第二章 随机变量(二)

第二章随机变量第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布1例2:考虑如下试验：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标X。那么X是一随机变量，根据试验条件可以认为X取到[0，1]上任一点的可能性相同。求X的分布函数。当x<0时解：由几何概率的计算不难求出X的分布函数所以：23注释：(1)随机变量与普通变量的比较：随机变量X:定义域，值域RX为全体实数或者它的一个子集，自变量。

与普通函数不同：定义域不同；关键是r,v的取值是随机的，事先可以知道它的取值范围，但不知道到底取哪个值，每个取值有一定概率规律，只有试验完成后才知r,v取哪个值。

(2)随机变量与事件的关系；一方面：随机变量“取一个值”或“取值于一给定区间”是随机事件。另一方面：因为基本事件与随机变量联系起来，因而随机事件可以用随机变量表示。随机事件随机变量的值概率

4（3）对于r,v,X更重要的是搞清：

（I）它的取值范围；（II）取值的概率规律。

（试验结果）（事件的概率）注2：（1）随机变量X是一个从样本空间到实数空间的函数，它的定义域为样本空间。它的值域Rx为全体实数集或它的一个子集。（2）从随机变量的定义来看，它与通常的函数概念没有什么不同，把握这个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前，我们不能预知它取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验完成后，它的取值就确定了。通过研究随机变量整体把握随机事件。5例如（1）P{a<X≤b}=F(b)-F(a).

(因为{a<X≤b}={X≤b}-{X≤a},且{X≤b}{X≤a})

（2）P{X=b}=F(b)-F(b-0).(由（1）连续性证明)

（3）P{X<b}=F(b-0).

({X<b}={X≤b}-{X=b},{X≤b}{X=b},再由（2）)

（4）P{X>b}=1-F(b).({X>b}=

)（5）P{X≥b}=1-F(b-0).（6）P{X=b}=F(b)-F(b-0).（7）P{a<X<b}=F(b-0)-F(a).3.公式：6知识回顾随机变量的定义、意义随机变量的分布函数：定义分布函数的性质：单调不减、范围、右连续。概率论主要是利用随机变量来描述和研究随机现象，利用分布函数就能很好的表示各事件的概率。7第二节离散型随机变量及其分布分布律常用表格形式表示如下：Xx1x2

…

xk…pk

p1p2

…

pk…

如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无穷多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。设离散型随机变量X的可能取值为xk

(k=1,2,…),事件发生的概率为pk,即称为随机变量X的概率分布或分布律或分布列。8分布律的两条基本性质：9（１）确定常数a的值;（２）求Ｘ的分布函数因此解：（１）由分布律的性质知Ｘ０１

２pa10（2）由分布函数计算公式易得Ｘ的分布函数为：11（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：①设一离散型随机变量X的分布律为

P{X=xk}=pk(k=1，2，…)

由概率的可列可加性可得X的分布函数为

这里的和式是所有满足xk≤x的k求和的。分布函数F(x)在x=xk(k=1,2,…)处有跳跃，其跃跳值为pk=P{x=xk}。分布律与分布函数的关系12②已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率。例如，求事件｛X∈B｝（B为实轴上的一个区间）的概率P{X∈B}时，只需将属于B的X的可能取值找出来，把X取这些值的概率相加，即可得概率P{X∈B}，即因此，离散型随机变量的分布律完整地描述它的概率分布情况。（2）已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律：13

设一离散型随机变量X的分布函数为F(x)，并设F(x)的所有间断为x1,x2,…，那么，X的分布律为例1:设随机变量X的分布律为XP

-1231/41/21/4

求X的分布函数，并求解:由概率的有限可加性，得所求分布函数为14

F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，在x＝－1，2，3处有跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，1/4。-10123xP115两点分布若在一次试验中X只可能取x1

或x2

两值(x1<x2),它的概率分布是则称X服从两点分布。当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（0－1）分布。简记为X~(0-1)分布。X01pk1-pp16若离散型随机变量X的分布律为二项分布其中0<p<1,称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~b(n,p)。17当n=1时，二项分布化为：P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1在n重贝努里试验中，假设A在每次试验中出现的概率为p，若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为：即X服从二项分布。（0－1）分布可用b(1，p)表示。即为（0－1）分布18例４：某交互式计算机有10个终端，这些终端被各个单位独立使用，使用率均为0.7，求同时使用的终端不超过半数的概率。在涉及二项分布的概率计算时，直接计算很困难时，采用了近似计算。下面给出近似公式：解：设X表示10个终端中同时使用的终端数，则X~b(10,0.7)。所求的概率为：例2.219定理的条件npn=λ,意味着n很大时候pn必定很小.因此当n很大,p很小时有近似公式

其中λ=np。在实际计算中，当时用（λ=np）作为的近似值效果很好。而当时效果更佳。的值有表可查。泊松定理设npn=λ(λ>0是一常数，n是任意整数)，则对任意一固定的非负整数k，有20例5：有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？查表可知，满足上式最小的N是8。至少需配备8个工人才能满足要求。解：设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知X~(300,0.01)，若配备N位维修人员，所需解决的问题是确定最小的N，使得：