《平面向量基本定理》导学案

111111111111112121121学习目标

平面向量本定理理解平向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一平面向量基本定理思考1如，是两个不共线的确定向量，那么与e，e在一平面内的任一向量能否用e，e表示？依据是什么？答案

能依是数乘向量和平行四边形法思考如，是线向量，那么向量能否用，表示？为什么？答案梳理

不一定，当e共线时可以表示，否则不能表.(1)平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a有且只有一对实数λ，，＝＋e.基底：不共线的向量，e叫表示这一平面内所有向量的一组基知识点二两向量的夹角与垂直思考平中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量夹角与直线的夹角一样吗？答案

存在夹角，不一→→思考△正三角形，设AB＝，＝，向量a与b的角是多少？→答案如，延长AB至D，AB，则B＝a，∵△等边三角形，∴＝60°，则∠CBD，向量a与的角为120°.梳理

→→(1)夹角：已知两个非零向量b，作O＝a，＝，∠＝≤≤180°)叫做向量与b的夹角(如图所示)

12111112111121112212211121，2112122112当θ＝0°时，a与向；当θ时，与b向垂直：如果的角是90°，则称与b垂，作⊥类型一对基底概念的理解例如，是面α内个不共线的向量，那么下列说法中不正确的()①＋e，∈)可表示平面内所有向量；②对于平面α内一向量a，使＝＋e的实数对(，)有无穷多个；③若向量e＋与＋e共线且有一个实数＋＝(e＋；④若存在实数，使＋＝，则＝＝0.①②③③D.②答案B解析由面向量基本定理可知①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即＝λ＝＝＝0时这样的λ有数个，故选反思与感悟考两个向量是否能构成基底主要看两向量是否非零且不共.外一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出跟踪训练1()

若，是面内的一组基底，则下列组向量能作为平面向量的基底的是e－，－e－3e－4e

B.2－，－1212e＋e，e－e答案D解析选A中两个向量为相反向量，即－e＝－－，则－，－为线向量；选项B中2e－e＝e－，也为共线向量；选项中－＝－2(2e－e，122为共线向量.据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符.类型二向量的夹角

1120111201010例已a＝＝2，且b的角，设ab夹角为α－与a的角是β，＋解

→→如图，作OA，＝，＝，以OA、邻边作OACB→→→→则＝a＋BA＝－＝ab，→→＝＝a因为a＝＝，所以为正三角形，所以OAB＝ABC，即a－与夹角β＝因为a＝，以平行四边形OACB为菱形，所以OC，所以COA＝－＝30°即a＋与夹角＝30°，所以α＋＝90°.反思与感悟(1)两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合两向量的夹角，按“作二证三算”步骤求.特别地a与b的角为θ，与λbλ、是零常数的夹角为θ，λ时＝－θ；λλ时θ＝→→→→→跟踪训练已A为O上三点O(＋B与的夹角答案90°→1→→解析由AO＝(AB＋知，O，三点共线，且是段的点，故线段是→→O的径，从而＝，因此B与A的夹角为90°.类型三平面向量基本定理的应

→→例如所，在ABCD中E，F分是BCDC边的中点，B＝aAD＝，试以→→，为基底表D，BF.解

∵四边形是行四边形，F分是BCDC上的中点，→→→→→→∴＝＝，BA＝＝2，→→→→1→1∴BE＝＝，＝BA＝－AB＝－→→→→→→→∴＝＋＋BE＝－＋AB＋BE＝－b＋a＝－，2→→→→→1＝＋＝＋CF＝b引申探究→→→→若本例中其他条件不变，DEa＝，试以ab为底表B，AD.解取CF的点，连接.∵E、G分别为，的点，→→∴＝＝，2→→→1∴DGDE＋EGa＋.→3→又DG＝DC＝AB，→→42∴AB＝DG(ab＝＋.3→→→→→1→→1→又ADBC＋FC＝BFDC＋，→→14∴＝＝b＋(＋)34＝a＋3反思与感悟将共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基

底表示向量的唯一性求.→→跟踪训练如所，在中OAa＝b，，分是边，上的点，→→→→→且＝，ONb，设AN与M交于点，用基底，表示O.2→→→→→→解＝OMMP＝＋.→→→→设＝，＝nNA则→→→1→→→OPOM＋mMB＋m(－)1＝am(b－)＝(1－)＋m，3→→→1→→→OPON＝OB＋ON11＝＋(a－)(1－nb＋na.2∵a，不共线，∴

即

＝，m＝.→∴＝＋.5下关基底的说法正确的()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定①B.②①D.②③答案解析零量与任意向量共线，零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正.→→在角角形ABC中∠BAC＝30°，则AC与BA的夹角等于()

1212112121212C.120°

B.60°D.150°答案D→→解析由量夹角定义知，ACA的夹角为150°.已向e不线实数xy满足(2－3)＋－4ye＝＋e则x＝，y＝答案－－12解析

∵向量e，不线，∴解→→→→如所，在正方形中，设＝，AD＝，当以，基底时，AC→表示为_，以，为底时可表示________.答案＋2ac→→→→解析由行四边形法则可知，AC＋AD＝a，以a，为基底时将D移，使点与点A重，再由三角形法则和平行四边形法则即可得.→已在形中AB∥DC且＝2，，F分是DC，AB的点，AD，→→→→＝b，试用ab为基底表示D，.解

连接FD，∥，＝2CDE，分是DCAB的点，∴DC∴四边形DCBF为行四边.→→依题意＝1＝AB＝，→→→→＝FD＝AD－AF

4111411121211212121111212→→＝－AB＝a，→→→→→→→＝DF－DE＝FD－DE－－DC1＝－－－×＝－a.对底理解基底的特征基底具备两个主要特征①基底两个不共线向量②基底的选择是不唯一.面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条.零向量与任意向量共线，故不能作为基.准理平面向量基本定理平面向量基本定理的实质是向量的分解平内任一向量都可沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一.平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解课时作业一、选择题设e，e是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的()e＋和e－B.3－4e和－C.e＋2e和2e＋和e＋e答案B解析B中6e－＝2(3－)∴(6－∥(3e－e，∴3－和6e－不作为基底.若量a与b的角为，则向量－a与b夹角是()答案A

D.150°

112121212112121212121112121212112121212121212121212如所，用向量e，e表向量－为()－4－2eC.e－3e答案解析如，由向量的减法得

－2e－4eD.3－→→－AB.由向量的加法A＝－.设量和是一平面内所有向量的一组基底若3e＋(10e＝(4－＋x，则实数y的为)A.3C.－答案B解析因3e＋(10－y)e＝y－e＋2e，所以(3－y＋7)e＋(10－2x)＝0，又因为和是一平面内所有向量的一组底解得故0，选→→→→→若O＝a，OP＝，P＝PP(≠－，O等于()a＋C.a＋答案D

λa－λbλa1λ＋解析

→→∵＝PP，

121212121212→→→→→→→∴－＝OP－)，∴(1＋)＝OPOP，→1→λ→1λ∴＝＋＝a＋1＋＋＋→→→→若D点在三角形的边上且＝4＝＋sAC，则3r＋的为()84C.5答案解析

→→→→∵CD＝＝rABsAC→4→→→∴＝＝(－AC→→＝rAB＋，4∴r＝，＝－8∴3r＋＝－＝.5在行边形AC与BD交于点O是段OD中点的长线与交→→→于点.A＝a，BD＝，则F于)1a＋2C.a＋b答案→→→→解析如，FCD，AEμAF，

ab2a3→→→11则CD＝OD－＝－a，2→→→11故A＋＝(1λa＋λ.→→1→→11∵AFAE(AO＋OE＝＋)μμμ2＝

＋b，24

412111124121111231－λ，μ∴由平面向量基本定理，得＝，，∴，

→1∴＝a＋，故选3二、填空题已，不共线，＝＋2e，b＝2e＋e，要使，能作为平面内的一组基底，则实数λ的值范围为______________.答案

(－∞，4)∪，＋∞)解析若作为平面内的一组基，则与不线ae＋，b＋，≠，即得λ≠4.若＝＝－＝rr>0)，则与b的角_答案60°→→→解析作O＝，＝，B＝ab，AOB为与b的角，由a＝＝ab知AOB为等边三角形，所以＝→→→10.如图，在平行四边形ABCD中E和F分是边和中点，若AC＝AE＋，其中，∈R，＋＝________.答案

→→→1→解析设ABa，AD＝，AE＝＋，＝＋b→又AC＋，→2→→4∴＝(AE＋AF，即λ＝＝，λ＋＝三、解答题判断下列命题的正误，并说明理由：

1212112111212112111211211121221若ae＋＝e＋、b、c、∈R，＝c，＝d若和e是示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用＋e－表示出解

(1)错，当e与e共线时，结论不一定成立.正确，假设＋与－共，则存在实数，使＋＝－)，即(1λ)＝(1＋)因为－与＋不同时为0所以与共，这与，不线矛.所以e＋e与－e不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用＋、e－表示出→→→→→→→12.如图面有三个OAOC其中O与的夹角为与O的夹角为，→→→→→→且OA＝＝1＝3，若OC＝OA＋μOB(λ，∈)，＋的解

→→→如图OAOB所射线为边为角线作行四边形ODCECODOE→在OCD中＝2，∠COD＝，∠＝90°，→→→→∴OD＝4，CD＝，故OD＝OA→→OE2，即λ＝，＝，＋＝6.→→DC→→13.在梯形ABCD∥CDMN别是BC的点，且＝.AD＝ABe，AB2→→→以e，为底表示向量，，MN解

方法一如所示，

212212212→k＋212212212→k＋→DC∵AB＝，且＝，2→→∴＝＝k.→→→→又＋BCCD＋＝0，→→→→→→→∴＝－－CD－DA－AB＋AD＝＋k－e.→→→→又＋BA＋＝0，→→→→且N＝－BC，AMAD，2→→→→1→→→∴＝－AMBA－＝－AD＋AB2＝

k＋1e.2方法二如所示，过CCE，交于点E，交于F→同方法一可得DC＝k.→