高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 全国获奖

1．汽车行驶的路程1．了解求汽车变速行驶的路程的方法．2．了解“以不变代变”和逼近的思想，借助物体运动的实际背景体会定积分的基本思想．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．如果物体按规律s＝s(t)运动，则物体在时刻t0的瞬时速度为s′(t0)．想一想：如果物体按规律s＝2t2运动，则物体在时刻t＝2的瞬时速度为8．2．汽车做匀速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为v＝v0，物体经过时间t所行驶的路程为s＝v0t．想一想：物体以v＝20km/h的速度做匀速直线运动，经过3小时物体经过的路程为60_km．3．当物体做匀加速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为v＝v0＋kt，此时在0＜t＜a时段中物体经过的路程为s＝v0a＋eq\f(ka2,2)＝eq\f(v0＋（v0＋ka）,2)a．想一想：(1)物体做匀加速直线运动时，速度v关于时间t的关系式为v＝2＋t，此时在0＜t＜6时段中物体经过的路程为______．(2)求物体做变速直线运动的路程的具体步骤有哪些？答案：(1)30(2)①分割；②近似代替；③求和；④取极限．eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(B)\f(1,3)\f(1,2)C．1\f(3,2)解析：曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝eq\f(1,2)，即为这段时间内物体所走的路程．2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(A)A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析：由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.3．汽车以速度v做匀速直线运动是地，经过时间t所行驶的路程s＝vt，如果汽车做匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是_________________________．解析：围成该图形的直线和曲线分别是t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2.答案：t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(A)解析：汽车加速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越多，曲线呈加速上升状态，曲线的切线的斜率也越来越大；汽车减速行驶时，相同的时间内汽车走过的路程越来越少，曲线呈减速下降状态，曲线的切线的斜率也越来越小．点评：加速行驶时速度越来越大，曲线的切线的斜率也越来越大，减速行驶时速度越来越小，曲线的切线的斜率也越来越小．常用此法来判断物体运动的路程—时间曲线的变化情况．2．如果物体按规律s＝tn运动，在时刻t＝1时的瞬时速度为3，则n为(C)A．1B．2C．3D．4解析：s′(t)＝ntn－1，t＝1时，n＝3.故选C.3．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动，在第1s到第2s间的1s内经过的路程是(C)A．7mB．mC．mD．m解析：将[1，2]n等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt＝eq\f(1,n)，v(ti)＝veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))＋2＝eq\f(3,n)(i－1)＋5.所以sn＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,n)（i－1）＋5))·eq\f(1,n)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,n)[0＋1＋2＋…＋（n－1）]＋5n))·eq\f(1,n)＝eq\f(3,n2)eq\f(n（n－1）,2)＋5＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＋5，所以s＝eq^\o(,\s\do4(n→∞))sn＝eq\f(3,2)＋5＝(m)．4．已知某物体运动的速度v＝2t－1，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程的近似值为________．解析：由题意知，物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和，即S＝1＋3＋5＋…＋19＝eq\f(1＋19,2)×10＝100.答案：100eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为(D)A．80米B．60米C．40米解析：由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.令v(t)＝0，得t＝5，即t＝5秒时，汽车将停车．将区间[0，5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为(C)A．1B．2C．3D．4解析：将区间[0，a]分为等长的n个小区间，第i个区间记为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（i－1）a,n)，\f(ia,n)))(i＝1，2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt＝eq\f(a,n)，所以v(ti)＝(eq\f(ia,n))2，sn＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ia,n)))eq\s\up12(2)·eq\f(a,n)＝eq\f(a3,n3)(1＋22＋…＋n2)＝eq\f(a3n（n＋1）（2n＋1）,6n3)＝eq\f(a3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))，于是s＝eq^\o(,\s\do4(n→∞))sn＝eq\f(a3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＝eq\f(a3,3)＝9，得a＝3.故选C.7．汽车作直线运动，前2小时的速度是v＝110km/h，后3小时的速度是v＝80km/h，则5小时内汽车行驶的路程为________．解析：路程s＝2×110＋3×80＝460(km)．答案：460km8．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1s到第2s间的1s内经过的路程是________m.解析：由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故S＝eq\f(1,2)×(5＋8)×1＝.答案：9．若一辆汽车的速度—时间曲线