杆件的内力和内力图-弯曲

§2.4弯曲杆件的内力—剪力和弯矩2.4.1弯曲杆件的特点、工程实例及力学模型1）弯曲杆件的特点受力特点：杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶（其矢量垂直于杆轴）作用。MeMeABF

杆件承受垂直于其轴线的外力（横向力）或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，杆件的轴线将有变形前的直线变形成变形后的曲线，这种变形形式称为弯曲变形。工程上把主要发生弯曲的杆件称为梁。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线；最基本常见的弯曲类型：——对称弯曲（平面弯曲）:梁变形后的轴线与外力都在纵向对称平面内FAAF1F2

B对称轴纵向对称面FB特例平面弯曲构件特征构件为具有纵对称面的等截面直杆。受力特征外力或外力偶均作用在纵向对称面内。变形特征杆轴线变形后为纵向对称面内的平面曲线平面弯曲平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线否则称为横力弯曲。纵向平面内只有弯矩，称为纯弯曲。常见弯曲构件截面非对称弯曲（斜弯曲）——梁变形后轴线所在平面与外力所在平面不重合。yzFPzyFPqxq2）工程实例3）梁的计算模型（计算简图）

梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。（1）构件本身的简化

通常取梁的轴线来代替梁。（2）载荷简化

作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。计算简图的选取原则

正确反映结构的实际受力情况，并使其变形尽可能与实际相符；与计算手段相适应，简化甚至忽略对结构内力和变形影响较小的次要因素，使计算简化，但要保证足够的精度。

均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载集中力偶作用在梁上的载荷形式集中力①固定铰支座（3）支座简化②可动铰支座FAyFAyFAxFAy③固定端FAxFAyMA石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。工程实例悬臂梁火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，火车轮轴可简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。工程实例外伸梁

桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。

工程实例简支梁静定梁:支座反力可以由静力平衡方程求解的梁。超静定梁:支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁。梁：以弯曲变形为主的杆件。梁按支承方式分类悬臂梁简支梁外伸梁外伸梁外伸梁aFAB(a)mmx

以图(a)所示受集中力F

作用的简支梁为例，来分析梁任意横截面上的内力。2.4.2梁任一横截面上的内力——剪力和弯矩求梁任一横截面上的内力仍然用截面法aFAmmxB(a)FQ

首先利用整体平衡求支座反力，然后用截面法假想地在横截面mm处把梁分为两段，先分析梁左段。因为在这段梁上有向上的外力FAy所以在横截面mm上必有一个与FAy平行而指向相反的内力FQ。FAyFBy(b)xxmAmyCFAyaFAmmxB(a)FQ由平衡方程得可得FQ=FAyFQ

称为剪力(b)xxmAmyCFAyFByFAy(b)由于外力FAy与剪力FQ组成了一个力偶，因而在此横截面上必顶还有一个与其平衡的内力偶，设其矩为M

。aFABmmx(a)FQM可得M=FAyx由平衡方程(b)xxmAmyCFAy此内力偶称为

弯矩MFQ取右段梁为研究对象。其上剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。(b)xxmAmyCFQMmmBF(c)FByFAyFＱ和Ｍ的正负号的规定dxmmFQFQ+剪力符号使dx

杆段有

左端向上而右端向下的相对错动时，杆段有顺时针转动趋势，杆段左右横截面

上的剪力为正----即：使dx杆段有顺时针转动趋势的剪力为正。（对于水平杆段左上右下为正）。左：脱离体左截面右：脱离体右截面使dx

杆段有

左端向下而右端向上

的相对错动时，杆段有逆时针转动趋势，杆段左、右横截面

上的剪力为负----即：使dx杆段有逆时针转动趋势的剪力为负。（对于水平杆段左下右上为负）。dxmmFQFQ左：脱离体左截面右：脱离体右截面_mm+_当dx

杆段的弯曲下凸即该段的下半部受拉

时，左、右横截面上的弯矩为正。对于水平杆段：左顺右逆为正；

弯矩符号（受拉）MMmm（受压）MM当dx

杆段的弯曲上凸即该段的下半部受拉压时，左、右横截面

上的弯矩为负。对于水平杆段：左逆右顺为负。左：脱离体左截面右：脱离体右截面剪力：弯矩：使杆段有顺时针转动趋势为正（对水平杆段左上、右下为正）,反之为负使杆段下侧受拉为正（对水平杆段左顺、右逆为正），反之为负简言之左：脱离体左截面右：脱离体右截面FPll例题ABCD

一端固定另一端自由的梁，称为悬臂梁。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用。MO=2FPl

试确定:截面C及截面D上的剪力和弯矩。C、D截面与加力点无限接近。

FPFPllABCDMO=2FPl

解：1)应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。

2)应用截面法确定C截面上的内力分量

用假想截面将梁C截面处截开，以左边部分为平衡对象。

因为外力与梁轴线都在同一平面内，而且没有沿杆件轴线方向的外力作用，所以横截面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量。MA＝0AClFPMA＝0FQCMCFPMA＝0FPllABCDMO=2FPl

2)应用截面法确定C截面上的内力分量CAFPlMA＝0

假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：所得结果均为正值，这表明所假设的C截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl

3)应用截面法确定D截面上的内力分量AFPMA＝0llMO=2FPlD

用假想截面将梁D截面处截开，以左边部分为平衡对象。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl

3)应用截面法确定D截面上的内力分量

假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：因为D截面无限接近B截面，所以式中MDFQDAFPMA＝0llMO=2FPlD4)讨论

本例中所选择的研究对象都是C、D截面以左部分梁，因而需要首先确定左端的约束力。如果以C、D截面以右部分梁作为平衡对象，则无需确定约束力。计算过程会更简单些。FPMA＝0FPllABCDMO=2FPl例求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和4—4横截面上的剪力和弯矩。解：支反力为

xyAFBaa2a11224433M

=3FaFByFAy截面1—1截面2—2M1FQ1FC111FAyM2FQ2FC222

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFByFAy截面3—3截面4—4

xyAFBaa2a11224433Me

=3FaFByFAy33C3M3FFQ3FAyFQ4M44C4FBy4内力1—12—23—34—4FQ-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa1)横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段脱离体的静力平衡方程来确定。

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F总结以上例题：2）在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小，弯矩无变化。在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小，剪力无变化。内力1—12—23—34—4FQ-F2F2F2FM-Fa-FaFa-2Fa

xAFB11224433Me

=3FaFA=3FFB=-2F截面1—1M1FQ1FC111截面2—2FAyM2FQ2FC222截面3—333C3M3FFQ3FAy截面4—4FQ4M44C4FBy4FQFPFPFQFPFPFQFQ+-剪力剪力剪力等于脱离体上所有外力沿轴线法线方向投影的代数和，对切开面而言，使脱离体产生顺时转动趋势的外力产生正的剪力，反之，使脱离体产生逆时转动趋势的外力产生负的剪力。对于水平杆段左上右下为正,反之为负左上：取左部分为脱离体，向上的外力产生正的剪力右下：取右部分为脱离体，向下的外力产生正的剪力FPFPFPFP+-MMMM弯矩UUMMMM+-弯矩等于脱离体上所有外力对切开面形心力矩的代数和，对水平杆件而言，使脱离体下侧受拉的外力产生正的弯矩，使脱离体上侧受拉的外力产生负的弯矩。对于水平杆件向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。对于力偶：左顺右逆为正，反之为负左顺：取左部分为脱离体，顺时转向的力偶产生正的弯矩右逆：取右部分为脱离体，逆时转向的力偶产生正的弯矩例：求指定截面上的内力FQA左，FQA右，FQD左，FQD右

，

MD左，

MD右，

FQB左，FQB右。解：FAy=14.5kNFBy=3.5kNm=3kN.m2m2m4mCADBFAyFBym=3KN.m2m2m4mCADBFAyFBy例:

求A、B、C、D截面的内力。解：求支反力左端点A：B点左：B点右：C点左：C点右：右端点D：qqa2qaFAy=0.5qaFDy=0.5qaABCD3aalABC例:图中所示挡土墙木桩的计算简图如图所示。它是一根在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。已知最大荷载集度为q0=20kN/m，

梁长l=2m

，a=1m。求C、B两点处横截面上的剪力和弯矩。

解：

先计算C横截面上的剪力

FQC和弯矩MC

。从对左段梁写出的平衡方程alABCAcaFQC

和弯矩MC

都为负值，亦即它们的指向和转向都和图中相反。

再计算B

横截面上的剪力

FQB

和弯矩

MB，沿支座B

假想地截开，从对左段梁写出的平衡方程

AalBClABFQBFQB

和MB都为负值lABFQB不同横截面处剪力、弯矩的大小是不同的，需要找出内力最大的最危险截面，即需要绘出梁的内力图。

绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是列方程法。根据剪力方程和弯矩方程，在FQ－x和M－x坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图

绘制剪力图和弯矩图的第二种方法是控制截面法。先在FQ－x和M－x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，因而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。

作用在梁上的平面载荷，如果不包含纵向力，这时梁的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化规律的图线，分别称为剪力图和弯矩图。2.4.3梁的内力图——剪力图和弯矩图剪力方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式第一种方法:列方程法

-----剪力方程和弯矩方程及剪力图和弯矩图

分段——建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载荷和约束力)作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。

分别建立各段的内力方程——确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为x；然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩M(x)都是正方向；最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程FQ(x)和弯矩方程M(x)。

绘图——为了绘出剪力图、弯矩图，必须建立坐标系，用轴线表示横截面的位置，坐标轴的正方向自左至右，和轴线垂直的轴表示对应横截面上的内力，正方向铅垂向上。

xMxxFQBAlFAyqFBy例：简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCx3.依方程画出剪力图和弯矩图。FQxMx0.5lBAlFAyFBy例：图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝Fb/l

FBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FQxx1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CabFPM发生在集中荷载作用处发生在AC段b>a时FQ

FPblxFPblMxFPablFP

BlAabCa=b=l/2时，BAlFAyFBy例：图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力FAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2x1ACCB3.依方程画出剪力图和弯矩图。CMabFQ图M图b>a时发生在C截面右侧Bl/2FAy

AFByCMl/2FQlxMMxM/2M/2思考：对称性与反对称性BFAy

AFByCFP

l/2l/2xMFPl/4xFP/2FP/2FQBl/2FAy

AFByCMl/2FQlxMMxM/2M/2结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称结论：FQxMx0.5lBAl0.5qlq0.5qlyx例：示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪力方程和弯矩方程：ABxlBxFQ(x)M(x)2、作剪力图和弯矩图注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。xqlFS

ql22xMl/2ql28ABlABFP例题：一简支梁受移动荷载FP的作用如图所示的。试求梁的最大弯矩为极大时荷载FP的位置。解：先设FP

在距左支座A

为x的任意位置。求此情况下梁的最大弯矩。荷载在任意位置时，支反力为：ABlFAyFByFP当荷载FP

在距左支座为

的任意位置时，梁的最大弯矩即为C

点处横截面上的弯矩M

C，其值为：AB令ABlFPFPFAyFByC此结果说明：当移动荷载F

P

在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大。得最大弯矩值代入式将第二种方法：控制截面法

绘制剪力图和弯矩图的第二种方法是控制截面法。先在FQ－x和M－x坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，因而无需首先建立剪力方程和弯矩方程。

xyq(x)FPm1）弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系q=q(x)规定：q(x)向上为正。将x

轴的坐表原点取在梁的左端。设梁上作用有任意分布荷载其集度1.弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用内力是由外荷载引起的，两者必然存在着内在的关系。FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)假想地用坐标为x

和x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx

一段。xyq(x)FPmxmmnndxmmnnq(x)Cx+dx

截面处则分别为

FQ(x)+dFQ(x),M(x)+dM(x)。由于dx很小，略去q(x)

沿dx的变化m-m截面上内力为FQ(x)，M(x)Fy=0FQ(x)-[FQ(x)+dFQ(x)]+q(x)dx=0得到

Mc=0[M(x)+dM(x)]-M(x)-FQ(x)dx-q(x)dx.dx2=0写出平衡方程FQ(x)M(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C略去二阶无穷小量即得=q(x)dFQ(x)dx=FQ(x)dM(x)dx=q

(x)d2M(x)dx2dM(x)dx=FQ(x)

dM(x)2dx2=q(x)=q(x)dxdFQ(x)公式的几何意义剪力方程的一阶导数等于对应梁段上的荷载分布集度。或剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小弯矩方程的一阶导数等于对应梁段上的剪力；弯矩方程的二阶导数等于对应梁段上的荷载分布集度。或弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。

dM(x)22dx=q(x)dx=FQ(x)dxdFQ(x)

=q(x)dM(x)M(x)图为一向下凸的二次抛物线FQ(x)图为一向右下方倾斜的直线xFQ(x)oM(x)xoq(x)、FQ（x）图、M（x）图三者间的关系梁上有向下的均布荷载，即

q(x)<0梁段上无荷载作用，即

q(x)=0剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线xFQ(x)oxoM(x)xM(x)o当FQ(x)>0时，向右下方倾斜。当FQ(x)<0时，向右上方倾斜。

dM(x)22dx=q(x)dx=FQ(x)dxdFQ(x)

=q(x)dM(x)梁上最大弯矩可能发生在FQ(x)=0的截面上或梁段边界的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。

dM(x)22dx=q(x)dx=FQ(x)dxdFQ(x)

=q(x)dM(x)剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FQ图特征M图特征CFCm水平直线xFQ>0FQ<0x斜直线增函数xx降函数xC自左向右突变xC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM山峰状xM盆状自左向右折角

自左向右突变与m反xM折向与F反向MxM1M2利用以上特征1)可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2)可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。控制截面法绘制剪力图与弯矩图主要步骤如下：根据载荷及约束力的作用位置，分段，确定控制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值(假定剪力和弯矩都为正方向)。建立FQ一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。

应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。

求支座反力。BA简支梁受力的大小和方向如图示。例题1kN.m2kN1.5m1.5m1.5m

试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。

解：1)确定约束力求得A、F

二处的约束力FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN

FAyFBy根据力矩平衡方程

2)分段、确定控制面

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。

3)建立坐标系建立FQ－x和M－x坐标系

xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFByFAy

5)根据微分关系连图线因为梁上无分布载荷作用，所以剪力FQ图形均为平行于x轴的直线；弯矩M图形均为斜直线。于是，顺序连接FQ－x和M－x坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。

xFQ/kNOxM/kN.mO4)应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQ－x和M－x坐标系中。BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFAyFByBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89方法一（-）（+）FAy＝0.89kN

FFy＝1.11kN

FByBA1.5m1.5m1.5mFAy1kN.m2kNDCFQ（kN）0.891.11方法二（-）（-）1.3350.3351.665M（kN.m）

6)确定剪力与弯矩的最大绝对值xFQ/kNOxM/kN.mOBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFAyFByBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为:

(发生在EF段)

(发生在D、E截面上)

从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出AB段与CD段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。xFQ/kNOxM/kN.mOBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFAyFByBCDE1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89

此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，这是由于维持DE小段和BC小段梁的平衡所必需的。

建议大家自行加以验证。

例题qBADa4aqaFAyFBy

梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外伸梁,梁的受力以及各部分尺寸均示于图中。

试画出：其剪力图和弯矩图,并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。

解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由

求得A、B二处的约束力qBADa4aqaFAyFByCOxFQOxM

2．分段、确定控制面由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的C截面，以及集中力qa左侧的D截面，也都是控制面。

3．建立坐标系建立FQ－x和M－x坐标系

qaqBADa4aFAyFByOxFQOxM9qa/4a9qa/4bdqacqaadb,cqa2

4．确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FQ－x和M－x坐标系中。qaqBADa4aFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2

5．根据微分关系连图线对于剪力图：在AB段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a、b两点，即得这一段的剪力图；在CD段，因无分布载荷作用，故剪力图为平行于x轴的直线，由连接c、d二点而得，或者由其中任一点作平行于x轴的直线而得。

qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM

5．根据微分关系连图线对于弯矩图：在AB段，因有均布载荷作用，图形为二次抛物线。又因为q向下为负，弯矩图为凸向M坐标正方向的抛物线。于是，AB段内弯矩图的形状便大致确定。为了确定曲线的位置，除AB段上两个控制面上弯矩数值外，还需确定在这一段内二次抛物线有没有极值点，以及极值点的位置和极值点的弯矩数值。从剪力图上可以看出，在e点剪力为零。

9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEqAExE

6．确定弯矩图极值点的位置。qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEe81qa2/32eEOxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

7．确定剪力与弯矩的最大绝对值从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为

OxFQOxMqBADa4aqlFAyFBy9qa/4a9qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

注意到在右边支座处，由于约束力的作用，该处剪力图有突变（支座两侧截面剪力不等）弯矩图在该处出现折点（弯矩图的曲线段在该处的切线斜率不等于斜直线cd的斜率）。

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

FQ

9qa/4

7qa/4qa（+）

M

81qa2/32qa2xQFQxqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq例题qqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqq例题FQqq例题aaqaqA解：左端点：分区点A：M的驻点：右端点：FQxqa2–qa–xM例：绘出下列悬臂梁的内力图例:画下列各图示梁的内力图。解：求支反力左端点A：B点左：B点右：C点左：M的驻点：C点右：右端点D：qqa2qaFAyFDyFQxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+B3aACM=3qa2axq例：试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。解：1、支反力为FByB3aACM=3qa2axqFAyAC段：q=0剪力图为水平直线剪力值2、作剪力图FQ5qa/3xqa/38a/3xFByB3aACM=3qa2axqCB段：q=常量<0剪力图为向右下方倾斜的斜直线FAy3、作弯矩图AC段弯矩图→斜直线CB段弯矩图→二次抛物线B3aACM=3qa2axqMx4qa2/35qa2/3qa2/18（+）FQ5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/3qa2/185qa2/3（+）例题:一简支梁受两个力FP作用如图所示。已知FP=25.3KN，有关尺寸如图所示。试用控制截面法作此梁的剪力图和弯矩图。解：求梁的支反力。由平衡

方程mB=0和mA=0

得将梁分为AC，CD，DB三段。每一段均属无外力段。ABCD2001151265FPFP剪力图每段梁的剪力图均为水平直线AC段：FQ1

=FAy

=23.6kNCD段：FQ2=FAy-FP=-1.7kNDB段：FQ3

=-FBy

=-27kNABCD2001151265FPFP123最大剪力发生在DB段中的任一横截面上+1.72723.6FQ图（kN)ABCD2001151265FPFP123弯矩图每段梁的弯矩图均为斜直线。且梁上无集中力偶。故只需计算A、C、D、B各点处横截面上的弯矩。+4.723.11M图（kN.m）最大弯矩发生在C截面对图形进行校核在集中力作用的C，D

两点剪力图发生突变，突变值

FP=25.3kN。而弯矩图有尖角。在AC段剪力为正值，弯矩图为向下倾斜的直线。在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向上倾斜的直线。最大弯矩发生在剪力改变正，负号的C点截面处。说明剪力图和弯矩图是正确的。+1.72723.6ABCDFPFP123+4.723.11FQ图（kN)M图（kN.m)=5mFx3m4m4m4mABcDE例:作梁的内力图解：支座反力为7kN1kN++-3kN3kN2kNFQ图3m4m4m4mABcDE例:作梁的内力图解：支座反力为+-20.5201666

M图（kN.m)例:试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。已知：(逆时针)1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

M=5kN·mF=50kNMA

FAx

FAyFBy

96.515.53155345M图(kN·m)813129FQ图(kN)1.45m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/m

M=5kN·mF=50kN中间铰链传递剪力（铰链左，右两侧的剪力相等）；但不传递弯矩（铰链处弯矩必为零）。81kN29kN96.5kN.m例题:一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,

如图所示。作此梁的剪力图和弯矩图。解：计算梁的支反力将梁分为AC、CD、DB三段。AC和DB上无荷载，CD段有向下的均布荷载。EqABCD0.21.612剪力图EqABCD0.21.61221DB段：水平直线最大剪力发生在CD

和DB

段的任一横截面上。

CD段：向右下方的斜直线AC段：水平直线

FQ1

=FAy

=80kN+80KN80KNFQ图EqABCD0.21.61221弯矩图AC段：向下倾斜的直线CD段：向下凸的二次抛物线+80kN80kN其极值点在FQ=0的中点E处的横截面上。DB段：向上倾斜的直线

MB

=

0FQ图EqABCD0.21.61221+161648M图（kN.m）

MB

=

0全梁的最大弯矩梁跨中E点的横截面上。FAyFBy例改内力图之错。a2aaqqa2ABFQxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4式中，FQA，FQB分别为在x=a,x=b处两各横截面A及B上的剪力。等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。若在x=a和x=b处两个横截面A，B间无集中力则2）弯矩、剪力与分布荷载集度间的积分关系注意：A

B必须根据脱离体确定若横截面A，B间无集中力偶作用则得式中，MA，MB分别为在x=a,x=b处两个横截面A

及B上的弯矩。等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图的面积。注意：AB根据脱离体确定例题:利用积分关系计算

梁C、E

两横截面上的剪力和弯矩。EABCD0.21.612在CE段中在AC段中q=0，且FQA=FAy解：FAy=80kNFBy=80kNq=100kN/m+80kN80kN(b)EqABCD0.21.612在AC段中FQc=80kN，剪力图为矩形，MA

=0FQ图FAy=80kNFBy=80kN+80KN80KN(b)EqABCD0.21.612在CE段中，剪力图为三角形FQC=80kN，MC=16kN.mFAy=80kNFAy=80kNFBy=80kNFP=20kN解：画荷载图CABD例题：已知