专题07以崭新的数列递推式为背景的专题训练(解析版)

专题7 以崭新的数列递推式为背景的专题训练题型一 以复杂数列关系为载体的数列问题1.【安徽省阜阳市2017届高三第二次质量检测数学文】数列an满足a11，且对任意3nN*,an1an2an,cn1，数列cn的前n项和为Sn，则S2017的整数部分是an1（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【安徽省蚌埠市2017届第二次（3月）教学质量检查】数列是以为首项，为公比的等比数列，数列 满足 ，数列 满足，若 为等比数列，则 （ ）A. B. 3 C. D. 6【答案】B【解析】由题意， ，则 ，得,要使 为等比数列，必有，得 ，故选B.3.【江西省吉安一中、 九江一中等八所重点中学 2017届高三4月联考】已知等差数列 an的前n项和为Sn，并且a22,S515，数列bn满足bnn2N，记集22nn合M{n|2Sn2bn,nN*}，若M的子集个数为16，则实数的取值范围n2为_________.【答案】151164.【江西省临川实验学校2017届高三第一次模拟】已知数列an的首项为aa0，前n项和为S，且StSa（t0且t1,nN*），bS1.若nn1nnncn2b1b2bn，则使数列cn为等比数列的所有数对a,t为__________．【答案】1,2【解析】本题主要考査等比数列的应用.当n1时，由S2tS1a，解得a2at.当n2时，SntSn1a,∴Sn1SntSnSn1，即an1tan.又a1a0,∴an1t，即an是首项为a,公比为t的等比数列，∴anatn1，an∵t1，∴bn1aatn.1t∴cn2b1b2bn211anatt2tnt1t2anat1tnat1aatn111t2212n12.1tt1tt2at=0，t2a1,若cn为等比数列，则有{1a解得{2,10,tt1故满足条件的数对是1,2.5.【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟（二模）数学】已知各项都为整数的数列an中，a12，且对任意的nN*，满足an1an2n1，an2an32n1，则2a2017__________．【答案】220176【.黑龙江省哈尔滨市第六中学 2017届高三下学期第一次模拟】 设Tn为数列 an的前n项之积，即Tna1a2a3an1an，若a1111，当Tn11时，n的值为2,1an1an1______【答案】10【解析】由题设数列1是首项为111公差为1的等差数列，则1an121an11n，即an1n1234n11n1，所以a1a2an23n1，则an1nn1nn 1 11 n 10，应填答案10.ynx3n,7.【广西陆川县中学2017届高三下学期模考】已知fn为平面区域In：{x0,y0（x，yR，nN*）内的整点（x，y均为整数的点）的个数，记an2nfn，数列an的前n项和为Sn，若对于nSn16fn1c恒成立，则实N*，4n1数c的取值范围是__________．【答案】 27,2【解析】作出平面区域 In如图所示：由x0，0ynx3n，得0x3,而x1,2.当x1时，0y2n,In内有2n个整点；当x2时，0yn，In内有n个整点综上得In内的整点个数fnn2n3n,于是an3n2n.从而Sn3216229233n2n.则2Sn3226239243n12n3n2n132122232n3n2n1212n两式作差得Sn33n2n1.12则Sn63n32n1,（Sn16）fn13n2n23n19nn1于是4n14n12n.令Tn9nn1Tnmax.2n，则只需cn由TnTn1，即9nn19nn12n2n1，得2n3，由nN*，得n2或3.TnTn19nn19n1n22n2n1所以TnmaxT2T327，则c27.228.【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（文）】数列an的前n项和为Sn满足：n2，数列bn满足：①b31，②bn0，③.220nn1n1nnS42bbbb（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.【答案】（1）an2n11,bn2

n1n1;（2）Tn612n3.2试题解析（1）当n1时，a11，当n2时，anSnSn12n1nN*检验a11，满足an2n1nN*2bn1bnbn202bn1又bn0,2bn1bnq1,b3b1q21241n1又b11bnnN*2n11（2）由（1）得Cn 2n 1212n1Tn13512n122122n11Tn11312n312n1122222n1两式相减得1Tn313n2221n1Tn62n3.2题型二 以函数为载体的数列递推式问题9.【河北省石家庄市高三数学一模考试】已知函数fx在1,上单调,且函数yfx2的图象关于x1对称,若数列an是公差不为0的等差数列,且fa50fa51,则an的前100项的和为()A.200B.100C.0D.50【答案】B【河北省石家庄市第二中学2017届高三下学期模拟联考】某计算器有两个数据输入口M1，M2，一个数据输出口 N，当M1，M2分别输入正整数 1时，输出口N输出2，当

M1输入正整数

m1，

M2输入正整数

m2时，

N的输出是

n；当

M1输入正整数m1，

M2输入正整数

m2

1时，

N

的输出是

n

5；当M1输入正整数

m1

1，

M2输入正整数

m2时，

N的输出是

n

4；当M1输入

60，

M2输入

50时，

N

的输出是（

）A.494

B.

492

C.

485

D.

483【答案】D【解析】由题设可得fm1,m21fm1,m25，则fm1,m2fm1,m215，fm1,m21fm1,m225，fm1,m22fm1,m235，,fm1,2fm1,15；将以上m21个等式两边相加可得fm1,m2fm1,15m21，取m11可得fm1,m2fm1,15m21；又由题设可得fm11,m2fm1,m24，则fm1,m2fm11,m24，fm11,m2fm12,m24，fm12,m2fm13,m24，,f 2,m2 f1,m2 4；将以上m`1 1个等式两边相加可得fm1,m2f1,m24m11，即fm1,m2f1,m24m11，取m21可得fm1,1f1,14m114m12代入fm1,m2fm1,15m21可得fm1,m24m15m27，故当m160,m250时，f60,504605507483，应填答案D.11.【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八】已知数列n满足a11,a22,an21cos2nansin2n,则该数列的前21项的和为__________．22【答案】2112【解析】n为奇数时，cos2n0，sin2n1；cos2n2n2n为偶数时，1，sin20；22所以n为奇数时有an2an1；n为偶数时an22n;即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列 .所以12.【甘肃省兰州市2017年高考实战模拟考试数学理科试题】已知定义域为0,的函数fx满足fx2fx2，当x0,2时，fx2x24x，设fx在2n2,2n上的最大值为annN*，且数列an的前n项和为Sn，则Sn__________．【答案】142n2【解析】当x0,2时，函数对称轴为x1，开口向下，故最大值为f12.由于fx21x，即从2,4起，每隔两个单位长度的图像就是前一个区间图像的一半，f221112n1故最大值是以2为首项，公比为的等比数列，其前n项和Sn4.212n21213.【广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下学期第一次联合模拟（一模）】已知数列an的前n项和为Sn，若函数fxsinx3cosxxR在最大值为a1，且满足ana1anSn，则数列an的前2017项之积A2017__________．anSn12【答案】2【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟】设An表示正整数n的个位数，anAn2An,A为数列an的前202项和，函数fxexe1，若函数gx满足fgxAx11，且bngnnN*，则数列bn的前n项和为Ax__________．【答案】32n3n2n【解析】由题意得，a10,a22,a36,a42,a50,a60，a72,a84,a98,a100,a110,a122，,,可得an是周期为10的周期数列，a1a2a3...a100，前202项和为a1a22，即A2，fxexe1单调递增，且f11,gxAx11，gx2x11,bngn2n11，Ax2x2nSn1131...2n11n,，设Tn1131...2n11，2222n2222n1Tn1131...2n312n111，22222n2n1121...212n11相式Tn2222n2n1，可得2Tn32n3,Sn32n3n，故答案为32n3n.2n2n2n题型三 以数学文化和新定义为载体的数列递推式问题【江西省临川实验学校2017届高三第一次模拟考试】我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法（“少广”算法） ，其方法的前两步如下 .第一步：构造数列1,1,1,1,,1.①234nn，得到一个新数列a1,a2,a3,,an.第二步：将数列①的各项乘以2则a1a2a2a3a3a4an1an等于（）A.n22B.n1C.nn1D.nn+14444【答案】C16.【河北省正定中学2017届高三上学期第三次月考】定义数列an的“项的倒数的n倍和数”为Tn12nnN*，已知Tnn2nN*，则数列an是a1a2an2（）A.单调递减的B.单调递增的C.先增后减的D.先减后增的【答案】A【解析】当n1时，11a12.当n2时，a1，2nn2n122n12nTnn2,综上有Tn1222，所以an2n1anan2n1nN，所以a1a2a3,即数列an是单调递减的，故12n2n11选A．17.【安徽省马鞍山市2017届高中毕业班第二次教学质量检测】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．【答案】1218.【江西省 2017届高三4月新课程教学质量监测】 我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与 9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图） ，最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有 9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多 9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405【解析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，S9999894052【北京市海淀区2017届高三下学期期中考试】已知含有n个元素的正整数集A a1,a2,

,an

（a1

a2

an，

n

3）具有性质

P：对任意不大于SA（其中SA

a1

a2

an）的正整数

k，存在数集

A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．（Ⅰ）写出a1，a2的值；nn 1（Ⅱ）证明：“a1，

a2，,，

an成等差数列”的充要条件是“

SA

”；2（Ⅲ）若SA

2017，求当

n取最小值时

an

的最大值．【答案】（Ⅰ）

a1

1，

a2

2；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

1009．试题解析:（Ⅰ）a1 1，a2 2.（Ⅱ）先证必要性：因为a11，a22，又a1，a2，,，an成等差数列，故annn1n，所以SA；2再证充分性：因为a1a2an，a1，a2，,，an为正整数数列，故有a11，a22，a33，a44，,，ann，所以SAa1a2an12nn1n2，又SAnn1m（m1，2，,，n），故a1，a2，,，an为等2，故am差数列．（Ⅲ）先证明am2m1（m1，2，,，n）．假设存在ap2p1，且p为最小的正整数．依题意p3，则a1a2ap1122p22p11，，又因为a1a2an，故当k2p11,ap时，k不能等于集合A的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即am2m1（m1，2，,，n）成立．因此2017a1a2an122n12n1，即2n2018，所以n11．因为S2017，则a1a2an12017an，若2017anan1时，则当k2017an,an时，集合A中不可能存在若干不同元素的和为k，故2017anan1，即an1009.此时可构造集合A1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009.因为当k2,21时，k可以等于集合1,2中若干个元素的和；故当k22,221,222,223时，k可以等于集合1,2,22中若干不同元素的和；,,故当k28,281,282,,28255时，k可以等于集合1,2,,28中若干不同元素的和；故当k4973,4974,,497511时，k可以等于集合1,2,,28,497中若干不同元素的和；故当

k

1009,1009

1,1009 2,

,1009 1008时，

k可以等于集合1,2,

,28,497,1009

中若干不同元素的和，所以集合

A

1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009

满足题设，所以当n取最小值11时， an的最大值为1009．20.【福建省 2017届高三4月单科质量检测数学文】 某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入出售产品所得收入比上一年多

40万元，预计以后每