2021届高考数学新高考下基于问题探究考点1.3 数列的新定义问题

nn-n1n1nn1nnn11nn-n1n1nn1nnn11n1a

数的义题数列是高考重点考查的内容之一，其命题形式多种多样，其中基于问题情境的数列问题在高考逐步成为热点通具体的问题背景新的定义察数列在问题情境中的应用以此来检验学生的核价值，学科素养，关键能力，必备知识。解决数列的新定义问题，常用的解题思路是：审题、建模、研究模型、解决新定义问题。研究型时需注意量多个量(2)量之间的关系规：等差、等比规律；递推关系；其它规由殊到一般进行归纳总结(3)与数列项公式有关或与前项有关等．1．差列等中(1)定义①文字语言：一个数列从第2项，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；②符号语言：－＝n∈，为常)．－＝(n

n∈，为数．(2)等差项：若三个数，A，组等数列，则A叫a，的等差中．即2．差列通公与n项公

a2

．(1)通项式a＝＋n－d．n1

n(n－1)n(＋)(2)前n项公式：＝＋d＝．223．差列性已知数列是等差数列，是前n项．(1)通项式的推广a＝a＋n－)(，m∈)．nm(2)若k＋＝＋(k，，nN，则a＋＝＋．若＋＝(，，N),则a＋＝a．klmnklm4．差列函的系(1)通项式当差时等差数列的通项公式a＝＋－d＝＋－是关于的次函数且一n11次项系数为公差.若差＞，为递增数列，若公差＜0则为递减数列．n(n－1)d(2)前n和：当公差d≠0，S＝＋d＝n222

d＋a－是于n的次函数常数项为0.25．比列有概(1)定义①文字语言：一个数列从第2项，每一项与它的前一项的比都等于同一个常非)．aa②符号语言：＝(∈，为零常)．(nn∈*，为数．nn(2)等比项：如果a，b等比数列，那么A叫与的比中项．即＝

．

n1n1nnnnnn1nnnn1n1nnnnnn1nnn16．比列有公(1)通项式a＝qn1

1．

＝，前n项公式：＝－na－q＝，≠1.－q1－7．比列性已知数列是等比数列，是前n项．m，，p，，kN)(1)若mn＝＋＝，则·＝a＝2；mnpqr8．列通公如果数列的第n项序n之的关系可用个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知a的前n项，则＝

S，＝，S－，≥2.nn19．列递公如果已知数列a的首项或前几)且任一项与的前一项n≥2)(或前几)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．数的定问（1单题1．宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数在辉之后一般为“块积术”现高阶等差数列，其前7项别1，，15，2745，，，该数列的第8项（）A．

B．

C．

D．【答案】【分析】画出图形分析即可列出式子求.【详解】所给数列为高阶等差数列设数列的第8项x，据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图

由图可得：

yxy

，解得.y48

故选：2．列

成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称兔子数”该数列从第三项开始项于其前两相邻两之和记该数

{}n

的前n和为S，则下列结论正确的是（）A．

2019

F2021

B．

2019

2021

C．

2019

2020

．

F2019【答案】【分析】利用迭代法可得

FFFFFnnn2

，可得n

n

，代入n2019即求.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，则

FFFFnnnnFFnn

n

n

FFnn

n

n

n

Fnn

n

Fn

F2

，所以

n

n

，令

，可得

2019

2021

，故选：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出

n

，利用迭代法得出n

FFn

n

n

n

F21

，进而得出

n

n

.3121{}{}m2aa0m01()A18

B16

C14

D12C012m01

ii23456ii33ii23456ii3354657ii22556ii3455000011

000101

00101

0011101

00100111001011

001010

01010

0010011

01000111010011

010010

00001

0110101144（2020全国Ⅱ理12）周期序列在信技术中着重要应用．若序列

aa1

a

n

满足i

，且存在正整数m，得

ai

a(i)i

成立，则称其为0-1周序列，并称满足a

i

(i)的小正整数m为这个序列的周期．对于周期为的序i

aa1

a

n

，C(kaiii

2

是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0-1序中，满足C,34

的序列是

（）A．

B．

．

D．

【答案】C【解析】由

i

i

知，序列a的期为m，已知，i

5Ck)iii

．对于选项，

51Caa()(1555iC(2)

i

2(aaaa)0)5

，不满足；对于选项，

5C(1)(a)(15i

，不满足；对于选项，

5C(1)aa(aaa)(155i

，不满足；故选：C5100

2

2

N:N100N()A440330C220D110({}a

(

(

2

(nN)

ii

i

ai{}

{}

N

n(n2

(n)

{}{}2

N

2

435

29

2

2C

21

210

2D

142

S

2DA．（2多题6．数列

n

任正整数n，

数，则称数列

n

为差递减数列给下列数列

的有（）A．

n

B．

n

2

C．

n

D．

aln

nn【答案】【分析】分别求出四个选项中数列

行判断【详解】

nn对A，

n

，则

ann

，所以

减列，故A错；对B，

2n

，则

n

，所以

为递增数列，故B错误；对

，若

a

，则

ann

nn

1nn

，所以

数，故

正确；对，

alnn

nnnn，则ln)nnnnn2n

，由函数1yln(1)在减所以数x

数列，故D正确故选：

.【点睛】本题考查数列新定义、数列单调性及递推关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查辑推理能力和运算求解能.7．数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差比数列之外它数列涉很下面向大家介绍一种有趣的数列言列例第一项

，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一，一个2

和一个把用数字表示出来到了第二项

a2

.再从左向右看a面又是含有四个，一个

和一个

再它用数字表示出来就得了第三项

3

同可得第四项

143112134

.按此规则重复下去，可以得到一个无穷数

奇发现，无论

a1

、

1

、

a1

，还是a1231

，都有这样的结论：

0

*

，

n0

*

，都有

n

n

.则的可能值为（）A．

B．

C．

D．

【答案】【分析】对各选项中的能取值进行验证，结题意可求出n

a

，并验证

a

与a是相等，由此可得出合n适的选项【详解】对于A选，若

a

，从左往右看，有3个2，2个3，

个1，1个4

，则

n

，从左往右看，有个3，个

，2

个1，1个4

，

则

a

，合乎题意；对于B项，若

n

，从左往右看，有2个

，

个，个1，个4则

n

23322114

，从左往右看，有

个2个

，1，个，则

n

n

，不合乎题意；对于C项，若

n

，从左往右看，有个

，

个2，2个，个4，则

n

23322114

，有

个2，个

，个，1个，则

n

n

，合乎题意；对于D选，若

n

，从左往右看，有3个

，个4个3，

个，则

n

32142321

，从左往右看，有2个3，个2

，

个，个4

，则

a

a

，不合乎题.故选：【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，结合的关键就是充分利用题中定义，由的逐步推导

的值8定义在

上的函数

f

如果对于任意给定的等比数列

n

数列，则称

f

为“保等比数列函数”.现有定在

上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（）A．

f

x

B．f

C．

f

x

．

f

x

ln【答案】【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即.【详解】设等比数列对于A，

.nf()nf()aa

，故是保等比数列函数；

..对于B则

fa)2anf(a)n

a

常数，故B不“保等比数列函数”；对于C则

()na)n

nn

nn

，故是保等比数列数”；对于D，

f(a)lnlnalnlnlnnnnf(a)lnlnlnalnnnn

常数，故D不是“保等比数列函数”.故选：【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础.9．义Hn

a12

n

na

n

为数列

n

的优”已知某数列

n

的优”

H

，前n项为

，则（）A．数列

列

B．列

列C．

S2023

．，S，成差数列46【答案】【分析】由题意可知Hn

a1

n

n

an

n

，即

aann

，则n

时，

，可求解出

an

，易知

是等差数列，则A正，然后利用等差数列的前n项公式求S，判断，的误【详解】解：由H

a

n

，得

aa

an

，

①所以

n2

时，

a2

，②

2nS1111r22nS1111r2得即

时，时，

a，n

，当n

时，由

①知a，足a1

．所以数列

是首项为2，公差为1的等差数列，故正确，，所以S

n2

，所以2020，C正．2，，272

，故D，故选：．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前项和的求解，难度一般10设数列

n

数a对意正数r总在正整数N当n有

r

则列

n

为收敛数列

下列关于收敛数列正确的有（）A．等差数列不可能是收敛数列

B．等比数列

列则公比

qC．数列

n

x

nx是收敛数列．公差不为的差数列

项为n

，则数列是收敛数列【答案】BCD【分析】根据等差数列前和式以及收敛数列的定义可判断据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断；根据收敛的定义可判断C；据等差数列前n和公式以及收数列的定义可判断D.【详解】当

0时取n

2

ddddann222

，为使得

Sn

dd1，所以只需要nr22r

12radrNd

.2

xqxnn111rxqxnn111r对于A，

xn

，则存在，使

xr

，故错对于Bx

，若，对任意正数

r

，当

log

q

时，rn

，所以不存在正整数

使得定义式成立，若q，然符合；若

q

为摆动数列x

，只有两值，不会收敛于一个值，所以舍去；若1

q

，取a

r，N1当时

r1

，故B正；对于C

n

12

，符合；对于D，

xn1n

xn

，1当d时，单递增并且可以取到比更的正数，当

n

d2

dxd

2dr

N

时，

11nn

，同理

，所以D正确故选：

BCD【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题（3填题11．意大利数学家列昂纳斐波那契以兔子繁殖为例，引兔数：1321，55，89，，233，，即

F(1)(2)

，F(nF(F(2)(*)

，此数列在现代物理体构等域都有广泛的应用数被除后的余数构成一个新数列

b2020

【答案】【分析】由题设描述可得被3整后的余构成一个新数列

，观察可知是周期数列，结合目标项下标即可求.【详解】由题意知：兔子数”：，，，，，，，，，，，144，233…，∴此数列被3整后的余数：，2，，，2，，，，，，，，，，，，观察可知新数列是以1，，，，，2，1，为个周期的循环，而∴

的余数为，故答案为：【点睛】本题考查了数列新定义，应用观察法找规律求项，属于简单12．乐与数有着密切的联系，我国春秋时期有个著名三损益法：“宫为本音宫经一次“损频变为原来的

3，得到徵；徵经一“益，率变为原来的，商……次损益交替4变化，获得了宫徵、商、羽”五个音阶，宫”的频率为则角的率为.【答案】【分析】根据已知条件经过一损频率变为原来的概率即可【详解】

3，经过一次益，率变为原来的，依次损益交替变化求4由“宫”的频率为，宫”经过一次“损”得到“徵”的频率变为

，“徵”经过一次“益”，得到商的频率为

98

，27“商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为，16“羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为

364

，所以“角”的频率为

，

2*nn2nnn1nnn3422*nn2nnn1nnn342故答案为：

【点睛】本题主要考查了数列与文化知识结合，关键是读懂题意求出概率，属于基础13．知数列

n

1

1，a

，若上取整函数

表示不小于的小整数（例如：

11aa1

1a2020

______．【答案】【分析】已知等式变形为

1aann

此求得

1

112aa20202021

，再证明

{}n

是递增数列，并通过前几项，估计出

2021

，这样再根据新定义可得．【详解】由已知得

1，aannn

，a1

112a202012021

，因为

n

5(2)且2

，所以

n

，即数列

{}n

各项均大于2，又

n

n

aa

，故

n

，1

，可得

，，3.16

，故当

时，a，以n

，故

11

2020

，

1a1

1a2020

.故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，考查数列的单调性与裂项相消求和法．解题关键是求得和1aa12

a

12020

，通过已知式变形后可用裂项相消法求和，然后问题转化为估计数列中各项的取值范

bb围，结合新定义只要考察数列的前几项即可得出结论．14．一个数中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和已数列

{}n

是等和数列且

a12020

则个数列的前

项的和_.【答案】6060【分析】设等和数列的公和为m．据【详解】设等和数列的公和为m．

1

，利用等和数列的定义求得通项公式，然后利用并项求和法求.因为

1

，所以

aaa2,a23

，数所以a偶数

，又

a2020

，所以

，所以

2020

1452019

2020

，6060

，故答案为：6060【点睛】本题主要考查数列的新定义以及通项公式的求法和并项求和法的应用，还考查了运算求解的能，属于中档题.15．数列n

1an

（

*

，d

为常数称列列”，已知正项数列n调和数列”，且【答案】【分析】

b20190，bb1220192018

的最大值是_______．本题首先可根据调和数列的性质得出

nn

，从而判断出数列

列然后根据

bbb1

22

得出

2022018

，最后根据基本不等式求最值，即可得出结.【详解】因为正项数列调数列”，所以

，数列nn则1

220182

，解得

2022018

，故

b2018

2018

20，即b22018

，当且仅当

b2

时等号成立，故

b2

的最大值是，故答案为：

.【点睛】关键点点睛：本题考查学生对新定义的理解与转化，能否根据“调和数列”的定义和等差数列定义得出数列

n

列解决本题的关键若数列n

列且

d

，则

e

f

，考查计算能力，是中档题.（4解题16．2020山东）已知公比大于的等比数列20，．（）式（）b为m

00项

．【答案

）

480100

．【思路导引利基本元的思想，将已知条件转化1

的形式，求解出

1

，由此求得数列

通项公式）过分析数列

由此求得数列

项和．100【解析数

1的比数列首为a公比为q依题意有

aq1a2

20

，解得

q，以a

，所以数列

式

．

**（）于

21222322664,7

，所以b

对应的区间为：0,1，b1

；b,23

对应的区间分别为：

2

，即有个1b,b,46

对应的区间分别为：

45

，即有2

2

个；b,,8

,b15

对应的区间分别为：

8

，即有

3

个

；b,b16

,31

对应的区间分别为：

,16

431

，即有2

4

个；b,3233

,b63

对应的区间分别为：

,32

63

，即有2

个5；b,b,6465

,100

对应的区间分别为

,6465

100

有个．所以

．17{}na28blga][x]x[0.9][lgbb101{b}1000S{}n28ab]n

lglg11]

lgbbbbb

b

2{b}1000990018（江）已知数列{}(nN)

的首项

a1

，前n项为S．n

与

是常数．若对一切正整数n，有

11kknnn

成立，则称此数列为“

”数列．（）等差数是“”列，求的；（）数列

{}n

是“

”数列，且

a，数列{}n

的通项公式；（）于给定是存在三个不同的数列{a}“数列，且n范围；若不存在，说明理由．【答案】见解析

an

？若存在，求出取

nnnnnnnnnnnnnnnnn32223nnn【解析

时，

annn

，∴

．（）

n

，a()，3因此

S

．S

n

44a，Sa(

．从而

nn

．又

a，411

n

，

n

n

n

，

．综上，3n

．（）存在三不同的数列

{a}为“数列，则n

13n

13n

13n

，则

n

2Snn

13nn

n

n

S

n

n

，由

a，a则令1nn

SnSn

13

，

)p

3n

p

2pn

)

，，pn

2n

，由

p可，n

n

，即ann

，此时

{a}n

唯一，不存在三个不同的数列

{}n

；

时，令

t

，则

，(pnnn

)n

，①

t

时

2)n

，则

pn

同理不存在三个不同的数列

{}n

；②

时)

2

0

p)n

无解

pn

理存在三个不同的数列{a}n

；③

t

时，

(p，nn

，同理不存在三个不同的数列

{a}n

；④

t即0

时，

)

，

)n

有两解，，，2

，

，

，则对任意nN

*

，

SSn或n或nSSnnn

，此时

n1,2，S，S均合条件，,n

nnnnnnnnnnn1111，得，nnnnnnnnnnnnnnn1111，得，nnnn对应

n，，a0,0,

1,n0,3n0,4

，则存在三个不同的数列

{a}n

为“

”数列，且

an

，综上，

．19．2019江苏）定义首项为且比为正数的等比数列为M－数列”．（）知等比{a}

(n

*

)

满足：

aaa,aaa2453

，求证：数{}为M－数列”；（）知数列b}

(n*)

满足：

1

22Sbbnn

，其中为数列{b}的n项．①求数列b}的项公式；②设为整数若存“－列c}

(n

*

)

对任意正整数k当≤时有

ck

bk

ck

成立，求的大值．【解析】（）等比数{a}的公比为，所以，≠0．由

aa24aa31

qq，得aaa11

，解得．q因此数列

{}n

为“M—数列”．（）因为

2Snn

，所以

n

．由

bS111

，得

221b2

，则

2

．由

2bnnS2(bnnn