山西省太原市煤炭气化集团有限责任公司第一中学2021年高三数学理期末试题含解析

山西省太原市煤炭气化集团有限责任公司第一中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则的子集共有（A）2个

（B）4个

（C）6个

（D）8个参考答案：B本题主要考查了集合间的运算关系及对子集的理解,难度较小.因为集合P=={1,3},则P的子集有、{1}、{3}、{1,3}，故选B.2.已知等差数列的公差为不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，且是正整数，则的值可以是

A.

B.-

C.

D.参考答案：C由题意知，，所以，因为是正整数，所以令，为正整数。所以，即，解得，因为为正整数，所以当时，。符合题意，选C.3.已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是 A．命题“∧”是真命题

B．命题“（┐）∧”是真命题 C．命题“∧（┐）”是真命题

D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题参考答案：B略4.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于对称，则向量的坐标可能为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略5.给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m。在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

（

）

①函数的定义域为R，值域为[o，]；

②函数的图象关于直线对称；

③函数是周期函数，最小正周期为1；

④函数在[]上是增函数．

则所有正确的命题的编号是

A．①③

B．①②③

C．②④

D．③④参考答案：B6.定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩?RB=（）A．（1，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．[0，2）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴?RB=（﹣∞，1]，则A∩?RB=[0，1]．故选：B．7.已知函数，若，且，则的最小值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略8.已知M为△ABC的边AB的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足，若，则λ的值为（）A．2 B．1 C． D．4参考答案：A【考点】向量的线性运算性质及几何意义；向量的加法及其几何意义．【分析】由题意满足，可得：四边形PACB是平行四边形，又M为△ABC的边AB的中点，可得PC=2PM，即可得出．【解答】解：由题意满足，可得：四边形PACB是平行四边形，又M为△ABC的边AB的中点，∴PC=2PM，，∴λ=2．故选：A．9.若函数f（x）的图象与函数y=（x﹣2）e2﹣x的图象关于点（1，0）对称，且方程f（x）=mx2只有一个实根，则实数m的取值范围为（）A．[0，e） B．（﹣∞，e）） C．{e} D．（﹣∞，0）∪{e}参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】求出f（x）的解析式，作出f（x）的函数图象，根据f（x）与y=mx2的交点个数判断．【解答】解：∵f（x）的图象与函数y=（x﹣2）e2﹣x的图象关于点（1，0）对称，∴f（x）=﹣[（2﹣x）﹣2]e2﹣（2﹣x）=xex，f′（x）=ex（x+1），∴当x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，作出f（x）的函数图象如图所示：显然，当m=0时，f（x）与y=mx2有1个交点，符合题意；排除C，D；当m＜0时，抛物线y=mx2与f（x）的图象有2个交点，即f（x）=mx2有2个根，不符合题意，排除B，故选：A．10.在一个样本的频率分布直方图中，总共有9个小长方形，若中间一个小长方形面积等于其它8个小长方形的面积和的，且样本容量为90，则中间一组的频数为A.18 B.15 C.12 D.10参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________.参考答案：12.已知幂函数的图像过点，则此幂函数的解析式是_____________.参考答案：设幂函数为，则由得，即，所以，，所以。13.已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________。参考答案：略14.设向量=（﹣2，1），=（1，3），若向量+λ与向量=（﹣3，﹣2）共线，则λ=

．参考答案：﹣1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由平面向量坐标运算法则先求出，再由向量向量与向量=（﹣3，﹣2）共线，能求出λ．【解答】解：∵向量=（﹣2，1），=（1，3），∴=（﹣2，1）+λ（1，3）=（﹣2+λ，1+3λ），∵向量与向量=（﹣3，﹣2）共线，∴﹣3（1+3λ）=﹣2（﹣2+λ），解得λ=﹣1，故答案为：﹣115.若实数满足不等式组，则的最大值为

．参考答案：略16.已知函数，若且，则的取值范围是

参考答案：17.设tR，若x＞0时均有，则t＝______________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小正周期为8．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及函数的增区间；（Ⅱ）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△POQ的面积．参考答案：【考点】：正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）由已知得A=2．由周期公式可求得ω，即可确定解析式，由2k≤x+≤2k，k∈Z即可解得函数的增区间．（Ⅱ）先由已知可求得：P，Q坐标，即可求得|OP|，|OQ|，|PQ|的值，由余弦定理可得cos∠POQ，可得sin∠POQ=，从而由面积公式即可求值．解：（Ⅰ）由已知得A=2．由周期公式可求得：．∴f（x）=2sin（x+）．∴由2k≤x+≤2k，k∈Z即可解得：x∈[8k﹣3，8k+1]，k∈Z，∴函数的增区间是[8k﹣3，8k+1]．，k∈Z，（Ⅱ）∵函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，∴可求得：P（2，），Q（4，﹣）．∴可求得：|OP|=，|OQ|=3，|PQ|=2∴由余弦定理可得：cos∠POQ==，sin∠POQ=，∴△POQ的面积为s=×OP×OQ×sin∠POQ=3．【点评】：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理的应用，两点距离公式的应用，属于中档题．19.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．【点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．20.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD为正方形，E、F分别为AB、PC的中点。

（I）求证：平面PCD；

（II）求二面角A—PC—D的余弦值。参考答案：略21.（本小题满分14分）已知，且．（1）求证：；（2）若，求的值．参考答案：（1）证明：， ， ， ，① ，

若，则由①与矛盾，， ①两边同除以得：；（2）解：由（1）得，，

，，

，，从而．22.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，∠，，⊥底面。（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值。参考答案：（Ⅰ）证明：设，则，在△中，∠，根据余弦定理，得，∴，∴⊥。又⊥底面，底面，∴⊥。而平面，平面，，∴⊥平面，