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值.解解解例6

满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解是实数轴,不是区域.

是以为界的带形单连通区域.解

是以为焦点,以3为半长轴的椭圆闭区域,它不是区域.

不是区域，因为图中解解在圆环内的点不是内点.例7

函数将平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？解又于是表示平面上的圆.(1)解表示平面上以为圆心，为半径的圆.解析函数3.典型例题2.内容提要1.重点与难点一、重点与难点重点：难点：1.解析函数的判别方法及导数求法2.初等函数的概念1.解析与可导的关系2.对数函数的概念二、内容提要导数初等函数定义性质判别方法指数函数

对数函数三角函数解析函数

幂函数性质1.导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导.称此极限值为f(z)在z0的导数，记作

如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导.2.求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z).⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.3.解析函数的概念定义

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数

(全纯函数或正则函数）.如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点.定理1

设w=f

(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0时)均是D内的解析函数.定理2设w=f(h)在h

平面上的区域G内解析,

h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析.定理1

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D

内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是

u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足

Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有4.解析函数的判定定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程5.初等函数i.指数函数定义它与实变指数函数有类似的性质：ii.三角函数定义正弦与余弦函数的性质定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质iii.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数.即，(2)对数函数的性质定义ⅳ.幂函数幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,且三、典型例题例1证明f(z)=zRez只在z=0处才可导.证明例2证例3解例4解例5解例6解复变函数的积分1.重点与难点2.内容提要3.典型例题

一、重点与难点重点：难点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式

复合闭路定理与复积分的计算

二、内容提要有向曲线复积分积分存在的条件及计算积分的性质柯西积分定理原函数的定义复合闭路定理柯西积分公式高阶导数公式调和函数和共轭调和函数

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,1.有向曲线2.积分的定义(3.积分存在的条件及计算（1）化成线积分（2）用参数方程将积分化成定积分4.积分的性质5.柯西－古萨基本定理(柯西积分定理)由定理得6.原函数的定义(牛顿-莱布尼兹公式)7.闭路变形原理

复合闭路定理

一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那么8.柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.

9.高阶导数公式10.调和函数和共轭调和函数

任何在

D

内解析的函数,它的实部和虚部都是

D内的调和函数.定理区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.

共轭调和函数

三、典型例题例1

计算的值，其中C为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与从到的线段所接成的折线.解说明

同一函数沿不同路径所得积分值不同.因此

证例2

设C为圆周证明下列不等式.解

例3

计算当时,解

解法一利用柯西-古萨基本定理及重要公式由柯西-古萨基本定理有

解法二利用柯西积分公式因此由柯西积分公式得解分以下四种情况讨论：解为大于1的自然数.

例6

计算下列积分解法一偏积分法.利用柯西—黎曼方程,

因而得到解析函数

解法二线积分法.

因而得到解析函数解法三全微分法解例8

已知求解

析函数,使符合条件1.重点与难点

2.内容提要

3.典型例题级数一、重点与难点重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数复数项级数函数项级数充要条件必要条件幂级数收敛半径R复变函数绝对收敛运算与性质收敛条件条件收敛复数列收敛半径的计算泰勒级数洛朗级数二、内容提要1.复数列记作表达式称为复数项无穷级数.其最前面项的和称为级数的部分和.部分和2.复数项级数1)定义2)复级数的收敛与发散充要条件必要条件非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛如果

收敛,那末称级数

为绝对收敛.绝对收敛条件收敛称为这级数的部分和.

级数最前面项的和3.复变函数项级数其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

4.幂级数1)在复变函数项级数中,形如的级数称为幂级数.----阿贝尔Abel定理如果级数在收敛,那么对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那么对满足的级数必发散.满足2)收敛定理(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.3)收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处处收敛.(2)对所有的正实数除外都发散.在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意..收敛圆收敛半径方法1:比值法方法2:

根值法4)收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径5)幂级数的运算与性质如果当时,又设在内解析且满足那么当时,(2)幂级数的代换(复合)运算复变幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数的收敛半径为那么是收敛圆内的解析函数

.它的和函数即(1)(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即(3)在收敛圆内可以逐项积分,即或5.泰勒级数其中泰勒级数1)定理设在区域内解析,为

内的一为到的边界上各点的最短距离,那么点,时,成立,当2)常见函数的泰勒展开式

6.洛朗级数定理C为圆环域内绕

的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.1)函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.

某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的,这就是f(z)的洛朗级数.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法三、典型例题例1

判别级数的敛散性.解发散，收敛，例1

判别级数的敛散性.解解收敛收敛例1

判别级数的敛散性.解

由正项级数的比值判别法知绝对收敛.例1

判别级数的敛散性.例2

求下列幂级数的收敛半径解例3

展开函数成的幂级数到项.解由此得所以解析函数展为幂级数的方法利用定义来求.分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解例4

求在的泰勒展式.由于例5分析：利用级数的乘除运算较为简单.解故乘积也绝对收敛.例6设又由泰勒展式的唯一性,又所以解利用待定系数法比较两端系数得例7分析：利用逐项求导、逐项积分法.解所以例8解利用微分方程法

对上式求导得由此可得故例9分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数分成部分分式后,应用等比级数求和公式.解故两端求导得例10例11解有

同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的.解例12留数一.重点与难点二.内容提要三.典型例题

一、重点与难点重点：难点：留数的计算与留数定理留数定理在定积分计算上的应用二、内容提要留数计算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与极点的关系对数留数留数定理留数在定积分上的应用辐角原理路西原理1）定义

如果函数在

不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.1.孤立奇点的概念与分类孤立奇点奇点2）孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点;ii)极点;iii)本性奇点.定义

如果洛朗级数中不含

的负幂项,那末孤立奇点

称为

的可去奇点.i)

可去奇点ii)极点

定义

如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,其中关于的最高幂为即阶（级）极点.那么孤立奇点称为函数的或写成极点的判定方法在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.(a)由定义判别(b)由定义的等价形式判别(c)利用极限判断

.如果洛朗级数中含有无穷多个那么孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,注意:

在本性奇点的邻域内不存在且不为iii)本性奇点i)零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那么称为的

m阶（级）零点.3)函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系如果是的m级极点,那么就是的

m级零点.反过来也成立.2.留数记作定义

如果的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线

C的积分的值除后所得的数称为以1)留数定理

设函数在区域

D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那么立奇点留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.(1)如果为的可去奇点,则如果为的一级极点,那么a)(2)如果为的本性奇点,则需将成洛朗级数求展开(3)如果为的极点,则有如下计算规则2)留数的计算方法c)设及在如果那么为一级极点,且有都解析，如果为的级极点,那么b)也可定义为记作1.定义设函数在圆环域内解析C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线那么积分值为在的留数.的值与C无关

,则称此定3)无穷远点的留数如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么在所有各孤立奇点

(包括

点)的留数的总和必等于零.

留数定理23.留数在定积