广义变分原理及其应用

广义变分原理及其应用2000.31第一页，共三十二页，2022年，8月28日2000.321.1虚力原理与余能原理1.1.1虚位移原理和势能原理（复习）1）虚位移原理的虚功方程——矩阵表达δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV体积力虚功表面力虚功虚变形功δWe=∫VFbiδuidV+∫SσFsiδuidS=δWi=∫VσijδεijdV虚功方程——张量表达第二页，共三十二页，2022年，8月28日2000.332）势能原理的数学表达Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min总势能应变能外力势能1.1.2虚力原理1）虚力原理的表述给定位移状态协调的充分必要条件为：对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立（矩阵）∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS虚反力功表面给定位移虚余变形功第三页，共三十二页，2022年，8月28日2000.34虚功方程——张量表达∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS2)

必要性证明εij=1/2(ui,j+uj,i)=D-1ijklσklV：δσij,j=0Sσ：δσijnj=0已知条件：[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ]V：δ[σ]=[0]Sσ：[L]δ[σ]=[0]需证明的是：∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS或张量表达形式已知条件：第四页，共三十二页，2022年，8月28日2000.35∫V(

[A][u])Tδ[σ]dV=∫S([L]δ[σ])T[u]

dS-∫V([A]δ[σ])T[u]

dV1/2∫V(ui,j+uj,i)δσijdV=∫SδσijnjuidS-∫Vδσij,juidV[证明]：利用格林公式或张量形式格林公式考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS必要性证毕。第五页，共三十二页，2022年，8月28日2000.362)

充分性证明V：δσij,j=0Sσ：δσijnj=0已知条件：[ε]=[D]-1[σ]需证明的是：应变εij是协调的。或张量表达形式εij=D-1ijklσkl∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dSV：[A]δ[σ]=[0]Sσ：[L]δ[σ]=[0][证明]：因为V：[A]δ[σ]=[0]，所以对任意[λ]∫V([A]δ[σ])T

[λ]dV=[0]利用格林公式和已知条件可得第六页，共三十二页，2022年，8月28日2000.37设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应力满足[A]δ[σ]=[0]。又因为[λ]完全任意，因此可设∫V(

[D]-1[σ]-[A]T[λ])Tδ[σ]dV+∫Su([L]δ[σ])T(

[λ]-[u]0)dS=0(a)在此条件下，式(a)由于虚应力的任意、独立性可得V:[D]-1[σ]-[A]T[λ]=[0]Su：

[λ]-[u]0=[0]充分性证毕。第七页，共三十二页，2022年，8月28日2000.381.1.3余能原理和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力原理∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS可得δ(1/2∫V[ε]T

[σ]dV-∫Su([L]

[σ])T[u]0dS)=0记VC如下所示，并称为变形体的总余能VC=1/2∫V[ε]T

[σ]dV-∫Su([L]

[σ])T[u]0dS则由δVC=0可得在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。余能原理第八页，共三十二页，2022年，8月28日2000.39余能原理等价于协调，表达为VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS=min利用格林公式，立即可证明Ve+VC=01.2泛函的变换格式（龙驭球提出）简单来说，势能原理等价平衡，表达为Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min1.2.1一些预备知识1)变量的分类第九页，共三十二页，2022年，8月28日2000.310除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函的增广变量。在余能泛函VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS中σij是泛函变量，其他是增广变量。泛函中所显含的自变函数称为泛函的泛函变量。在势能泛函Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS中ui是泛函变量，其他是增广变量。第十页，共三十二页，2022年，8月28日2000.311泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为泛函的强制条件。在余能泛函中σij所需满足的平衡条件（内部和边界）即为强制条件。VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS2)泛函所满足的条件在势能泛函中ui所满足的协调条件即为强制条件。Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS第十一页，共三十二页，2022年，8月28日2000.312在余能泛函中σij所对应的应变应满足的协调条件为自然条件。由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛函的自然条件。在势能泛函中ui所满足的平衡条件即为自然条件。在泛函中，泛函变量与增广变量间，或增广变量之间所应满足的条件称为增广条件。在势能泛函中几何方程和物理方程即为增广条件。3)泛函间关系的分类第十二页，共三十二页，2022年，8月28日2000.313如果广义等价的两泛函，其变量和条件均对应相同，称此两泛函为等价的。两泛函所包含的全部变量、全部条件均相同，但是变量的区分不同，或变量的条件不同等，称此两泛函为广义等价。如果两泛函等价，且只相差一比例系数，则称这两泛函互等。1.2.2泛函的三种变换格式1)泛函的放松格式——拉氏乘子法（传统）基本思路是，将强制条件用拉氏乘子引入泛函，从泛函变分判断拉氏乘子含义，并得到放松了强制条件的多自变量泛函的变换格式。第十三页，共三十二页，2022年，8月28日2000.3142)增广格式——高阶拉氏乘子法（钱伟长）教材上介绍了从余能原理得到海林格-赖斯纳二变量广义余能原理的基本步骤，请大家按思路自行推证。只有自己动手，才能真真掌握。基本思路是，对无条件泛函，将增广条件构造一正定二次型，再乘一待定乘子，从而得到新的增广变量变为泛函变量的无条件泛函。请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的泛函是三变量的无条件泛函。3)等价格式——龙驭球格式基本思路是，用自然条件构造正定二次型，按增广格式建立与原泛函等价的新泛函。第十四页，共三十二页，2022年，8月28日2000.315请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建立的另一泛函也是三变量的无条件泛函。并证明当参数等于1时，将“退化”成两变量的海林格-赖斯纳泛函（差一符号）。学习的关键在真真掌握原理、方法等的基本思路，从而以便能灵活运用它。上述各种格式的思路就是如此简单，但不亲自做一做，经验证明真真掌握它是不可能的。4)换元乘子法（龙驭球）将增广变量通过增广条件引入泛函，从而增广条件成为强制条件，再用拉氏乘子法放松强制条件，将增广变量引入无条件泛函的方法。第十五页，共三十二页，2022年，8月28日2000.3161.3含可选参数的广义变分原理1.3.1含可选参数的广义变分原理1）变分泛函的建立从三变量无条件胡海昌-鹫津久一郎广义泛函出发，用等价格式龙驭球建立了教材上前12个正定二次型，我补充了后两个二次型，乘14个参数构成和胡-鹫广义泛函等价的新泛函。龙驭球认为参数是可以任意选取的，因此称为含任意参数的广义变分原理。我提出并得到龙先生认同，参数不能完全任意选取，必须满足教材图示的通路关系。2)参数选取问题第十六页，共三十二页，2022年，8月28日2000.317从而建立了含可选参数的广义变分原理。最基本的是结构力学中介绍的虚功原理，它是一个必要性命题，要求力状态平衡，要求位移状态协调，满足此条件恒有虚功方程成立。虚功原理中力状态是给定的一个，虚位移是任意的，条件的改变导致结论的改变，由此得到虚位移原理。在无限分割情况下，等价于平衡条件。它是一个充分必要性命题。1.3.2变分原理间的相互关系第十七页，共三十二页，2022年，8月28日2000.318虚力原理也是虚功原理条件改变的结果，位移给定虚应力任意，无限分割时等价于协调条件。它也是充要条件。由虚位移原理可导得势能原理，由虚力原理可导得余能原理（当然它们也可由定义来推导）。它们是一对对偶的原理。从势能原理出发，用放松格式可得到无条件的势能原理，用换元乘子法可得到二变量广义余能原理、三变量的广义势能原理。从余能原理出发，用放松格式可得无条件的广义余能原理，用换元乘子法可得到三变量的广义势能原理。第十八页，共三十二页，2022年，8月28日2000.319从二变量的广义余能原理和三变量的广义势能原理出发，用格林公式可分别得到二变量的广义势能原理和三变量广义余能原理。从二变量的广义余能原理或二变量的广义势能原理出发，用等价格式可得到二变量含可选参数的广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化为无条件的势能原理。参数为零时恢复成二变量广义变分原理。第十九页，共三十二页，2022年，8月28日2000.320从三量的广义余能原理或三变量的广义势能原理出发，用等价格式可得到三变量含可选参数的广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化为二变量的含可选参数广义变分原理。参数为零时恢复成三变量广义变分原理。上述原理间的关系，可用教材上P.196图6-2来表示。如果真的掌握了《有限元Ⅰ》所学习的内容，象从势能原理出发通过构造位移场那样，合适地建立变分原理对应的场变量，即可用变分原理得到对应的有限元列式。下面简单介绍基于赖斯纳原理的混合元分析。第二十页，共三十二页，2022年，8月28日2000.3211.4基于Reissner原理的混合元1.4.1原理的使用选择前面介绍了从余能原理获得了二变量广义余能原理如下：用于单元时，考虑结点力作用后改为第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日2000.322由此原理出发，如《有限元Ⅰ》所述，进行有限元分析时要求构造的应力场跨单元协调、在单元应力边界上要求平衡，构造这样的变量场是困难的。为此，用格林公式作变换，得到二变量广义势能泛函如下：用于单元时，考虑结点力作用可同样修改。当用此泛函作有限元分析时，要求位移场跨单元(C0级)协调，由《有限元Ⅰ》可知，这是不难做到的。因此，一般用它分析。第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日2000.3231.4.2单元列式及说明用上述原理作单元列式时，要建立两类变量场：位移场(u)和应力场(σ)，位移场只要满足跨单元协调，并不要像位移元组装后需作约束条件处理，使满足位移边界条件。设(u)=(N)(δ)e(σ)=(β)(P)e代入赖斯纳原理并经数学推导后，可得教材上(6.4-7)所示混合元性质方程。第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日2000.324式(6.4-7)中的一些矩阵分别为有了(6.4-7)混合元性质方程，作整体组装即可获得整体性质方程。但必须注意，整体性质矩阵是奇异的，求解时必须作必要的处理。只和(σ)有关和(σ)、(u)有关只和(u)有关只和(σ)有关混合元分析可直接求得应力，因此一般来说应力的精度比位移元要高。第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日2000.325混合元依据的是驻值原理，因此结果没有一致的趋向性。赖斯纳原理包含两类场变量，这就存在必须解决它们之间合理地配合的问题。当应力参数矩阵(P)相邻单元无关时，可对单元性质方程进行缩聚处理，最终可得到单元“刚度方程”，只要修改“刚度矩阵”和“等效结点荷载矩阵”，就可用位移元的计算程序来解算。对平面和空间问题来说，位移元建立位移场并无多大困难，混合元对板壳计算更有用。第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日2000.3261.4.3薄板弯曲的混合元薄板弯曲理论中的广义势能泛函为式中有关符号的说明见教材P.200。从κ的表达式可见，用它进行混合元分析需要w

具有C1级连续。这将与位移元一样产生困难。为此，需对上述泛函进行改造。第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日2000.327

Herrmann提出用分部积分和奥-高公式对上述泛函进行改造，获得如下的Herrmann泛函（教材上有这种纯数学的具体推导）有了广义变分泛函，和平面问题一样，设出挠度场w

和弯矩场M后，代入泛函即可建立薄板弯曲的混合元性质方程。教材上结合常弯矩三角形、线性弯矩三角形混合元介绍了一些具体列式，可供大家应用时参考。第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日2000.3281.5放松约束的变分原理及杂交元1.5.1修正余能原理前面已得到余能原理，作有限元分析时VC=Σ[1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS]e=min该泛函的强制条件为

Ve:σij,j+Fbi=0

Sσe上:FSi-σijnj=0

SBL上:(σijnj)+-(σijnj)-=0相邻界面前面已经提到，要事先满足上述条件是困难的。为此，可利用放松格式来得到放松了边界处约束条件的修正余能原理（具体推导见教材）。第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日2000.329V*C=Σ[1/2∫VσijεijdV+∫SσFsiuidS-∫SσijnjuidS]e=min该泛函的强制条件改为了

Ve:σij,j