沪科版数学九年级24.4直线与圆的位置关系2

直线和圆的位置关系2luzishu0d>r1d=r切点切线2d<r交点割线．Ｏldr┐┐．ｏldr．Old┐r.ACB..相离

相切

相交

A.Ol切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的?

动手画一画：

画一个⊙O

，在⊙O中任意画一条半径OA，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA.Al探究o

思考：

（1）所画的直线l满足哪些条件？

（2）这样画出来的直线l和⊙O有什么位置关系？为什么？切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线∵OA是⊙O的半径，l⊥OA∴l是⊙O的切线lAO

已知一个圆和圆上的一点，如何过这一点画出圆的切线?lAO下雨天你快速的转动雨伞,转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出的？砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？·

转动的雨伞上的水滴,砂轮转动时的火花都是沿着圆的切线的方向飞出去的。1.经过半径外端的直线是圆的切线（）2.垂直于半径的直线是圆的切线（）3.经过半径的一端并垂直于这条半径的直线是圆的切线（

）判断下列命题是否正确.oooooo以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是__________三角形直角例.如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB。

AC是⊙O的切线吗？为什么？解：AC是⊙O的切线。理由如下：又∵∠BAC＋∠B＋∠C

＝180°∵AC＝AB

，

∠B＝45°∴直线AC⊥AB又∵直线AC经过⊙O

上的A点∴直线AC是⊙O的切线∴∠C＝∠B＝45° ∴∠BAC＝

180°-∠B-∠C＝90°O●ABC例2

直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,

求证:直线AB是⊙O的切线.证明:连接OC∵OA=OB,CA=CB∴△OAB是等腰三角形,OC是底边AB上的中线

∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线有交点，连半径，证垂直切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线O·PABO在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长·OPAB切线与切线长是一回事吗？切线长概念··它们有什么区别与联系呢？

切线和切线长是两个不同的概念：

1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；

2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。切线和切线长OPAB

OABP思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?12结论APOBPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB

即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

几何语言:OPAB1、判断（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。

2、如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则ΔPDE的周长为（）A16cmD8cmC12cmB14cmDCBEAP3.如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，

DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP

即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中相等的圆弧（5）写出图中所有的等腰三角形△ABP，△AOB（6）若PA=4、PD=2，求半径OA（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点

切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。

作经过一定点C的圆的切线．思考：定点C在圆的什么位置？COO.C(1)点C在圆上．(２)点C在圆外．作法：连接OC，过点C作AB⊥OC．则直线AB就是所要作的切线．BA证明：直线AB经过点C，并且AB⊥OC．由切线的判定定理可知，AB就是⊙O的切线，切点是点C．作法：连接OC,以OC为直径的圆为⊙O1，与⊙O

相交于两点P和P′.连接CP和CP′,则CP和CP′都是过已知点C所引⊙O的切线．PP′O1证明：∵∠OPC是⊙O1内半圆上的圆周角，∴∠OPC=90°.∴PC⊥OP.又∵OP是⊙O的半径，PC经过点C，∴PC就是所要作的切线.同理，CP′也是所要作的切线.1.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°.

求证:DC是⊙O的切线..ABDCO练习例1、如右图所示，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？解：直线AB是⊙O的切线。理由如下：在圆O

中，又∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB

＝180°∵因为AB＝OA，∠OBA＝45°∴∠AOB＝∠OBA＝45°∴∠OAB＝180°-∠OBA-∠AOB＝90°∴直线AB⊥OA又∵直线AB经过⊙O

上的A点∴直线AB是⊙O的切线ABO●2.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,

过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED

的形状,并说明理由.ABCDEO直角三角形3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于

D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC

是⊙D的切线.FEABCD1.切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质：

切线的性质３、４、５可归纳为:已知直线满足a.过圆心,b.过切点,c.垂直于切线中任意两个,便得到第三个结论.例3、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD

求证：DC是⊙O的切线ADCBO（（（（1342证明：连接OD∵OA=OD∴∠1=∠3又AD∥OC∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2=∠4∵OD=OB,OC公共∴△OCD≌△OCB∴∠ODC=∠

OBC∵BC与⊙O相切∴∠OBC=900∴OD⊥DC∴DC是⊙O的切线拓展应用二∴∠ODC=900例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．PBAO（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=

PABCO60°（4）OP交⊙O于M，则

，ＡＢ

ＯＰＡＭ＝ＢＭ⌒⌒M⊥牛刀小试（3）若∠P=70°，则∠AOB=

°110（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA

OA=3利用切线长定理进行证明·ABCDEO21例2如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC于点D。求证：DE∥OC证明：连接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２∴ＯＣ⊥ＢＤ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直