专题05数与形的第一次联姻

阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数；2．利用数轴能直观地解释相反数；3．利用数轴比较有理数的大小；4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】已知数轴上有 A，B两点，A，B之间的距离为 1，点A与原点O的距离为 3，那么所有满足条件的点 B与原点O的距离之和等于 _____________．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A，B在数轴上的位置，求出 A，B两点所表示的有理数．【例2】在数轴上和有理数 a,b,c对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①abc 0，②a b b c a c，③(a b)(b c)(c a) 0，④a 1 bc，其中，正确的结论有（ ）个．A．4 B．3 C．2 D．1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到 a 1 0 b c 1，再对代数式进行逐以一判断．【例3】如图所示，已知数轴上点A,B,C所对应的数a,b,c都不为0AB的中点．如，且C是果aba2cb2cab2c0，试确定原点O的大致位置．解题思路：从化简等式入手，而abc是解题的关键．2【例4】 （1）阅读下面材料：时，当A、B两点都不在原点时，①如图2，点A、B都在原点的右边②如图3，点A、B都在原点的左边，点A,B在数轴上分别表示实数 a,b,A,B两点之间的距离表示为 AB．当A,B两点中有一点在原点|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示 2和5的两点之间的距离是 _________，数轴上表示－ 2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示 1和－3的两点之间的距离是 ________________；②数轴上表示 x和－1的两点A和B之间的距离是______________，如果|AB|＝2，那么x为_________；③当代数式|x＋1|十|x－2|取最小值时________，相应的 x的取值范围是 ___________．④求x 1 x 2 x 3 ... x 1997的最小值．（江苏省南京市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式 a b所表示的意义，来回答所提出的具体问题．【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求 y x a1 x a2 x an的最小值．【例6】 如图，A是数轴上表示－ 30的点，B是数轴上表示 10的点，C是数轴上表示 18的点，点A,B,C

在数轴上同时向正方向运动．

点A运动的速度是

6个单位长度

/秒，点B和点

C运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为 t（秒）．（1）当t为何值时，线段 AC＝6（单位长度）？（2）t≠5时，设线段 OA的中点为 P，线段OB的中点为 M，线段OC的中点为N，求2PM－PN＝2时的值．（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）A,B,C三点在数轴上同时向正方向运动，分别当 A点运动到C点左侧和右侧两种情况来分析求解．（2）先将P,M,N三个点在数轴上表示的数分别写出来， 因点M始终在点N左侧，则分为“点P在M,N左边”，“点 P在M,N之间”，“点 P在M,N右边”三种情况来求解．能力训练级1．已知数轴上表示负数有理数m的点是点M，那么在数轴上与点M相距m个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．（江苏省竞赛试题）2．如果数轴上点 A到原点的距离为 3，点B到原点的距离为 5，那么A,B两点的距离为______________．3．点A,B分别是数3，1在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到A'B'的中点对应数3，2则点A'对应的数是________________，点A移动的距离是____________．（“希望杯”邀请赛试题）4．已知a0，b0且ab0，那么有理数a,b,a,b的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）5．在数轴上任取一条长度为19991的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）．9A．1998B．1999C．2000D．2001（重庆市竞赛试题）6．如图，a,b为数轴上的两点表示的有理数，在ab,b2a,ab,ba中，负数的个数有（）A．1B．2C．3D．4（“祖冲之”邀请赛试题）7．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子ababbc化简结果为（）．A．2a3bcB．3bcC．bcD．cb8．如图所示，在数轴上有六个，且是（ ）．

AB BC CD DE EF，则与点C所表示的数最接近的整数A．－1B．0C．1D．2（“希望杯”邀请赛试题）9．已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示：且6a 6b 3c 4d 6，求3a 2d 3b 2a 2b c的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点 Ko，第一步从Ko向左挑一个单位到 K1，第二步由K1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K3，第四步由K3向右跳4个单位到K4，⋯，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100所表示的数恰是 19.94．则电子跳蚤的初始位置 Ko点所表示的数是_________________．11．如图，已知 A,B分别为数轴上两点， A点对应的数为－20，B点对应的数为 100．（1）求过A,B中点M对应的数．（2）现有一只电子蚂蚁 P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动， 同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从A点出发，以 4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 C点相遇，求C点对应的数．（3）若当电子蚂蚁 P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动， 同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从A点出发，以 4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 D点相遇，求D点对应的数．级1．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示：则化简abb1ac1c的结果为_____________________．2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“93站台”的镜头（如示意图中M站台），构4思奇妙，给观众留下深刻的印象．若A,B站台分别位于－2，－1处，AN2NB，则N站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”（《时代学习报》数学文化节试题）3．在数轴上，若 N点与原点O的距离是N点与三〇若对应的点之间的距离的 4倍，则N点表示的数是_________________．（河南省竞赛试题）4．若a 0,b 0，则使x a x b a b成立的x的取值范围是__________________．（武汉市选拔赛试题）5．如图，直线上有三个不同的点 A,B,C，且AB BC，那么，到 A,B,C三点距离的和最小的点为（A．

）．B点外

B．线段

AC

的中点

C．线段

AC

外一点

D．

无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6．点

A1,A2,A3,

,An

(n为正整数)都在数轴上，点在原点

O的左边，且

A1O

1，点

A2在点

A1的右边，且

A2A1

2，点

A3在点

A2的左边，且

A3A2

3，点

A4在点

A3的右边，且

A4A3

4，

，依照上述规律，点

A2008,A2009所表示的数分别为（

） ．A．2008，－2009

B．－2008，2009

C．1004，－1005

D．1004，－1004（福建省泉州市中考试题）7．设yx1x1，则下列四个结论中正确的是（）．A．y没有最小值B．只有一个x使y去最小值C．有限个x（不止一个）使y去最小值D．有无穷多个x使y取最小值（全国初中数学联赛试题）8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A,B,C,D对应的数分别是整数a,b,c,d，且b2a9，那么数轴的原点对应点是（）．A．A点 B．B点 C．C点 D．D点（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）9．已知 x 2 1 x 9 y 5 1 y，求x y的最大值和最小值．（江苏省竞赛试题）10．如图，在环形运输线路上有 A,B,C,D,E,F六个仓库，现有某种货物的库存量分别是 50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．112n1个点，它们对应的整数是n,(n1),,2,1,0,1,2,,n2,n1,n．为．如图，数轴上标有了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求n的最小值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）专题05数与形的第一次联姻例112提示：点A表示数为3或－3，满足条件的点B共有4个．例2B提示：由数轴知a＜－1＜0＜b＜c＜1．∴abc＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）(c－a）＞0，③正确；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正确．例3原点O在线段AC上．例4①3，3，4②|x＋1|1或－3③－1≤x≤2④997002例5如图，用A，B，C，D，E点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给x1，x2，x3，x4，x5台电脑．依题意得：7＋x1－x2＝11＋x2－x3＝3＋x3－x4＝14＋x4－x5＝15＋x5－x1＝10．得x2＝x1－3，x3＝x1－2，x4＝x1－9，x5＝x1－5．本题要求y＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|的最小值，依次代入，可得y＝|x1|＋|x1－3|＋|x1－2|＋|x1－9|＋|x1－5|．由绝对值几何意义可知，当x1＝3时，y有最小值12．此时有x2＝0，x3＝1，x4＝－6，x5＝－2．所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调动的电脑总台数最小为12台．例6（1）A，B，C三点在数轴上同时向正方向运动．当点A运动到点C左侧时，∵线段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．当点A运动到点C右侧时，∵线段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．综上可知，t为14或18时，线段AC＝6．（2）当点A，B，C三个点在数轴上同时向正方向运动 t秒后，点A，B，C在数轴上表示的数分别为：6t－30，10＋3t，18＋3t．（3）∵P，M，N分别为OA，OB，OC的中点．∴P，M，N三个点在数轴上表示的数分别为：6t30，103t，183t．且点M始终在点N左侧．222①若点P在M，N左边，则PM＝103t－6t30＝20－1．5t，PN＝183t－6t30＝24－1．5t．22222PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝28．3②若点P在M，N之间，则PM＝6t30－103t＝－20＋1．5t，22PN＝183t－6t30＝24－1．5t．222PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝44．3③若点P在M，N右边，则PM＝6t30－103t＝－20＋1．5t，PN＝6t30－183t＝－24＋1．5t．22222PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2，∴t＝12．但此时PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情况不成立 ．综上可知，t＝28或44时符合题意．3 3级1．2m 2．2或83.7，19提示：AB的长为12＝5，A对应的数为3－15＝7，点A移动的距离为744222244－（－3）＝19．44．b＜－a＜a＜|b|5．C6．B7．C8．C9．510．－30．06提示：设K0点表示的有理数为x，则K1，K2，⋯，K100点所表示的有理数分别为x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，⋯，x－1＋2－3＋4－⋯－99＋100．由题意得x－1＋2－3＋4－⋯－99＋100＝19．94．11．（1）M点对应的数为20100＝40．（2）相遇时间为120＝12秒，C点对应的数为100－12264×6＝28．（3）追击时间为60秒，D点对应的数为－260．B级1．－2

2．

1133．24或

40．

提示：设

N点对应的数为

x．根据绝对值的几何意义可知

|x|＝4|x－30|．对

x分情况讨论得出

x＝24或

x＝40．4.b≤x≤a 5．A 6．C 7．D 8．C9．原式化为|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．∵|x＋2|＋|1－x|≥3，当－2≤x≤1时等号成立；|y－5|＋|1＋y|≥6，当－1≤y≤5时等号成立．∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．110．调运后各仓库的存货量都相等，应为6

×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64吨．设A库运往B库xB吨，B库运往C库xC吨，C库运往D库xD吨，D库运往E库xE吨，E库运往F库xF吨，F库运往A库xA吨，故有:50＋xA－xB＝84＋xB－xC＝80＋xC－xD＝70＋xD－xE＝55＋xE－xF＝45＋xF－xA＝64．所以，xB＝xA－14，xC＝xB＋20＝xA＋6，xD＝xC＋16＝xA＋22，xE＝xD＋6＝xA＋28，xF＝xE－9＝xA＋19．若使调运量最小，则有 y＝|xA|＋|xB|＋|xC|＋|xD|＋