6.2排列与组合-选择性必修第三册同步讲义(机构专用)

nn学习奥数的优点1、激发学对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。2、训练学良好的数学思维习惯和思维品质。要

奥生思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。3、锻炼学优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。6.2排列与组知梳一、排列、排列数从不同元素中取出≤n个元素的所___列____的个数，叫作从n个同元素中取出个素的排列数用符号表示为：m、排列相同的条件两个排列相同，当且仅当两个排列的元_完相，且元素的排列顺____也相同．、排列数的公式：

Am

()

(

，其中

m,

且

m、把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个素的一个全排列，即：

n

(n)也就是说将n个不同的元素全部取出的排列数于整数1n的乘积做n的乘用

!

表示即

A!

。规定：

!、排列数公式也可以写成：

Amn

n()!

，其中

m,

且

m二、组合、组合：从个同元素中取出

mm)

个元素作为一组，叫做从n个同元素中取个素的一个组合、组合数：从n个不同元素中取出m≤n)个元素的__有组合_____的个数，叫作从个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示为：

、组合数公式：

Cm

A(n)Amm

n!(

，其中

m,

*

且

m规定：

C、组合数的性质：1

C

；（）

C

知典题型一排列念例

判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站间的直达航线的飞机票的价(假设来回的票价相同；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、活委员；(6)某班名学生在假期相互通信．【精彩点拨】

【自主解答】(2)(3)(4)(5)(6)AB巩练

9A6－A5n910109991010n－Amn写出下列问题的所有排列．9A6－A5n910109991010n－Amn(1)从四数字中任取两个数字组成两位，共有多少个不同的两位数？(2)写出从元素，b，c，d任取元素的所有排列．【精彩点拨】(1)(2)【自主解答】(1)12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43(2)adcdacdbcdcb

题型二排列式计算A5＋例(1)算：；证明：m－AmAm.nnn1010【精彩点拨】(1)2)Am【自主解答】(1)：

A5A4A6A5

4A45150A410A450

9A5A44×996：A6A510510×

(2)∵Am

1

＝

n－－m！＋＝－－！＝＋1－m＝m

！－m＝Am

1

n1nnn∴Amn1nnn

－Am＝mAm

1

巩练给出下列四个关系式：①

!

(

②A

③

mn

n!(1)!④A(n)!(m)!其中正确的个数为（）A1个

B．2个

C．

D．个【答案】C【分析】①根据阶乘公式判断.②根据排列数公式判断③根据排列公式判④根据排列数公判.【详解】①因为

(

，故正②

!n()!(n)!

，故正③

mn

n!(n)!

，正确④因为

mn

n!(1)!，所以A(n)!(n)!

，故不正确.故选：题型三组合例

判断下列各事件是排列问题还是组合问题．支队以单循环进行比(两队比赛一次)这次比赛需要进行多少场次？支队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从个人里选3个表去开会，有多少种选法？(4)从个人里选出3个同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】【自主解答】(1)(2)(3)

n100n100n100n100n1(4)n100n100n100n100n1巩练甲、乙、丙、丁4支足球队举行循环赛（1）列出所有各场比赛的双方（2）列出所有冠、亚军的可能况解题型四组合公式计算例式子可示为()！AA100C．

B．C100D．101C101(2)求值：5＋C9

【精彩点拨】【自主解答】(1)101nn

101C101n

【答案】D(2)

n145≤n≤5nNn14545.n4C5n

n

C9n

C1C55n

n

C

n1

C

C16.巩练（多选）下列等式中，成立的有（）A

An

n!m!

B．

mmnC．

Cn

D．A

【答案】BCD【分析】根据排列数公式和组合数性质判断．【详解】A(n(nn

n!(n)!

，A错；根据组合数性质知

正确；Amn

n!()!

n1)![(nm

nAn

，正确．故选：．题型五排列式应用例同学合影，其中男生，女生，站成了一排，要求3位生不相邻的排法有（

）A12

B种

C．种

D．种【答案】A【分析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法以及排列式即可求【详解】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：A2122

故选：A巩练把2､4五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数.（1是个数列的第几项？（2这个数列的第71项多少？（3求这个数列的各项.【答案】（1）第；）第71项3头的五位数中第二大的数；）

【分析】（1先考虑大于的数，分为两类：第一类开的五位数，第二类头的五位数，求出对应的个数，即可得出不大于的数的个数，进而可到结果；（2分别求出开的五位数，2开的五位数，开的五位数，对应的个数总和为7，进而可得出结果；（3根据个位，十位，百位，千位，万位上的数字的取值情况，分组求和，即可得出结.【详解】（1先考虑大于的，分为以下两类：第一类开头的五位数有：

4

24第二类开头的五位数有：一个∴不大于的数有：

A4120955

个)即是数中第95项（2）头的五位数有：

4

24头的五位数有：

4

24头的五位数有：

424共有24

(个)所以第71项是3开的五位数中第二大的数，即35412.（3因为1，2，，4，5各万位上时都有

424

个五位数，所以万位数上的数字之和为

4同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有(1所以这个数列的各项和为4

24个位数，432

0

11111

题型六组合式应用例从3名医生和名女生中，选派组成医疗小分队，要求女生都有，则不同的选取方法种数为用字作答)【答案】

45【分析】根据题意分为两类：男1女和，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求.【详解】由题意，从男医生和名女医中，选派人成医疗小分队，要求女生都有，可分为两类：第一类，若2男1女，共有

23

种不同的选取方法；第二类，若1男2女，共有

23

种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数15故答案为：45.

种巩练从进入决赛的9名手中决出2一等奖3名等奖4名等奖可能的决赛结果共有________种用数字作答）【答案】【分析】根据分步计数原理计算可得答【详解】第一步，决出三等奖，有

C49

126

种；第二步，决出二等奖，有C种第三步，决出一等奖，有

C

种，根据分步计数原理可得，共有1261260

种故答案为：

1260巩提

1、若A5

A42n

，则）B67D．【答案】B【分析】根据排列数与组合数公式列方程计算即.【详解】解：由

A

得：5

n

2

，解得：

或n舍去.故选：2、下列等式不正确的是（）An

m

Cn

B．A

AC．

D．【答案】A【分析】根据排列组合数公式依次对选项，整理变形，分析可得答案．【详解】A根据组合数公式，

n!(1)!m!()!(1)!()!

，A不正确；B

A

，n

故A

A

A

B确；C，

故

C正；D，

故D正；故选：A．3、若

A2

42

，则

n!3!(

的值为（）A60【答案】D【分析】

B

C．120D先由

A2

42

可求出，再代入式子即可求【详解】

..

n

222

n2

42

，解得

或

（舍去），

n!7!71403!(3!3!3

故选：4、某校从5名学中选择3人别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（）A10

BD．125【答案】C【分析】先从名同学选择分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求【详解】根据题意，某校从5名学中选择分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的人顺序的区别，则有

3

种选法；故选：C.5、某小组共有5名同学，4名同现从该小组中选出同学分别到A，BC三进行社会调查，每地1名若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（）A70

B种

C．840

D．420种【答案】D【分析】先按“男女2

”或“男2

女”出

名同学，再排到三个地方，由此计算出不同的方法.【详解】如果按“男1女

”选出

名同学，则方法数有

5

24

种，如果按“男2

女1”选

名同学，则方法数有

C240

种，再将选出的3名学安排到个方，则总的方法数有

3

种故选：D6、三名男生和三名女生站成一照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有()A72

B种

C．种

D．144种【答案】D【分析】

【详解】男甲与男生乙种法，再与另一个男生排列，则有种方法，

2

3AA144D

2

7、以长方体

AC111

的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出三角形，则这三角形不共面的情兄有（）A【答案】B【分析】

B．D．1492根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体

ABD1

的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数及从中随机取出2个角形的情况总数，再求出这两个三角形共面情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案．【详解】因为平行六面体

D111

的8顶点任意三个均不共线，故从个顶点任取三个均可构成一个三角形共有

3=56

个三角形，从中任选两个，共有

C

种情况，因为平行六面体有六个面,六个角面，

从顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定个不同三角形，故任取出2三角形，则这三角形不共面共有-×61468，故选：、男同学和女同学站成一排（1）女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3其中甲、乙两同学之间必须有人，有多少种不同的排法？（4男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）17280；）；（3；（4）.【分析】（1捆绑法求解即可；（2插空法求解即可；（3特殊位置法求解即可；（4插空法求解即.【详解】（1）女同学必须站在一起，则视4女生为以整体，可得排法为

A464

；（2先排5个男同学，再插入女同学即可，所排法为：5

43200

；（3根据题意可得排法为：

C

A3

2

A

；（4）5男生中间有4个，插入女生即可故有排法

A5

.9、现有

本书和

位同学，将书全部分给这三位同（1若5本完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2若5本都不相同，共有多少种分法？（3若

本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【答案】（1）

种；（2）

种；（3种【分析】

（1用挡板法求解；（2每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；（3用分组分配问题的求解方法求解，①将本书分成3，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：（1）据题意，若

本书完全相同，将

本书排成一排，中间有个位可用，在4空位中任选2个插入挡板，有C

种况，即有

种不同的分法；（2根据题意，若

本书都不相同，每本书可以分给

人中任意，都有分法，则不同的书有35（3根据题意，分进行分析：

243种①将

本书分成

组，若分成、、三组，有

C15102

种分组方法，若分成、、三组，有

C54152

种分组方法，025则有种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名生，有则有25种分法

A3

种情况，10、现有编号为A，B，

，D，F，

G

的7个不同的小球．（1若将这些小球排成一排，且要求，，

三个球相邻，则有多少种不同的排法？（2若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且B，，各相邻，则有多少种不同的排法？（3若将这些小球排成一排，要求A，B，C，四球按从左到右排（可以相也可以不相邻），则有多少种不同的排法？（4若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】（1）