【教案】函数的极值与最大（最小）值（第3课时）教学设计人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用《5．3．2函数的极值与最大（小）值》教学设计第3课时教学目标教学目标1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系．2．初步掌握求函数极值的方法．3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．教学重难点教学重难点教学重点：求函数极值教学难点：函数极值与导数的关系课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第89~92页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习函数的极值；（2）学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备．函数的极值与最值是函数的一个重要性质．在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函的增减．如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？设计意图：通过该问题，引起学生思考，顺利地进入本节课的学习．进一步培养学生学会分析和思考的能力．【探究新知】知识点1：函数的极值问题3：观察图（1），当时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？图（1）图（2）师生活动：学生思考后回答，教师完善．预设的答案：放大附近函数的图象，如图（2）．可以看出，；在的附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，．这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有．设计意图：通过熟悉的例子及图象，逐步引导学生思考导数值为0的点附近函数图象的特点以及导数正负性的变化规律．发展学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养．思考：对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？问题4：如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？师生活动：学生认真观察图形后回答，教师完善．预设的答案：以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧．类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧．教师总结：我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．设计意图：通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．结论：(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质．【练一练】函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点师生活动：学生讨论后回答，教师完善．预设的答案：设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．即答案为B.问题5：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：导数值为0的点不一定是函数的极值点．例如，对于函数，我们有．虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点．一般地，对于可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件．设计意图：通过寻找特例，让学生明白对于可导函数来说，导数值为0的点与该点为极值点之间的关系．同时让学生明白，极值不是可导函数的特有的．发展学生数学抽象的核心素养．问题5：极大值一定大于极小值吗？师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：如图是函数的部分图象，由图可知，函数在处的极小值大于在点处的极大值．设计意图：通过该例，让学生不要产生极大值一定大于极小值的错误想法．【巩固练习】例1求函数的极值．师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：因为，所以．令，解得或．当x变化时，，的变化情况如表所示．x2＋0－0＋单调递增单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养．方法总结：一般地，可按如下方法求函数的极值：解方程，当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．例2求函数y＝x3(x－5)2的极值：师生活动：学生分组讨论，每组派一代表发言，教师完善．预设的答案：y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5．当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．方法总结：一般地，求函数的极值的步骤（1）求出函数的定义域及导数f′（x）；（2）解方程f′（x）＝0，得方程的根x0可能不止一个；（3）用方程f′（x）＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′（x），f（x）在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；（4）由f′（x）在各个开区间内的符号，判断f（x）在f′（x）＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f（x）在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．练习：教科书P92练习1、2【课堂总结】1．板书设计：5．3．2函数的极值与最大（小）值（第1课时）新知探究巩固练习知识点1：函数的极值例1例22．总结概括：函数的极值的有关定义；求函数极值的方法和步骤．师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：教科书P98习题5．34、5【目标检测设计】1．设函数，则()A．的极大值点在内 B．的极大值点在内C．的极小值点在内 D．的极小值点在内设计意图：进一步巩固利用导数求函数的极值的步骤和方法，以及函数零点存在定理．2．已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是()A． B．C． D．设计意图：进一步巩固利用导数求函数极值的方法以及方程有解问题的处理方法．3．求函数y＝x3－3x2－9x＋5的极值．设计意图：进一步巩固利用导数求函数的极值的步骤和方法．参考答案：1．A依题意，令，解得．当或时，，当时，，故函数在时取得极大值，在时取得极小值．故选A．2．B，，函数既存在极大值，又存在极小值，导函数有两个不相等的变号零点，，即，解得或．实数的