(典型题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题

xx一、选题1．如果关于x的元二次方程k﹣2k）＝有个实数根，那么k的取值范围是（）A．k﹣

B．≥﹣

且≠0

C．＜

．＞－

且≠02．已知方程xx可配成

（）A．B．1C0

．3．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（）A．

12

x（﹣）45

B．

12

（＝45C．x﹣）45

．（）454．已知关于的元二次方程x

，

时，该方程解的情况是（）A．有两个不相等的实数根C．两个相等的实数根5．下列方程中，是一元二次方程的是）

B．实数根．能确定A．x

B．

xy

C．

x

．

6．下列一元二次方程中，有两个不相实数根的是（）A．

x

B．

0C．x2x

．3x07．若关于的元二次方程

x

有实数根，则整数的大值为）A．

B．．D28．定义运算：a☆bab

2

ab例如：☆

2

．则方程☆x的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根C．实数根

B．两个相等的实数根．有一个实数根9．用配方法解方程x的程中，配方正确的是（）A．

x

2

x

2

B．

2

x

2

31C．

．

(x

2

10．于国内疫情得到缓和餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元若设每天的增长率为x，则列方程为（）A．

2000(1)2420

B．

x)2420C．

2000(1)

2

．x

xmn1212xmn12121211．

时，关于的元二次方程bx0的的情况为（）A．有两个不相等的实数根C．有实数根

B．两个相等的实数根．法确定12．元二次方程xA．x＝3二、填题

＝﹣3x的是（）B．＝C．x＝，＝3D．x＝，x＝1213．、分别为一元二次方程xmn．

x的个实数根，则14．x

是一元二次方程x

1x的个实数根，则实数的为___．x215．图，四边形ACDE是明勾股定理时用到的一个图形a，，是和RtBED

边长，易知AE2，这时我们把关于x的形如ax

2

2的元二次方程称为勾一元二次方．若

是勾系一元二次方”

ax

2

2的个根，且

S

，则四边形ACDE

的周长是．16．角形一边长为10，两边长是方程x

的实根，则这是一_____三角形．．一元二次方程－＋＝0的两根是x，，＋－_________．18．知：（22）（y21）20那么x+y＝．19．义新运算”如：当时ab；a时bab

．若(2x(

，则

x

______________．20．于实数定义新运算”：b2，24，则实数的是．

．三、解题21．读下面材料，并完成题．任意给定一个矩形，若存在另一个矩形，它的周长和面积分别是矩形A的半，则称矩形A,是兄弟矩形”．探究：当矩形A的边长分别为7和时是否存在A的兄矩形B小亮同学是这样探究的：①设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得②2由，

y

，

,,把代入，得x(4)

72

，整理，得2

．b2，的兄矩存在．（）已知矩A的长分别为和2，你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形B是存在？（）矩形的长为m和，当A的兄弟矩”B存在时，求应足的条件．22．方程：23．方程

x2(1)5

(2)

(2x2(34)

224．知：关于x的方程x-6＝，（）证：方有两个不相等的实数根；（）方程的个根是3求另一个根及k值．25．读下列材料：已知实数x，满

的值．解：设

2

2

，则原方程变为

(63

，整理得a2，

64，根据平方根意义可得

a

，由于

xy2

0

，所以可以求得

2

．这种方法称为“换法，一个字母去代替比较复杂的单项式多式，可以达到化繁为简的目的．根据阅读材料内容，解决下列问题：（）知实数，满足

xyx27

，求的．247（）知，b满方程组2abb236

；求

11a

的值；（）空：已知关于x，的程组

ay11ay2

的解是，关于，的程组ya1ay2

的解是．26．中，B90,，点、分别从A、两同时出发，均以cm/s的速度作直线运动，已知点P沿射线

运动，点Q沿的长线运动，设点P运时间为(s)，△的积为

．当P运到几秒时

？

【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1．解析：【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出≠0，eq\o\ac(△,)b2-4ac，立关于k的不等式组，求出k的值范围．【详解】解：由题意知，2≠0，eq\o\ac(△,)b2ac（+1）-4k

2k+1≥0．解得k

且≠0故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程2bxc=0（）根的判别eq\o\ac(△,)=b2ac：eq\o\ac(△,)＞，程有两个不相等的实数根；eq\o\ac(△,)=0，方程有两个相等的实数根；eq\o\ac(△,)＜，程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．2．A解析：【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m、的值，由此可求得答案．【详解】解：由（m）＝，得：+2mxm2﹣＝，m＝，

﹣＝，m＝，＝1（﹣）

＝1，故选：．

【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．A解析：【分析】关系式为：棋手总数每棋手需赛的场÷，把相关数值代入即可．【详解】解：本次比赛共有个赛棋手，所以可列方程为：

x（

-

1）．故选：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有场，最后的总场数应除以．4．A解析：【分析】计算根的判别式，根据k的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：一二次方程x0，=

b

ac

k=16+4k，

，

，＞，＞0原程有两个不等的实数根，故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．5．C解析：【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的程是一元二次方，根据定义解答即可．【详解】A、是一元一次方程，不符合题意；B、二元一次方程，不符合题意；C、一元二次方程，符合题意；

、二元二次方程，不符合题；故选：．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．6．C解析：【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：

+6x+9=0，eq\o\ac(△,)=6-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.20，eq\o\ac(△,)2，该方程无实数根，故本选项不合题意；

x，eq\o\ac(△,)2，该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；3x

xeq\o\ac(△,)=(-４

-4×3×2=16-24=-8<0即该方程无实数根，故本选项不合题意．故选．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程2（≠0）的根eq\o\ac(△,)=b-4ac有如下关系①eq\o\ac(△,)＞时，方程有两个不相等的两个实数根②eq\o\ac(△,)时，方程有两个相等的两个实数根③＜0时方程无实数根．7．C解析：【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，出a的围，确定出所求即可．【详解】解：关的一元二次方程

x

有实数根，＝−8a）且a≠0，解得：

且a≠2，则整数a的大值为．故选．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．8．A解析：

【分析】根据新定义运算法则以及利eq\o\ac(△,用)0可判断方程根的情况．【详解】解：由题意可知1x=x，=1-4×1×（）=5＞，有个不相等的数根故选：．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．9．A解析：【分析】用配方法解方程即可．【详解】解：x0，移项得，x

，配方得，

x2x2

，即

x

2x2

，故选：．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，能够熟练按照配方法的步骤进行解题是关键．10．解析：【分析】根据开业第一天收入约为2000元之后两天的收入按相同的增长率增长，第天入约为2420元列方程即可得到结论．【详解】设每天的增长率为，依题意，得：2000(1x

．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．解析：【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】

解：

b

，

，x0，

)

2

2

c

2

bb24b

2

，

方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．12．解析：【分析】移项，利用因式分解求解即可【详解】解：x

＝﹣，移项，得x

+3x＝，分解因式，得x（）＝，x＝，x+30，解得x

＝，

x

2

＝﹣3，故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点，选择因式分解法求解是解题的关二、填题13．-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出将其代入中即可求出结论【详解】解：∵mn分别为一元二次方程的两个实数根∴m+n=-3mn=-7则故答案为：-11【点睛】本题解析：【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3，mn=-7，其代入2mnm)【详解】

中即可求出结论．

aa解：m，分为一元二次程x的个数根，m+n=-3，，则

mn)=2

．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，mn=-1解题的关键．14．【分析】根据根的判别式变形计算即可；【详解∵是一元二次方程的两个实数根∴∴；故答案是：【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系准确计算是解题的关键解析

75【分析】根据根的判别式变形计算即可；【详解】

x,x

是一元二次方程x

x的个实数根，xx

ba

7

，

cxx1

，

11x12

xx21xx12

75

；故答案是：

75

．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键．15．12【析】根据题意可以求得的值再根据勾股定理可以求得的值从而可以求得四边形ACDE的周长【详解】解：∵x=-1是勾系一元二次方程的一个根∴∴∵SABC=2a2+b2=c2=2得ab=4解析：【分析】根据题意可以求得b的，再根据勾股定理可以求得的，从而可以求得四边形ACDE的周长．【详解】解：x=-1是“勾系一元二次方”ac，2c，a

ax

2的一根，S

=2，+b2=c

，

12121121212

=2，得ab=4，（+）=+2+b2c

+2ab=c

2+8，（+）=c，+8=2

2

，22（去），解得，=四形ACDE的长是ab+ab+

2c=2

2+

2cc=12，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解、三角形的面积、勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形【详解】解：x2-14x+48=0分解因式得：（）（x-8）=0解得：或x=8∵62+8解析：角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形．【详解】解：-14x+48=0分解因式得：（）=0，解得：或x=8，6

+8=10

，这一个直角三形．故答案为：直角【点睛】此题考查了解一元二次方因式分解法，利用此方法解方程时首先将程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为0转为两个一元一次方程来求解．17．3【分析】先根据根与系数的根据求得x1＋x2和x1

x2的值然后代入计算即可【详解】解：∵一元二次方程x2－4x＋10的两根是x1x2∴x1＋x2=4x1

x2=1∴x1＋－x1x2＝4-1解析：【分析】先根据根与系数的根据求得x＋和的值，然后代入计算即可．【详解】解：一二次方程

－＋0的两根是x，

1212112121212121212x＋，x＋－4-1=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程2（）两根是x、，则x＋=

c、．a18．【分析】应用换元法得到一元二次方程解方程问题可解【详解】解：设t＝x2+y2（t≥0）则（﹣1＝20整理得（﹣（t+4）＝解得t＝或t﹣4（舍去）所以x2+y2＝故答案是：5【解析：【分析】应用换元法，得到一元二次方程，解方程问题可解．【详解】解：设＝22（≥0），则t（﹣）．整理，得（﹣）（t）＝．解得＝或＝4舍去）．所以+2＝5．故答案是：．【点睛】本题考查了换元法和解一元二次方程的知识，解答关键是根据题意选择合适未知量使用换元法法解题．19．或【分析】分类讨论当和当两种情况时根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可注意所求的解要符合题意【详解】分类讨论当时即此时解得：由于所以两个根都舍去②时即此时解得：由于所以两个根都符合题意故解析：

12

或

．【分析】分类讨论当

2当

两种情况时，根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可．注意所求的解要符合题意．【详解】分类讨①当

2

时，即

．此时

2xx(2x2)2x

2

，解得：

x，x12

．由于x

，所以两个根都舍去．②当

x

时，即

．此时

2x1)(xx

2

0

，

解得：

x3

12

，x4

．由于x，所两个根都符合题意．故答案为：

12

或【点睛】本题考查新定义下的实数运算和解一元二次方程．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．20．【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可【详解】解：由题意可知：∴即解得：x＝2故答案为：2【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法正确理解新运算法则熟练掌握解一元二次方程的方解析【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可．【详解】解：由题意可知：abx2x

2

ab，即

x解得：＝．故答案为：．【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．三、解题21．1）存在；2【分析】（）照小亮方法，进行计算即可；（）根据小的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可．【详解】5解：（）所矩形的两边分别是和y，由题意，得,①

②由，y

，把代入，得

52

，

整理，得x，b225，的兄矩不存在．（）所求矩的两边分别是和y，mxy,①2由题意，得xy②由，

2

，把代入，得

m2

2

，整理，得

2

2

)x

，bm)mn

2

，又

xy

都是正数，

当

2

2

时，的“兄弟矩存在．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．22．

x12

．【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】

xx2)

，

解得：

x1

．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法的实质，灵活准确求解是解题的关键．23．1）

x1

，

；（）

x1

，

x2【分析】（）方程化一般式，利用公式法求解即可．（）接运用平方法求解方程即可．

【详解】（）3x

，bb(2490x

5x1

，

x

（）

方程两边直接开平方得，

xx

，

解得：

x，x12【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和公式法是解答此题的关键．24．1）解析；2-1另一根为2【分析】（）于方程两个不相等的实数根，eq\o\ac(△,则)＞，据此列出关于k的方程，解答即可；（）＝代方程x+-6＝，求出的，根据求出的k的，得到一元二次程，从而求出方程的根．【详解】解：（）明

0

方程x+＝有两个不相等的实数根；（）x=3代入方程+kx﹣＝，得：，得，将k=-1代入原方程得x-x-60解得

xx1

-1另一根为x=-2【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握根的判别式和一元二次方程的解法．25．1）（）

；（）或yy【分析】（）

2x

，则原方程变为

(a3)(

，解之求得a的，继而可得x

的值；（）²+4b²=，ab=y，将原方程组变形为二元一次方程组，解出x、的再代入即可

2，得2，得y（）原方程变为

a(xax

y2

，由题意得出

x

，即可得出答案．【详解】解：（）

2x

，则原方程变为

(