暑期小升初数学衔接教案

暑期小升初衔接专题一负数相关知识链接小学学过的数：整数（自然数）：0，1，2，3…………分数：SKIPIF1<0……………小数：0.5，1.2，0.25…………提问：温度：零上8度，零下8度，在数学中怎么表示？海拔高度：+25，-25分别表示什么意思？生活中常说负债800元，在数学中又是什么意思？教材知识详解负数的产生：我们把其中一种意义的量规定为正，把另一种和它意义相反的量规定为负，这样就产生了负数。【知识点1】正数与负数的概念正数：像5，1.2，SKIPIF1<0，125等比0大的数叫做正数。负数：像-5，-1.2，-SKIPIF1<0，-125等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比0小，“-”不能省略。注：（1）0既不是正数也不是负数，它是正数负数的分界点（2）并不是所有带有“-”号的数字都叫做负数，例如0【例1】下列那些数为负数5，2，-8.3，4.7，-SKIPIF1<0，0，-0【知识点2】有理数及其分类有理数：整数和分数统称为有理数，整数包括正整数、0、负整数、分数（包括正分数和负分数）。注：分数可以与有限小数和无限循环小数相互转化。有理数分类：按性质分类：SKIPIF1<0按定义分类：SKIPIF1<0【例2】把下列各数填在相应的集合内，－23，0.5，－,28,0,4,,－5.2.整数集合{}负数集合{}负分数集合{}非负正数数集合{}【基础练习】1、零下30C记作（）0C；（）既不是正数，也不是负数。2、在0.5,-3,+90%,12,0,-SKIPIF1<0这几个数中,正数有(),负数有()。3、银行存折上的“2000.00”表示存入2000元，那么“-500.00”表示（）4、将下面的数填在适当的（）里1.65-15.7234096%(1)冰城哈尔滨，一月份的平均气温是()度。(2)六(2)班()的同学喜欢运动。(3)调查表明，我国农村家庭电视机拥有率高达()。(4)杨老师身高()米。(5)某市今年参与马拉松比赛的人数是()人。5、在○里填上“>”、“<”、或“=”-3○1-5○-6-1.5○-SKIPIF1<0-SKIPIF1<0○00○5%6、下列说法错误的是（）A.0既是正数也是负数；B.一个有理数不是整数就是分数；C.0和正整数是自然数；D.有理数又可分为正有理数和负有理数。7、下列实数，，，2.1984374……，中无理数有（）Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个【基础提高】判断正误：（1）有理数分整数、分数、正有理数、负有理数、零五类。（）（2）一个有理数不是整数就是负数。（）2、在-2,0,1,3这四个数中比0小的数是（）A．-2B.0C.1D.23、零上130C记作+130C，零下2oC课记作（）A．2B.-2C.2oCD.-2oC4、在数SKIPIF1<0，2，-2,0，-3,.14中，负分数有（）A．0个B.1个C.2个D.3个5、一包盐上标：净重（500SKIPIF1<05）克，表示这包盐最重是（）克，最少有（）克。6、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，－SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；－SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；；；……7、求下列各数的相反数（1）-5（2）SKIPIF1<0（3）0（4）3a（5）-2b8、甲、乙两人同时从某地出发，如果甲向南走100m记作+100m，则乙向北走70m记作什么？这时甲、乙两人相距多少米？9、在一次数学测验中，某班的平均分为86分，把高于平均分的高出部分的数记为正数。（1）平平的96分，应记为多少？（2）小聪被记作-11分，他实际得分是多少？10、某化肥厂每月计划生产化肥500吨，2月份超额生产了12吨，3月份相差2吨，4月份相差3吨，5月份超额生产了6吨，6月份刚好完成计划指标，7月份超额生产了5吨，请你设计一个表格用有理数表示这6个月的生产情况。专题二数轴相关知识链接有理数分为正有理数、0、负有理数。观察温度计时发现：直线上的点可以表示有理数。教材知识详解【知识点1】数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。0012-1-23注：（1）规定直线上向右的方向为正方向。数轴三要素：原点、正方向、单位长度。【例1】下列五个选项中，是数轴的是（）01-10101-101-12101-101012-2-13【知识点2】数轴上的点与有理数的关系所有有理数都可以用数轴上的点来表示，0表示原点，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示。但反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。【例2】如图，数轴上的点A、B、C、D分别表示什么数？【知识点3】相反数的概念0101-1代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数为0。【例3】（1）SKIPIF1<0的相反数是；一个数的相反数是SKIPIF1<0，则这个数是。（2）分别写出下列A、B、C、D、E各点对应有理数的相反数【知识点4】利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的数，右边的数总是比左边大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。0ab0ab变式：已知a>b>0，比较a，-a，b，-b的大小。【基础练习】一、判断1、在有理数中，如果一个数不是正数，则一定是负数。()2、数轴上有一个点，离开原点的距离是3个单位长度，则这个点表示的数一定是3()3、已知数轴上的一个点，表示的数为3，则这个点到原点的距离一定是3个单位长度。()4、已知点A和点B都在同一条数轴上，点A表示3，又知点B和点A相距5个单位长度，则点B表示的数一定是8。()5、若A，B表示两个相邻的整数，那么这两个点之间的距离是一个单位长度。()6、若A、B两点之间的距离是一个单位长度，那么这两点表示的数一定是两个相邻的整数()7、数轴上不存在最小的正整数。()8、数轴上不存在最小的负整数。()9、数轴上存在最小的整数。()10、数轴上存在最大的负整数。()二、填空11、规定了__________、________和_________的直线叫做数轴；12、温度计刻度线上的每个点都表示一个__________，0°C以上的点表示________，_________的点表示负温度。13、在数轴上点A表示－2，则点A到原点的距离是______个单位；在数轴上点B表示+2，则点B到原点的距离是______个单位；在数轴上表示到原点的距离为1的点的数是______；14、在数轴上表示的两个数，______的数总是比________数小；15、0大于一切________；16、任何有理数都可以用___________上的点来表示；17、点A在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位，再向左移动1个单位，这时A点表示的数是_________________；18、将数，从大到小用“>”连接是__________________________；19、所有大于－3的负整数是______________，所有小于4且不是负数的数是_____________。三、选择21、下列四对关系式错误的是()(A)－3.7<0(B)－2<－3(C)4.2>(D)>022、已知数轴上A、B两点的位置如图所示，那么下列说法错误的是()(A)A点表示的是负数(B)B点表示的数是负数(C)A点表示的数比B点表示的数大(D)B点表示的数比0小24、下列说法错误的是()(A)最小自然数是0(B)最大的负整数是－1(C)没有最小的负数(D)最小的整数是025、在数轴上，原点左边的点表示的数是()(A)正数(B)负数(C)非正数(D)非负数26、从数轴上看，0是()(A)最小的整数(B)最大的负数(C)最小的有理数(D)最小的非负数【基础提高】1、下列各图中，是数轴的是（）AA．B．C．D．01101-1012、下列说法中正确的是（）A．正数和负数互为相反数B．0是最小的整数C．在数轴上表示+4的点与表示-3的点之间相距1个单位长度D．所有有理数都可以用数轴上的点表示3、下列说法错误的是（）A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示B．数轴上的原点表示0C．在数轴上表示-3的点与表示+1的点的距离是2D．数轴上表示-5SKIPIF1<0的点，在原点负方向5SKIPIF1<0个单位4、数轴上表示-2.5与SKIPIF1<0的点之间，表示整数的点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．65、若-x=8，则x的相反数在原点的______侧．6、把在数轴上表示-2的点移动3个单位长度后，所得到对应点的数是_____．7、数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的整数的个数为y，等于3的整数的个数为z，则x+y+z=_____．8、数轴的三要素是___、____、____．9、在数轴上0与2之间(不包括0，2)，还有___个有理数．10、在数轴上距离数1是2个单位的点表示的数是________；11、指出下图所示的数轴上各点分别表示什么数．A，B，C，D，E，F分别表示_____，_____，_____，_____，_____，_____．12、在数轴上描出大于-3而小于5的所有整数点．0012345-5-4-3-2-113、判断下面的数轴画的是否正确，如果不正确，请指出错在哪里？-1-15-2-3-4-5123414、SKIPIF1<0在数轴上表示SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0沿数轴向右平移3个单位到点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0所表示的数为A．3Ｂ．2Ｃ．SKIPIF1<0Ｄ．2或SKIPIF1<015、画出数轴，把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序，用“<”连接起来。16、比较下列每组数的大小（1）和－（2）－和－（3）和专题三绝对值相关知识链接只有符号不同的两个数是互为相反数；在数轴上位于原点的两旁，且与原点距离相等的两个点所对应的两个数互为相反数。教材知识详解【知识点1】绝对值的概念几何定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。数“a”的绝对值记作“|a|”，如|+2|=2，|-3|=3，|0|=0.代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即：a（a>0）,a（aSKIPIF1<00）|a|=0(a=0),或|a|=-a(a<0),-a（a<0）注：a.绝对值表示一个数对应的点到原点的距离，由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能事负数，即a取任意有理数，都有|a|SKIPIF1<00.b.离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小。c.互为相反数的两个数绝对值相等。如：|2|=2，|-2|=2【例1】求下列各数的绝对值。（1）SKIPIF1<0（2）+4.2（3）0【知识点2】两个负数大小的比较绝对值大的反而小【例2】比较下列有理数的大小（1）-0.6与-60（2）-SKIPIF1<0与-SKIPIF1<0（3）-SKIPIF1<0与-SKIPIF1<0【基础练习】一、填空题1.一个数a与原点的距离叫做该数的_______.2.－|－|=_______，－（－）=_______，－|+|=_______，－（+）=_______，+|－（）|=_______，+（－）=_______.3._______的倒数是它本身，_______的绝对值是它本身.4.a+b=0,则a与b_______.5.若|x|=，则x的相反数是_______.6.若|m－1|=m－1,则m_______1.若|m－1|>m－1,则m_______1.若|x|=|－4|,则x=_______.若|－x|=||,则x=_______.二、选择题1.|x|=2,则这个数是（）A.2 B.2和－2C.－2 D.以上都错2.|a|=－a，则a一定是（）A.负数 B.正数C.非正数 D.非负数3.一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（）A.－m B.mC.±m D.2m4.如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（）A.正数 B.负数C.正数、零 D.负数、零5.下列说法中，正确的是（）A.一个有理数的绝对值不小于它自身B.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C.若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D.－a的绝对值等于a三、判断题1.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等. （）2.若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等. （）3.若x<y<0,则|x|<|y|. （）四、解答题1.若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算:（1）x,y,z的值.（2）求|x|+|y|+|z|的值.2.若2<a<4,化简|2－a|+|a－4|.3.（1）若=1,则x为正数，负数，还是0。（2）若=-1,则x为正数，负数，还是0.【基础提高】一、填空题1.互为相反数的两个数的绝对值_____.2.一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越_____.3.绝对值最小的数是_____.4.绝对值等于5的数是_____，它们互为_____.5.若b＜0且a=|b|，则a与b的关系是______.6.一个数大于另一个数的绝对值，则这两个数的和一定_____0（填“＞”或“＜”）.7.如果|a|＞a，那么a是_____.8.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为_____.9.将下列各数由小到大排列顺序是_____.－，，|－|，0，|－5.1|10.如果－|a|=|a|，那么a=_____.11.已知|a|+|b|+|c|=0，则a=_____，b=_____，c=_____.12.计算（1）|－2|×(－2)=_____（2）|－|×5.2=_____（3）|－|－=_____（4）－3－|－5.3|=_____二、选择题13.任何一个有理数的绝对值一定（）A.大于0 B.小于0C.不大于0 D.不小于014.若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a+b一定是（）A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数15.下列说法正确的是（）A.一个有理数的绝对值一定大于它本身B.只有正数的绝对值等于它本身C.负数的绝对值是它的相反数D.一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数16.下列结论正确的是（）A.若|x|=|y|，则x=－yB.若x=－y，则|x|=|y|C.若|a|＜|b|，则a＜bD.若a＜b，则|a|＜|b|专题四有理数的加法相关知识链接加法的定义：把两个数合成一个数的运算，叫做加法；加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；加法分配律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。教材知识详解【知识点1】有理数加法法则同号两数相加；取相同的符号，并把绝对值相加。数学表示：若a>0、b>0，则a+b=|a|+|b|；若a<0、b<0，则a+b=-(|a|+|b|)；异号两数相加，绝对值相等（相反数）时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值。数学表示：若a>0、b<0，且|a|>|b|则a+b=|a|-|b|；若a>0、b<0，则a+b=|b|-|a|；一个数同0相加，仍得这个数。【例1】计算：（1）（+8）+（+2）（2）（-8）+（-2）（3）（-8）+（+2）（4）（+8）+（-2）（5）（-8）+（+8）（6）（-8）+0【知识点2】有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）【例2】计算4.1+（+SKIPIF1<0）+（-SKIPIF1<0）+（-10.1）+7【基础练习】1.如果规定存款为正，取款为负，请根据李明同学的存取款情况①一月份先存10元，后又存30元，两次合计存人元，就是（＋10）＋（＋30）=②三月份先存人25元，后取出10元，两次合计存人元，就是（＋25）＋（－10）＝2.计算：（1）SKIPIF1<0； （2）（—2.2）+3.8；（3）SKIPIF1<0+（—5SKIPIF1<0）；（4）（—5SKIPIF1<0）+0；（5）（+2SKIPIF1<0）+（—2.2）； （6）（—SKIPIF1<0）+（+0.8）；（7）（—6）+8+（—4）+12； （8）SKIPIF1<0（9）0.36+(—7.4)+0.3+(—0.6)+0.64；（10）9+（—7）+10+（—3）+（—9）；3.用简便方法计算下列各题：（1）（2）（3）（4）（5）3、用算式表示：温度由—5℃上升8℃后所达到的温度．4、有5筐菜，以每筐50千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：＋3，－6，－4，＋2，－1，总计超过或不足多少千克？5筐蔬菜的总重量是多少千克？5.一天下午要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五血压变化情况，该病人上个星期日的血压为160单位，血压的变化与前一天比较：星期一二三四五血压的变化升30单位降20单位升17单位升18单位降20单位请算出星期五该病人的血压【基础提高】1．计算：(1)3-8；

(2)-4+7；

(3)-6-9；

(4)8-12；(5)-15+7；

(6)0-2；

(7)-5+9+3；

(8)10+（-17）+8；2．计算：(1)-4.2+5.7+（-8.4）+10；

(2)6.1-3.7-4.9+1.8；4．计算：(1)12+(-18)+(-7)+15；

(2)-40+28+(-19)+(-24)+(-32)；5．计算：(1)(+12)+(-18)+(-7)+(+15)；2)(-40)+(+28)+(-19)+(-24)+(32)；(3)(+4.7)+(-8.9)+(+7.5)+(-6)；(4)SKIPIF1<0专题五有理数的减法及加减混合运算相关知识链接减法是加法的逆运算。教材知识详解【知识点1】有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+（-b），这里a、b表示任意有理数。步骤：（1）变减为加，把减数的相反数变成加数；（2）按照加法运算的步骤去做。【例1】计算（1）（－3）－（－5）；(2)0－7；(3)7.2－（－4.8）；（4）(+4.7)-(-8.9)+(+7.5)-(-6)（5）-11-7-9+6【知识点2】有理数加减混合运算的方法和步骤第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化成为加法；第二步：再运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行运算。【例2】计算：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【基础练习】1.已知两个数的和为正数，则()Ａ．一个加数为正，另一个加数为零B.两个加数都为正数Ｃ．两个加数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值Ｄ．以上三种都有可能2.若两个数相加，如果和小于每个加数，那么()Ａ．这两个加数同为正数B．这两个加数的符号不同C．这两个加数同为负数D．这两个加数中有一个为零3.笑笑超市一周内各天的盈亏情况如下:(盈余为正,亏损为负，单位：元)：132，-12，-105，127，-87，137，98，则一周总的盈亏情况是()A.盈了B.亏了C.不盈不亏D.以上都不对4.下列运算过程正确的是（）Ａ．（-3）+（-4）＝-3+-4=…Ｂ．（-3）+（-4）＝-3+4=…Ｃ．（-3）-（-4）＝-3+4=…Ｄ．（-3）-（-4）＝-3-4=…5.如果室内温度为21℃，室外温度为－７℃，那么室外的温度比室内的温度低（）Ａ．－28℃Ｂ．－14℃Ｃ．14℃D．28℃6.汽车从A地出发向南行驶了48千米后到达B地，又从B地向北行驶20千米到达C地，则A地与C地的距离是()A．68千米B．28千米C．48千米D．20千米7.x＜0,y＞0时,则x,x+y,x－y，y中最小的数是()AxＢx－yＣx+yDy8.｜x-1｜+|y+3|=0,则y－x－SKIPIF1<0的值是（）A－4SKIPIF1<0B－2SKIPIF1<0Ｃ－１SKIPIF1<0Ｄ１SKIPIF1<09.在正整数中,前50个偶数和减去50个奇数和的差是()A50B－50C100D－10010.在1，—1，—2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）Ａ１Ｂ０Ｃ－１Ｄ－３二、填空题11.计算：(-0.9)+(-2.7)=,3.8-(+7)=.12.已知两数为5SKIPIF1<0和－8SKIPIF1<0，这两个数的相反数的和是，两数和的绝对值是.13.绝对值不小于5的所有正整数的和为.14.若m，n互为相反数，则|m-1+n|=.15.已知x.y，z三个有理数之和为0，若x=8eq\f(1,2)，y=-5eq\f(1,2)，则z=.16.已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m-n等于。17．在-13与23之间插入三个数，使这5个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是.18.SKIPIF1<0的绝对值的相反数与SKIPIF1<0的相反数的和为______________。【基础提高】1、下列算式是否正确,若不正确请在题后的括号内加以改正：(1)(-2)+(-2)=0();(2)(-6)+(+4)=-10();(3)+(-3)=+3();(4)(+SKIPIF1<0)+(-SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0();(5)-(-SKIPIF1<0)+(-7SKIPIF1<0)=-7().2.已知两个数-8和+5.（1）求这两个数的相反数的和； （2）求这两个数和的相反数；（3）求这两个数和的绝对值； （4）求这两个数绝对值的和.3．分别根据下列条件，利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0表示a+b：（1）a>0,b>0; （2）a<0,b<0（3）a>0,b<0,SKIPIF1<0>SKIPIF1<0 (4)a>0,b<0,SKIPIF1<0<SKIPIF1<04．选择题（1）若a,b表示负有理数，且a>b,下列各式成立的是A.a+b>(-a)+(-b); B.a+(-b)>(-a)+bC.(+a)+(-a)>(+b)+(-b) D.(-a)+(-b)<a+(-b).(2)若SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则a,b的关系是()A.a,b的绝对值相等； B.a，b异号；C.a，-b的和是非负数； D.a，b同号或其中至少一个为零.（3）如果SKIPIF1<0+[-1SKIPIF1<0]=1，那么x等于（）A．SKIPIF1<0或-SKIPIF1<0； B．2SKIPIF1<0或-2SKIPIF1<0； C．SKIPIF1<0或-SKIPIF1<0 D．1SKIPIF1<0或-1SKIPIF1<0（4）若a+b=(-a)+(-b),那么下列各式成立的是（）A．a=b=0 B．a>0,b<0,a=-bC．a+b=0 D．a+(-b)=05、计算（1）（+23）+（-27）+（+9）+（-5）；（2）（-5.4）+(+0.2)+(-0.6)+(+0.35)+(-0.25);（3）2SKIPIF1<0+[6SKIPIF1<0+(-2SKIPIF1<0)+(-5SKIPIF1<0)]+(-5.6);(4)(-3SKIPIF1<0)+(4SKIPIF1<0)+[(-SKIPIF1<0)+(+2SKIPIF1<0)+(1+1SKIPIF1<0)];（5）8SKIPIF1<0+[6SKIPIF1<0+(-3SKIPIF1<0)+(-5SKIPIF1<0)]+(-3SKIPIF1<0).专题六有理数的乘除法一.重点难点：1.重点：掌握有理数乘除法运算律2.难点：熟练运用运算律进行计算二.知识要点：有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘都得0。有理数中仍有：乘积是1的两个数互为倒数。有理数乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置积相等。有理数乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相等，或者先把后两个数相乘，积相等。有理数乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并且绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。【典型例题】[例1]（1）（2）解：（1）（2）[例2]用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每升高1000米，气温变化量为，登高后，气温有什么变化？解：答：气温下降18℃[例3]计算：（1）（2）解：（1）（2）[例4]用两种方法计算解法一：解法二：[例5]计算：（1）（2）解：（1）（2）[例6]化简下列分数：（1）（2）解：（1）（2）【模拟试题】1.计算：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）2.当，，，时，计算下列各式：（1）（2）（3）（4）3.用“”“”“=”填空：（1）若，，则0，0（2）若，，则0，0（3）若，，则0，0

【试题答案】1.（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） （9） （10）2.（1）4.2（2）（3）（4）3.（1）；（2）；（3）；专题七有理数的乘方一.教学重、难点重点：理解乘方及有理数乘方运算难点：熟练掌握乘方运算二.知识要点（一）求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂。（二）有理数混合运算1.先乘方再乘除最后加减2.同级运算从左到右进行3.如有括号先做括号内的运算按小括号中括号大括号依次进行。（三）科学记数法把一个大于10的数表示成的形式，使用的是科学记数法。（四）近似值与有效数字从一个数的左边第一个非0的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。【典型例题】[例1]计算：（1）（2）解：（1）（2）[例2]计算：解：原式[例3]观察下面三行数：、、、、、……①、、、、、……②、、、、、……③（1）第①行按什么规律排列（2）第②③行与第①行分别有什么关系（3）取每行第10个数求这几个数的和解：（1）第①行数是、、、……（2）对比①②两行数第②行数是第①行数加2，对比①③两行数第③行数是第一行数的0.5倍。（3）每行数中，第10个数的和是[例4]用科学记数法表示下列各数：、、解：[例5]按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似值。（1）（精确到）（2）（保留两位有效数字）解：（1）（2）【模拟试题】1.计算：（1）（2）（3）（4）（5）2.用科学记数法表示下列各数：（1）（2）（3）3.用四舍五入法取近似值：（1）（精确到）（2）（保留3位有效数字）【试题答案】1.（1）（2）（3）（4）（5）2.（1）（2）（3）3.（1）（2）专题八有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1000000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999．例6计算103×97×10009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347．可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1)÷20=89.95．例12计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；(6)1+4+7+…+244；2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

专题九代数式及代数式求值首先简要说明字母能表示什么？字母可以表示任何数，用字母可以表达数量之间的运算关系，展示规律，简化公式的书写。相关知识链接加法交换律：乘法交换律：乘法结合律：乘法分配律：长方形的周长=长方形的面积=长方体的体积=圆柱的体积=圆的周长=圆的面积=教材知识详解【知识点1】用字母表示运算律及公式用a、b、c表示三个数，则加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）乘法交换律：ab=ba乘法结合律：（ab）c=a（bc）乘法分配律：a（b+c）=ab+ac长方形的周长=长方形的面积=长方体的体积=圆柱的体积=圆的周长=圆的面积=用a，b分别表示梯形上底和下底，h表示高，用S表示面积，则梯形的面积公式是如果小明今年a岁，爸爸今年的岁数是小明得倍，妈妈比爸爸小两岁，则妈妈今年岁。【知识点2】代数式由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方等代数运算所得的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。例如：5、a、3b、5a+2b、SKIPIF1<0、2SKIPIF1<0、…………注：（1）在代数式中不能出现“=”“SKIPIF1<0”“>”或“SKIPIF1<0”等表达数量关系的符号；（2）代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以有括号，如a+b（m+n）；（3）代数式中的字母所表示的数必须是这个代数式有意义，如SKIPIF1<0中aSKIPIF1<00.【例3】对于代数式SKIPIF1<0，正确的读法是（）A.SKIPIF1<0的3倍与SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的差B.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的差的3倍C.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0除以2的差的3倍D.SKIPIF1<0的3倍与SKIPIF1<0的差的SKIPIF1<0【例4】用代数式表示比a与b的和的一半小1的数；数m的一半和它本身的和；与a的和是1的数。【例5】在式子：①m+5；②ab；③a=1；④0；⑤π；⑥3（m+n）；⑦3x>5中，是代数式的有。【知识点3】代数式求值的方法与步骤代数式求值的一般步骤：用数值代替数式中的字母；按照代数式指明的运算顺序计算出结果。【例6】当x=SKIPIF1<0时，求代数式x2—4x—5的值。【例7】当x=5，y=2，z=-1时，求x—yz的值。【基础练习】1、x的5倍与y的差等于（）。A．5x-yB．5（x-y）C．x-5yD．x5-y2、设甲数为a，乙数为b，用代数式表示（1）甲乙两数的和的2倍；（2）甲数的与乙数的的差；（3）甲、乙两数的平方和；（4）甲乙两数的和与甲两数的差的积。（5）甲与乙的2倍的和；（6）甲数的与乙数差的；（7）甲、乙两数和的平方；（8）甲乙两数的和与甲乙两数的积的差。3、当SKIPIF1<0时，求代数式SKIPIF1<0的值4、当m=2，n=–5时，求SKIPIF1<0的值5、已知当SKIPIF1<0时，2x-5y6、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当a=5cm，b=4cm，r=1cm时，计算出阴影部分的面积是多少。【基础提高】一、填空题：１、一支圆珠笔a元，5支圆珠笔共＿＿＿＿＿元。２、“a的3倍与b的的和”用代数式表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。３、比a的2倍小3的数是＿＿＿＿＿。４、某商品原价为a元，打7折后的价格为＿＿＿＿＿＿元。 ５、一个圆的半径为r，则这个圆的面积为＿＿＿＿＿＿＿。６、当x＝－2时，代数式x2＋1的值是＿＿＿＿＿＿＿。７、代数式x2－y的意义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。８、一个两位数，个位上的数字是为a，十位上的数字为b，则这个两位数是＿＿＿＿＿。９、若n为整数，则奇数可表示为＿＿＿＿＿。10、设某数为a，则比某数大30％的数是＿＿＿＿＿。11、被3除商为n余1的数是＿＿＿＿＿。12、校园里刚栽下一棵1.8m的高的小树苗，以后每年长0.3m。则n年后的树高是＿＿m二、求代数式的值：１、已知：a＝12，b＝3，求的值。２、当x＝－，y＝－，求4x2－y的值。３、已知：a＋b＝4，ab＝1，求2a＋3ab＋2b的值。专题十合并同类项相关知识链接前面学习了字母表示数，用字母表示数可以把一般的数量或具有普遍意义的数量关系正确、简明的表达出来。乘法分配律的逆运算：ab+ac=a（b+c）教材知识详解【知识点1】代数式的系数与项当代数式是数与字母的乘积时，字母前的数叫做这个代数式的系数，如1.5x的系数为1.5。对于代数式3x2-2x-3，我们可以看做是3x2，-2x，-3这3个代数式的和，其中这三个代数式叫做代数式3x2-2x-3的项，每一项中字母前得数叫做这个项的系数。注：（1）说明代数式系数的时候，要记得代数式前面的括号；（2）只含字母的代数式的系数为1或-1,如a，nm的系数为1，-p的系数为-1；（3）单独一个数的代数式（常数项），他们的系数是它本身，如-3的系数为-3；（4）π是一个常数，含π的代数式的系数包含π，如-2πn2的系数为-2π。【例1】说出代数式SKIPIF1<0中的各项及各项的系数。【例2】指出下列代数式的系数：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【知识点2】所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项，叫做同类项。如：xy2和-3xy2是同类项，SKIPIF1<0πr和3r是同类项。注：（1）同类项必须具备的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相同；（2）同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无关，如2a2bc与-6bca2是同类项；（3）常数项都是同类项。【例3】下列各题中的两项是不是同类项？为什么？（1）2x2y与5x2y；（2）2ab3与2a3b；（3）4abc与4ab；（4）3mn与-mn；（5）53与a3；（6）-5与+3.【知识点3】合并同类项及其法则把同类项合并成一项就叫做合并同类项。如：9a-6a=3a，-12x3y+4x3y=-8x3y，这种整式的运算叫做合并同类项。在合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变。步骤：（1）准确找出同类项；（2）利用合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（3）运用有理数的加减法法则计算出结果的系数，写出最后答案。【例4】合并同类项（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【知识点4】去括号法则括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。注：要变都变，要不变都不变。【例5】去括号合并同类项（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【基础练习】一、选择题1．下列说法正确的是（）．A．3x2与ax2是同类项B．6与x是同类项C．3x3y2与－3x3y2是同类项D．2x2y3与－2x3y2是同类项2．下列各式合并同类项结果正确的是（）．A．2x2－x2=1B．x2+x3=x5C．2a2－a2=aD．3x3－5x3=－2x33．代数式x2ym与nx2y（其中m，n为数字，n≠0）是同类项，则（）．A．m=1，n为不等于零的任何数B．m=1且n=0C．m=0，n为任何数D．m=0且n=1二、填空题4．在代数式SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0和______是同类项，SKIPIF1<0和_____是同类项，5和_______是同类项．5．当a=_______时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在x为任何数时值都相同．6．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是同类项，则m=_____，n=_______．7．合并同类项：SKIPIF1<0=_______．8．代数式SKIPIF1<0共有_______项．9．代数式SKIPIF1<0的系数为______．三、解答题10．合并同类项（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0（5）(3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y)（6）2a-[3b-5a-(3a-5b)]11．代数式求值：SKIPIF1<0，其中x=3，y=－2．【基础提高】1.填空：(1)如果SKIPIF1<0是同类项，那么SKIPIF1<0.(2)如果SKIPIF1<0是同类项，那么SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(3)如果SKIPIF1<0是同类项，那么SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(4)如果SKIPIF1<0是同类项，那么SKIPIF1<0.(5)如果SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是同类项，那么SKIPIF1<0.2.合并下列多项式中的同类项：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<03.下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正。（1）、SKIPIF1<0（2）、SKIPIF1<0（3）、SKIPIF1<0（4）、SKIPIF1<04.按下列步凑合并下列多项式（=1\*GB3①找同类项=2\*GB3②整理同类项位置=3\*GB3③合并同类项）（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0（5）a-(a-3b+4c)+3(-c+2b)（6）(3x2-2xy+7)-(-4x2+5xy+6)（7）2x2-{-3x+6+[4x2-(2x2-3x+2)]}（8）4(a+b)+2(a+b)-7(a+b)(9)3(x-y)2-7(x-y)+8(x-y)2+6(x-y)；5.求多项式SKIPIF1<0的值，其中x＝－2．6.求多项式SKIPIF1<0的值，其中a＝－3,b=2．专题十一一元一次方程相关知识链接等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式；代数式：由数和表示数的字母经过有限次加、减、乘、除、乘方等代数运算所得的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。教材知识详解【知识点1】方程和方程的解含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。注：一个式子是方程必须满足两个条件：①是等式；②必须含有未知数。【知识点2】一元一次方程在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。注：（1）一元一次方程的标准形式是ax+b=0（aSKIPIF1<00），其中x是未知数，a、b是已知数，a叫做未知数的系数。（2）判断一个方程是否为一元一次方程，关键是看化简成最简形式后是否满足一元一次方程定义的三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③未知数的系数不为零。三者缺一不可。【例1】判断下列各式，哪些是等式，哪些是方程，哪些是一元一次方程。（1）-2+5=3（2）3x-1=7（3）m=0（4）x>3（5）x+y=8（6）2x2-5x+1=0（7）2a+b【知识点3】等式的基本性质基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，则a+m=b+m，a-m=b-m，其中a、b、m为任意代数式；基本性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，则am=bm，SKIPIF1<0，其中a、b、m为任意代数式；【例2】用适当的代数式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。（1）如果x-3=2，那么x=；（2）如果4x=12，那么x=；（3）如果3-x=2，那么x=。【知识点4】解方程求得方程的解的过程，叫做解方程。用等式的基本性质解一元一次方程ax+b=0（aSKIPIF1<00），先根据等式的基本性质1变形为ax=-b，再根据等式的基本性质2得x=-SKIPIF1<0。解方程：（1）3-y=6；（2）2x+10=22下列说法正确的是（）A．若ac=bc，则a=bB.若SKIPIF1<0，则a=bC.若a2=b2，则a=bD.若SKIPIF1<0x=6，则x=-2【基础练习】一、选择题：1、下列各式中是一元一次方程的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<02、方程SKIPIF1<0的解是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.1D.-13、若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解满足方程SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.10B.8C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<04、下列根据等式的性质正确的是（）A.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0B.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0C.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0D.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<05、解方程SKIPIF1<0时，去分母后，正确结果是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<06、电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视的售价为a元，则该电视机的原价为（）A.0.81a元B.1.21a元C.SKIPIF1<0元D.SKIPIF1<0元8、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是()A.不赚不亏B.赚8元C.亏8元D.赚8元9、下列方程中，是一元一次方程的是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0二.填空题：1、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.2、已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.3、关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的解是3，则SKIPIF1<0的值为________________.4、现有一个三位数，其个位数为SKIPIF1<0，十位上的数字为SKIPIF1<0，百位数上的数字为SKIPIF1<0，则这个三位数表示为__________________.5、甲、乙两班共有学生96名，甲班比乙班多2人，则乙班有____________人.三、解方程:1、SKIPIF1<02、SKIPIF1<03、SKIPIF1<04、SKIPIF1<0【基础提高】1、方程SKIPIF1<0的解是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<02、已知等式SKIPIF1<0，则下列等式中不一定成立的是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<03、方程SKIPIF1<0的解是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<04、解方程SKIPIF1<0，去分母，得（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<05、下列方程变形中，正确的是（）（A）方程SKIPIF1<0，移项，得SKIPIF1<0（B）方程SKIPIF1<0，去括号，得SKIPIF1<0（C）方程SKIPIF1<0，未知数系数化为1，得SKIPIF1<0（D）方程SKIPIF1<0化成SKIPIF1<06、某数的3倍比它的一半