(高一新教材第二册配套学案) 向量的数量积

226.2.4学习目标

向量的数量积核心素养1．平面向的数量积．(重点)2．投影向的概念．(难点)3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)

1．通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习培养数学建模和数学抽象的核心素养．2．通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F车的位移是，力和位移的夹角为θ.问题：该大力士所做的功是多少？1．两向的夹角→→定义已知两个非零向量abO是平面上的任意一点作OA＝aOB＝b，则∠AOB＝≤≤叫做向量与的夹角．特例：①当θ＝时，向量a，同向．②当θ＝π时，向量a，b反向．π③当θ＝时，向量，b垂直，记作a⊥2．平面量数量积的定义已知两个非零向量a与它们的夹角为θ把数量ab|·cosθ叫做向量与b的数量积(或内积)，记作，即＝|a||bθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.1/11

11111111思考1：量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[示]

两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量．3．投影量→→→设，是两个非零向量，＝a，CD，过B的起点和终点B，分别→→作CD所在直线的垂线，垂足分别为A，B，得到，这种变换为向量向向→量b投影，叫做向量在向量上的投影向量．4．向量量积的性质设a，是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向，则a·e＝＝θ.ab＝0.当a同向时，a·b＝a||b；当ab反向时，a·b＝－a||b特别地，＝|a2

或|a＝a·b|≤|a||b|.5．向量量积的运算律＝.λa·b＝()＝aλ)．a＋)＝＋b·c思考2：a·(b＝(abc成吗？[示]

a)·≠·(b)因为bbc是数量积，是实数，不是向量，所以(a)·c向量c线，ab与向量a线．因此，()·＝·(c)一般情况下不成立．拓展：2/11

2642＝＝，32642＝＝，31．个向量b夹角为锐角时，a·b0且a不共线；两个向量，的夹角为钝角时，<0，不共线．2．量积的定义中要注意两向量的夹角一定要同起点．两向量夹角的范围是[π]．1．思考析(正确的画“√”，错误的画“×”若a＝0，则a＝0＝0.若λa＝0，则＝0或＝0.若a2＝b2，则a＝ba＝－若a＝a，则b＝.

()()()()[案]

×

(2)√

×

×2．已知单向量a，b，夹角为，则ab＝()A．

12

B．

32

C．1D．－

121A[＝1×1＝.]3已知向量ab满足a＝b＝且b＝则与的夹角θ为()ππππA．B．C．．C[条件可知，cos＝

ab1|ab1×4又∵0≤≤π，∴θ＝

π.]4．已知向a，b满足a＝，＝，且a与的夹角为60°，那么＝________.3

[a·bab|cos＝2××

12

＝平面向量的数量积运算3/11

→→→→→→→→→→→→→→→→→→→2【例1】已知|a＝6，＝4，a与的夹角为，求a＋2)·(＋3．→→如图，在ABCD中，AB＝4，|AD＝，∠＝60°求：→→→→①ADBC；②[]

a2b)·(a＋3b＝＋＋6b·b＝＋5＋6|b＝

＋5|ab|cos60°6|b2＝65×6×4×cos60°＋6×4＝→→①因为∥BC

，且方向相同，所以与C夹角是0°所以·BCAD|·cos＝3×3×1②因为与D的夹角为，所以与DA夹角为120°所以·＝AB||DA|·cos120°＝4×3×求平面向量数量积的步骤求与的夹角θ，θ∈[0分别求|a和b求数量积，即a·b|ab|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点4/11

11“·”接，而不能用“×”连接，也不能省略．[进训练]1．(1)已知＝2，＝，与b的夹角θ为60°，求：①ab；②a－)·(＋b．→→→设正三角形的边长为＝cBC＝aCA＝b求ab＋＋ca[]

①a＝bθ＝2×3×cos60°3.②(2a)·(＋3b)＝2a

2

＋5a－3

2＝a25－3|＝2×25×3324.∵a＝b＝|c＝2且与bb与，a夹角均为∴abb＋c＝2×2×120°×＝－与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a的夹角为＝2＝1a＋2b＝________.已知向量a夹角为，且|a＝，|2a＋＝10，求b[路探究]

灵活应用a

2

＝a求向量的模．(1)2

＋2

＝(a2)

＝

＋a|·|2b|·cos60°b2＝2

2

＋2×2×2×2

2

＝44412所以＋＝12(2)[解]

因为2ab＝10所以(2a)2

＝，所以

2

＋4＋

2

＝10.又因为向量与的夹角为且a＝15/11

222222所以×

2

＋4×1×b×＋22

＝10|a

整理得b22|b－6，解得b＝2b＝－2(去)．求向量的模的常见思路及方法(1)模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方．

2

＝a·aa

＝

或a＝

2

质可用来求向量的模实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如ab)

＝

2

a·bb2

，(a)·(b＝

2

－

2等．[进训练]2．若向量ab的夹角为120°，a＝，a－2b＝，则＝()A．

12

B．

72

C．1D．C

[向量ab的夹角为θ，因为－

＝|a2b24|a||b|cosθ又θ＝120°a|12b＝7所以＝＋2

＋2|b，解得＝－

32

(舍去)|b＝1.选．]与向量垂直、夹角有关的问题[究问题]1．与都是非零向量，若⊥，则a等于多少？反之成立吗？[示]

a⊥ab0.2．b与ab的大小关系如何？为什么？对于向量，b如何求它们的夹6/11

1212121121212112121222122角θ[示]

b≤ab，设与b夹角为θ，则·＝|cos两边取绝对值得：|ab＝|abθ|≤当且仅当|＝1即cosθ＝±1θ＝0°取“＝”，所以≤a，cosθ

ab|ab|

.【例3】已知e与是两个互相垂直的单位向量向量＋e与e＋e的夹角为锐角，则的取值范围为________．已知非零向量a，满足＋与7a－5互相垂直，a－4与7a－2互相垂直，求a的夹角．[路探究]不相同．

(1)个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大0且方向由互相垂直的两个向量的数量积为列方程，推与的关系，再求a与b夹角．∪，＋∞)[∵e＋e与ke＋的夹角为锐角，∴e＋e)·(e＋)＝ke

＋ke＋(

＋e1

·＝2k0∴＞0.当k1，1ke1它们的夹角为0°不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k0≠1.](2)[解]

由已知条件得7/11

b2a·b2311121212231221b2a·b23111212122312211222121221212222122即

216b＝0230b8＝0

①②②－①得23b2

－＝0∴2＝

2

，代入①得ab2∴|a＝，∴θ＝

1＝＝|abb2

12

.π∵θ∈[0π]，∴＝.1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[]

∵e＋ke与ke＋的夹角为钝角，∴e＋e)·(e＋)＝e＋e＋

＋e1

·e＝k，∴k0.当k－1，ke与12方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k0≠－1.π2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求的值．k2

[解]由知|e＋ke|＋1k2＋2ke·＋e＝

e＋2ke·＋k

2

＝

1

，＋e＝e＋e)·(e＋)＝ke

＋ke＋(

＋1)e1

·e＝，8/11

πe22k3212πe22k32122222π222222则cos＝＝，|e＋ke||ke＋＋k即＝，整理得1

－4k10解得k

122

＝1．求向夹角的方法求出，a，|b，代入公式cos＝

a·b求解．|ab用同一个量表示a·b，|a，|b，代入公式求解．借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意θ的范围∈[0π]，当θ＞时，θ∈θ＜0π时，θ∈，cosθ＝时，＝.一、知识必备1量a与的数量积是一个实数一个向量值可以为正(a≠0，ππb≠0,0θ＜时)，也可以为(当a0≠，＜≤π时)，还可以当a＝π或b＝0或θ＝时)．2．两非零量a，b，a⊥a＝0，求向量模时要灵活运用公a＝.二、方法必备a·b1个非零向量a夹角θ或其余弦值一般采用夹角公式θ＝，根据题中条件分别求出a，b和，确定θ时要注意θ∈[0π]．2．由夹角围求参数的取值范围一般利用以下结论：对于非零向量，b，9/11

22→→636133π3＝|22→→636133π3＝|ππ其夹角为θ则θ∈＞∈，＜转化为不等式组)求解．→→1．在ABCD中，∠DAB＝30°，则与D的夹角为()A．C．120°

B．D．150°D[图，与D的夹角为∠＝150°.]2已知单位向量a，b，则(2aa－)的值为()A．C．3

B．5D．5C[题意得(＋ba)4a

－b

2

＝4＝3.]3．已知平向量a，满足·(a＋＝且a＝2，＝1则向量a与b的夹角为()ππ2π5πA．B．C．．C[为aab＝a2

＋ab4〈3所〈ab＝－，2又因